因为后续两阶段的结局（A,B）和（B,A）为 纳什均衡，而第一阶段的合作结局（A,A)是由于 触发策略针对对方偏离合作的行为设计了后续两 阶段都不合作的惩罚措施，其单方面偏离的路径 （B,A）（B,B）（B,B）收益并不增加，因此不 存在偏离的动机。
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4.2.4 民间定理
问题的提出：由于具有多个纳什均衡的重复博弈 可以设计多种策略，在双方缺乏沟通的情况下， 结局具有不确定性。因此，这里讨论具有多个纳 什均衡的重复博弈可以实现的收益范围。
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4.2.2 有限次重复的囚徒困境博弈
定理 设原博弈G有唯一的纯策略纳什均衡，则 对任意正整数T，重复博弈G（T）有唯一的子 博弈完美的解，即各博弈方每个阶段都采用G 的纳什均衡策略。各博弈方在G（T）中的总得 益为在G中得益的T倍，平均每阶段得益等于原 博弈G中的得益。
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（2）如果对方在第一阶段中采取了合作行为，在 后续阶段的策略设计中要保证博弈结局具有稳健 性。因此，针对第一阶段的合作行为，后续阶段 的策略设计是为了实现双方的行动协调，以保证 实现纳什均衡（B,A）或（A,B）。
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4.2.3 有两个纳什均衡的重复博弈
结果分析：
子博弈路径（A,A)，（A,B），（B,A）为子 博弈纳什均衡。
实际上，所有以零和博弈为原博弈所构成的 重复博弈与猜硬币博弈构成的重复博弈一样，各 博弈方的正确策略就是在每次重复中都采用一次 性博弈中的纳什均衡策略。
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4.2.2 有限次重复的囚徒困境博弈
坦白 不坦白
坦白
不坦白
－5，－5
0， －8
－8， 0 －1，－1
图4－1 囚徒困境
求解思路：对于有限次重复囚徒困境博弈，根 据动态博弈的逆推归纳法可以求解。
最大化”导致的囚徒困境，实现长期合作的结局。
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第一节 几个概念
重复博弈的概念 有限次重复博弈的概念
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4.1.1 重复博弈的概念
1 由简单的静态博弈（或动态博弈）的有限次 （或无限次）重复进行构成的。 2 每一阶段博弈方、策略集合、规则和得益都相 同。 3 包括：有限次重复博弈和无限次重复博弈 4 例子： 多场决胜负的体育比赛（有限次） 两寡头市场上两个厂商之间的竞争（无限次） 商场与顾客交易
策略 有多个纳什均衡重复博弈的得益范围——民间定
理
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4.2.1 有限次重复的猜硬币博弈
在零和博弈中，双方不存在合作的可能性， 因此在长期进行的重复博弈中，子博弈完美纳什 均衡由各个阶段原博弈的纳什均衡构成（例，在 猜硬币博弈中以0.5的概率选择正面或者反面， 即采取混合策略）。
一个触发策略来实现这个得益。
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4.2.4 民间定理
触发策略：博弈方1在第一阶段采取M策略， 如果对方合作，则第二阶段采取R策略作为奖 励；否则第二阶段采取L策略进行惩罚（注意 (L,L)也是纳什均衡，因此具有稳定性）。博 弈方2也采取同样策略。
策略分析：如果任何一方在第一阶段偏离， 仅仅多获得5－4＝1单位得益，而在第二阶段 的得益（L,L）仅仅为1；如果在第一阶段合作， 第二阶段的得益为3。因此双方不存在偏离该 策略的动机。
此时，博弈的纳什均衡仍是（坦白，坦白）。
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4.2.2 有限次重复的囚徒困境博弈
结论： 在有限次重复博弈G(T)中，如果原博 弈G存在唯一的纯策略纳什均衡组合，则重复 博弈的唯一的子博弈完美纳什均衡解为各博弈 方在每阶段都采取的原博弈纳什均衡策略。
含义：在原博弈具有唯一均衡的有限次重复博 弈中，由于完全理性的博弈方具有“共同知识” 的分析推理能力，因此在从最后阶段开始的逆 推过程中，仍然无法摆脱囚徒困境。
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第三节 无限次重复博弈
图4－5双方各五种可选策略重复博弈
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4.2.4 民间定理
该博弈具有4个纯策略纳什均衡，在二次重 复博弈中，触发策略设计：第一阶段双方采取 (M,M)策略，如果博弈方1偏离此策略，那么第二 阶段采取(Q,Q)策略对博弈方1进行惩罚，对博弈 方2进行奖励；同理，如果博弈方2偏离了此策略， 那么采取(P,P)策略对博弈方2进行惩罚，对博弈 方1进行奖励。如果双方都没有偏离，那么第二 阶段采取具有较高收益的纳什均衡(R,R)策略。 如果双方都偏离了此策略，第二阶段同样采取纳 什均衡的(R,R)策略。
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4.2.2 有限次重复的囚徒困境博弈
如果原博弈存在唯一的纯策略纳什均衡组合，则 有限次重复博弈的唯一的均衡解即各博弈方在每 阶段（即每次重复）中都采用原博弈的纳什均衡 策略。由于在这样的双方策略下，均衡路径中的 每个阶段都不存在不可信的威胁或许诺，因此这 种均衡是子博弈完美纳什均衡。
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4.2.4 民间定理
例（双方各五种可选策略重复博弈）：
L
MRP
Q
L 1,1 5,0 0,0 0,0 0,0
M 0,5 4,4 0,0 0,0 0,0
R 0,0 0,0 3,3 0,0 0,0
P 0,0 0,0 0,0 4,1/2 0,0
Q 0,0 0,0 0,0 0,0 1/2,4
定理：将一次性博弈中最差的均衡得益数组 记为w,如果原博弈G的一次性博弈有均衡得益数 组优于w，那么在有限次重复博弈G(T)中，所有 个体理性得益和可实现得益都至少有一个子博弈 完美纳什均衡来实现。
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4.2.4 民间定理
在图4-2一次性博弈中，博弈方均衡得益分别 为纯策略的得益（1，4），（4，1）和混合策略 的得益（2，2）,最差的均衡得益数组为w=(1,1)。
（2）博弈方2的策略是第一阶段合作A，如果发现对 方采取B不合作，则后续两个阶段一直采取不合作的 B策略；如果发现对方采取合作A，则第二阶段采取 不合作B，第三阶段采取合作A。
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4.2.3 有两个纳什均衡的重复博弈
策略设计分析：
（1）在博弈方1和2中，在第一阶段都采取了合作 行为A，并针对对方的不合作行为B，都设计了在 后续2个阶段采取不合作B的相应惩罚措施；
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4.2.2 有限次重复的囚徒困境博弈
以两阶段（以该博弈作为原博弈G重复两次）为
例：分析最后一阶段，子博弈即为原博弈，唯一的
均衡为（－5，－5）；分析第一阶段，将最后阶段
的收益（－5）添加到第一阶段的矩阵中，即：
坦白 不坦白
坦白
－10，－10 －13， －5
不坦白
－5， －13 －6，－6
4 得益：不同于一般的动态博弈，重复博弈的得 益为各个阶段得益的加总。考虑到时间的价值， 需要引进“贴现系数”将未来的得益折算成当 期得益的价值。
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第二节 有限次重复博弈
有限次重复的猜硬币博弈——原博弈为零和博弈 有限次重复的囚徒困境博弈——原博弈有唯一的
纯策略纳什均衡 有多个纳什均衡
4.2.4 民间定理
策略分析：与图4－4例子相比较，由于博弈的特殊 结构，这个触发策略的设计对偏离行为和合作行为 分别进行惩罚和奖励，因此策略具有很强的可信性。 而在图4-4例子中，针对对方的偏离行为采取了 （L,L）策略进行惩罚，但是惩罚对方的同时，自 身的利益也受到了损害，因此可信性不强。
第四章 重复博弈
本章主要内容：
1 重复博弈的概念；
2 作为一种特殊的动态博弈，有限次和无限次重复
博弈的子博弈完美纳什均衡的求解方法；
3 无限次重复博弈古诺模型和效率工资模型。
本章主要结论（民间定理）：
由于参与者在重复博弈中具有了长期利益，
可以通过在后面阶段中采取的报复策略使得威胁
变得可信，从而摆脱静态博弈中“追求自身利益
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4.2.4 民间定理
例（两人各三种可选策略）：
L
M
R
L 1，1
M 0，5 R 0，0
5，0 4，4 0，0
0，0 0，0 3，3
图4－4多种策略博弈的重复博弈
该博弈具有两个纯策略纳什均衡和一个混合
策略纳什均衡，但是双方存在一个更好的得益（4，
4）。对于二次重复博弈，根据民间定理可以设计
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4.2.3 有两个纳什均衡的重复博弈
例 两个厂商1和2，同时
A
B
面临两个市场机会A和B。假 A 3，3 1， 4
设每个厂商都只有能力选择 B 4，1 0，0
一市场发展，即他们的可选 图4－2 两厂商差别市场博弈
择策略都是A或B，其得益矩
阵如图所示。
此博弈具有2个纯策略纳什均衡（1，4）、
个体理性得益：不管对方采取何种行动，只要自 己的行为合理就可以保证实现的收益。
可实现得益：各纯策略组合得益的加权平均数组。 注意：并非一定是均衡策略的组合得益，因此在 图4－2中，（3，3）也是可实现得益。
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4.2.4 民间定理
用wi记博弈方i在一次性博弈中最差的均衡得 益，用w记各博弈方的wi构成的得益数组。结合 “个体理性得益”和“可实现得益”，则有限但 次数很多的重复博弈有如下民间定理：
（4，1）和混合策略纳什均衡概率（0.5，0.5）。
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4.2.3 有两个纳什均衡的重复博弈
考虑三次重复博弈各策略组合子博弈纳什均衡 路径：
1.由原博弈的纳什均衡组合而成的路径，如采 取轮换策略（在上述的协调博弈中，双方轮换采取 纯纳什均衡策略，路径为(A,B)，(B,A)，(A,B)….. 不考虑时间的价值（贴现系数），每阶段的平均得 益为（4＋1）/2 ＝2.5，高于混合策略的得益2。