的变形有关，与作用 点路径无关。
式中 1r1l0, 2r2l0
3. 定轴转动刚体上作用力的功
令F Fcos
wFco· sds Fds FRd
Mzd
从角 1转动到角 2过程中力 F 的功为：
W12
1
2
Mzd
若 Mz 常量
W 12 M z(21)
同样适用于刚体上作 用一力偶所作的功。
4. 平面运动刚体上力系的功 当质心由 C1 ~C2 ，转角由1 ~2时，力系的功：
13-3 动能定理
1、质点的动能定理
m d F 两端乘 dt dr ，
dt
m dFdr
d(1m2) w
2
——质点动能定理 的微分形式
质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。
12m2212m12 W12
——质点动能定理 的积分形式
在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于 作用于质点的力作的功。
第十三章 动能定理
13-1 力的功
力的功——是力沿路程累积效应的度量。
1. 常力在直线运动中的功:
W Fco s
力的功是代数量。 时,
正功；
2
时,功为零；
时,负功。 2
2
单位: J（焦耳） 1 J = 1 N·m
2. 变力在曲线运动中的功:
元功 wFco· sds
F·dr
Fxd xFyd yFzdz
B
在半径为R=100mm的圆周上。如弹簧
的另一端由点B拉至点A和由点A拉至
点D，AC垂直BC，OA和BD为直径。 O
分别计算弹簧力所作的功。
解：对于弹簧作功：
CA D
WBA由k2W(1212k2(2212)220).2（J）12O OBA ll00..11（2m）0.1（m）
WADk2('12'22)
令：F Fxi Fy j Fzk
dr dxi dyj dzk
W12
M2 M1
Fcos· ds（自然形式）
力 F
在
M1 ~M2路程上的功： W12
M2 F·dr （矢量式）
M1Leabharlann W 1 2M M 1 2(F x d x F y d y F zd z)
（直角坐标式）
3. 常见力的功
1)、重力的功
2、质点系的动能定理
d(12mii2)wi
求和 d(12mii2) wi
dT
wi
——质点系动能定 理微分形式
质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的
元功的和。
T2T1
wi
——质点系动能定 理积分形式
质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能改变量，
等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。
质点：重力在三轴上的投影：
FxFy0,Fzmg
W 1 2z z 1 2 m d z g m (z 1 g z2 )
质点系:
W m g (z z)
12
i i1 i2
由 mCzmizi
W 12 m (zC g 1 zC 2)
重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。
2、弹性力的功
弹性力：Fk(rl0)er
1 2(2 m 1 3 m 2)C a CM R C 1 m 2gSi· n C
aC2(M (2m 1m 23gm R 21)SR1in)
[例2] 冲击试验机m=18kg ,
3、理想约束 定义：约束力作功等于零的约束为理想约束。
1）光滑固定面约束、活动铰支座、向心轴承、一 端固定的绳索类约束 ——力与位移垂直
W (N ) N d r 0(N d r)
2）固定铰支座、固定端约束 ——位移为零
3）光滑铰链、刚体二力杆、不可伸长绳索类约束 ——约束反力成对出现，作功之和为零
[例1] 已知：轮O的R1、m1, 质量分布在轮缘上; 均质轮C
的R2、m2纯滚动, 初始静止 ;θ, M为常力偶。
求：轮心C走过路程S时的速度
和加速度
解： T1 0
T2
1 2
J
O
2 1
12m222
12JC22
其中：JO m1R12
JC
1 2
m2R22
1
C
R1
,2
C
R2
W12
M m 2gSi· Sn
S R1
由 W 12T2T1
已知：轮O的R1、m1,; 均质轮C的R2、m2纯滚动, 初始静止 ;θ, M为 常力偶。 求：轮心C走过路程S时的速度和加速度
2
M m 2gSi· S n4 C(2 m 1 3 m 2)( a )
C2
(Mm2gR 1Sin)S
R1(2m13m2)
式(a)是函数关系式，两端对t求导，
k——弹簧刚度系数 (N/m)
弹性力的功：W12
A2 Fdr
A1
A2 A1
k(rl0)er
dr
er
因 e r d rW r r 12 d r rr1 22 1 rk d ( (r r r) l0 )d 2 1 r rd (r2 ) d r簧在弹初性始力和的末功了只位与置弹
即 W12k2(12 22)
W 12C C 12FR drC12M Cd
平面运动刚体上力系的功，等于力系向质心简 化所得的力和力偶作功之和。
说明：1、对任何运动的刚体，上述结论都适用； 2、C点为刚体上任意一点，上述结论仍成立； 3、计算力系的主矢、主矩时，不作功的力可 不考虑。
例：图示弹簧原长l=100mm，刚性系
数k=4.9KN/m,一端固定在点O，此点
W (N ) N d r N 'd r
NdrNdr0
4）不计滚动摩阻时，纯滚动（只滚不滑）的接触点 ——无位移
对理想约束，在动能定理中只计入主动力的功即可。
质点系内力作功问题：
质点系内力作功之和不一定等于零。
1）相互吸引或排斥的质点，两力作功和不为零。 2）当力作用点有滑动摩擦时，滑动摩擦力与
物体的相对位移相反，摩擦力作负功。 刚体（特殊的质点系）所有内力作功的和等于零。
0.2（J）
'1OAl 0.1（m） '2OD l0.1 20.（1m）
13-2 质点和质点系的动能
1、质点的动能
T 1 m 2
2
瞬时值,与速度方向无关的正标量。单位：J（焦耳）
2、质点系的动能 T 12mii2
（1）平移刚体的动能
T
1 2mivi21 2vC 2
mi 即
T
1 2
mvC2
（2）定轴转动刚体的动能
T
12mivi2
12mi2ri
2
12
2
miri2 即
T
1 2
J z 2
（3）平面运动刚体的动能
速度瞬心：P
T
1 2
J p 2
12(JCmd2)2
T12mC v2 12JC2
平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能
与绕质心转动的动能之和。 [ 习题 P314 13-4 ] 上面结论也适用于刚体的任意运动。