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课题名称
正多边形与圆
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教学目标
同步教学知识内容
掌握正多边形与圆的关系 个性化学习问题解决
解决正多边形与圆的计算
教学重点 勾股定理的应用 教学难点
如何找直角三角形并计算
教 学 过 程 、 课 堂 设 计
知识点1 正多边形的相关概念
（1） 正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。

（2） 正多边形和圆：把一个圆n 等分，依次联接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个
圆是这个正多边形的外接圆。

正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。

（3） 正多边形是对称图形。

当n 为奇数时，是轴对称图形；当n 为偶数时，既是轴对称图形，又是中心
对称图形。

（4） 与正多边形有关的概念：
a 正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心；
b 正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径；
c 正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角。

正n 边形的每个中心角都等于
360/n ，正n 边形的每个内角都等于【（n-2）×180】/n.
d 正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一条边的距离。

例题1圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比( )
A.扩大了一倍
B.扩大了两倍
C.扩大了四倍
D.没有变化 例题2正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴. 例题3正n 边形是 对称图形，它的对称轴有 条 。

例题4正n 边形的每个内角是 ，每个中心角是 。

知识点2 正多边形的计算
1.正多边形的中心是这个正多边形的外接圆的圆心，也是内切圆的圆心。

2.联接中心和正多边形的各顶点，所得线段都是外接圆的半径，相邻两条半径的夹角是中心角。

3.在正n 变形中，分别经过各顶点的这些半径将这个正n 边形分成n 个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰是正n 边形的半径，底边是正n 边形的边，顶角是正n 边形的中心角；底边上的高是正n 边形的内
切圆的半径，它的长是正n 边形的边心距。

注：正多边形半径R 和边长a 、边心距r 之间的数量关系式
提示：解决圆和正多边形的计算问题通常构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定理来解决.
例题5如图，两相交圆的公共弦AB 为32，在⊙O 1中为内接正三角形的一边，在⊙O 2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比。

例题6
如图，⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D 、E 、F ，若∠C ＝900
，AD ＝4，BD ＝6，求图中阴影部分的面积。

经典练习 一、选择题
1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比( )
A.扩大了一倍
B.扩大了两倍
C.扩大了四倍
D.没有变化 2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )
A.3∶2∶1
B.4∶3∶2
C.4∶2∶1
D.6∶4∶3 3.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )
A.
26 B.43 C.3
6
D.34
4.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S 3、S 4、S 6之间的大小关系是( )
A.S 3>S 4>S 6
B.S 6>S 4>S 3
C.S 6>S 3>S 4
D.S 4>S 6>S 3 5.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( )
A.
63 B.43 C.332 D.3
3
∙第1题图
E
F A
B
O
C D
2
2
2
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=a r R 2
O 1O ∙∙
例1图
B
A
6.已知正多边形的边心距与边长的比为
2
1
，则此正多边形为( ) A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形 二、填空题
7.若正n 边形的一个外角是一个内角的
3
2
时，此时该正n 边形有_________条对称轴. 8.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴. 9.中心角是45°的正多边形的边数是__________.
10.已知△ABC 的周长为20,△ABC 的内切圆与边AB 相切于点D,AD=4,那么BC=__________. 11.已知正六边形的半径为3 cm ，则这个正六边形的周长为__________ cm.
12.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于_________度. 三、计算题
13.已知⊙O 和⊙O 上的一点A(如图24-3-1).
(1)作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；
(2)在(1)题的作图中，如果点E 在弧AD 上，求证：DE 是⊙O 内接正十二边形的一边.
图24-3-1
14.如图24-3-2，两相交圆的公共弦AB 为23，在⊙O 1中为内接正三角形的一边，在⊙O 2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.
图24-3-2
15.某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数.
16.如图24-3-3，在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，
求这个大圆片的半径最小应为多少？
图24-3-3
17.如图24-3-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形(小组之间参与交流、
评价).
图24-3-4
18.如图24-3-6(1)、24-3-6(2)、24-3-6(3)、…、24-3-6(n)，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方
形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.
图24-3-6
(1)求图24-3-6(1)中∠MON的度数；
(2)图24-3-6(2)中∠MON的度数是_________，图24-3-6(3)中∠MON的度数是_________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).
提交时间教学组长审批教学总监审批。