专题17 一线三等角模型
破解策略
在直线AB 上有一点P ，以A ，B ，P 为顶点的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一条边在直线AB 上，另一条边在AB 同侧，∠3两边所在的直线分别交∠1，∠2非公共边所在的直线于点C ，D ．
1．当点P 在线段AB 上，且∠3两边在AB 同侧时． （1）如图，若∠1为直角，则有△ACP ∽△BP D ．
321D
B
P
A
C
（2）如图，若∠1为锐角，则有△ACP ∽△BP D ．
3
C
D
B
P
A
证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CP A ，∠C ＝180°－∠1－∠CP A ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠DPB ，
∵∠1＝∠2，∴△ACP ∽△BPD
（3）如图，若∠1为钝角，则有△ACP ∽△BP D ．
231D
B
P
A
C
2．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 同侧时． 如图，则有△ACP ∽△BP D ．
32
1C
P
D
B
A
证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CP A ，∠C ＝180°－∠1－∠CP A ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠DPB ，
∵∠1＝∠2＝∠PBD ，∴△ACP ∽△BPD
3．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 异侧时． 如图，则有△ACP ∽△BP D ．
32
1C
D
B
A
P
证明：∵∠C ＝∠1－∠CPB ，∠BPD ＝∠3－∠CPB ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠BP D ．
∵∠1＝∠2，∴∠P AC ＝∠DBP ．∴△ACP ∽△BP D ． 例题讲解
例1：已知：∠EDF 的顶点D 在△ABC 的边AB 所在直线上（不与点A ，B 重合）．DE 交AC 所在直线于点M ，DF 交BC 所在直线于点N ．记△ADM 的面积为S 1，△BND 的面积为S 2．
（1）如图1，当△ABC 是等边三角形，∠EDF ＝∠A 时，若AB ＝6，AD ＝4，求S 1S 2的值；
（2）当△ABC 是等腰三角形时，设∠B ＝∠A ＝∠EDF ＝α．
①如图2，当点D 在线段AB 上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，求S 1S 2的表达式（结果用a ，b 和a 的三角函数表示）．
②如图3，当点D 在BA 的延长线上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，直接写出S 1
S 2的表达式．
N
F
C M
E B D
A
F N
M E B
D
A
C F
N D
A
B
E
M C
图1 图2 图3
解：（1）如图4，分别过点M ，N 作AB 的垂线，垂足分别为G ，H ．
H G A
D
B
E M
C F
N
则S 1
S 2＝
1
2
MG AD 12NH BD ＝1
4
AD AM A BD BN ．
由题意可知∠A ＝∠B ＝60º，所以sin A ＝sin B
． 由“一线三等角模型”可知△AMD ∽△BDN ． ∴
AM AD
BD BN
=
，从而AM BN ＝AD BD ＝8，∴S 1S 2＝12． （2）①如图5，分别过点M ，N 作AB 的垂线，垂足分别为G ，H ．
H
G C
A
D
B
E M N F
则S 1
S 2＝
1
2
MG AD 12NH BD ＝1
4
AD AM A BD BN ．
由“一线三等角模型”可得△AMD ∽△BDN ， 所以
AM AD
BD BN
=
，从而AM BN ＝AD BD ＝ab ， 所以S 1S 2＝
14
a ²
b ²sin²a ； ②如图6，分别过点M ，N 作AB 的垂线，垂足分别为G ，H ．
H
G
C
M E
B
A D
N F
则S 1
S 2＝
1
2
MG AD 12NH BD ＝1
4
AD AM A BD BN ．
由“一线三等角模型”可得△AMD ∽△BDN ， 所以
AM AD
BD BN
，从而AM BN ＝AD BD ＝ab ， 所以S 1S 2＝
14
a ²
b ²sin²a ； 例2：如图，在等腰三角形ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝2，点D 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），在AC 上取一点E ，使∠ADE ＝30°．
（1）设BD ＝x ，AE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围； （2）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．
E
C
D B A
解（1）∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC ＝120°， ∴∠ABD ＝∠ACB ＝30°， ∴∠ABD ＝∠ADE ＝30°，
∵∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ＝∠ABD ＋∠DAB ， ∴∠EDC ＝∠DAB ， ∴△ABD ∽△DCE ；
∵AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°， 过A 作AF ⊥BC 于F ， ∴∠AFB ＝90°， ∵AB ＝2，∠ABF ＝30°， ∴AF ＝
1
2
AB ＝1，
∴BF
∴BC ＝2BF
＝， 则DC
＝x ，EC ＝2－y ∵△ABD ∽△DCE ， ∴
AB DC
BD CE =
，
∴
2x =
，
化简得：2
122
y x =
+(0x <<． E
C
D
B
A
（2）①当AD ＝DE 时，如图2， △ABD ≌△DCE ，
则AB ＝CD ，即2
＝x ， x
＝2
，代入2
122
y x =
+ 解得：y
＝4-AE
＝4- ②当AE ＝ED 时，如图，
∠EAD ＝∠EDA ＝30°，∠AED ＝120°， 所以∠DEC ＝60°，∠EDC ＝90°
则ED ＝
12 EC ，即y ＝1
2 （2－y ） 解得y ＝23，即AE ＝2
3
；
③当AD ＝AE 时，有∠AED －∠EDA ＝30°，∠EAD ＝120° 此时点D 和点B 重合，与题目不符，此情况不存在． 所以当△是ADE 等腰三角形时，AE ＝4
－AE ＝
2
3
A
B C
进阶训练
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在BC边上移动（不与点B，C重台）．满足
∠DEF＝∠B，且点D，F．分别在边AB，AC上．当点E移动到BC的中点时，求证：FE 平
分∠DF C．
1．略
【提示】由题意可得∠B＝∠DEF＝∠C．由“一线三等
角模型”可得△BDE∽△CEF，可得BE
CF
＝
DE
EF
．而BE＝CE·
所以CE
CF
＝
DE
EF
，从而△DEF∽ECF．所以∠DEF＝∠EFC，即FE平分∠DF C．
2．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在AB，BC边上，AD＝2BE＝6．将DE绕点E顺时针旋转60°，得到EF．取EF的中点G，连结AG．延长CF交AG于点H．若2AH ＝5HG，求BD的长．
B
2．BD＝9．
【提示】如图，过点F作FI∥AC交BC于点I．则∠FIE＝∠ACB＝∠AB C．易证△DBE≌△E IF，则IF＝BE，IE＝BD，所以BC＋BE＝AD，即IC＝BE＝IF，则∠ACH＝
∠BCH＝30°．延长CH变AB于点J，则CJ⊥AB，．A＝BJ
分别过点G，E作AB的垂线段，垂足为K，L，·则KL＝KJ·AJ
JK
＝
AH
HG
＝
5
2
，所以AJ：
JK：KL：BL＝5：2：2：l．因为BE＝3，∠LEB＝30°，所以BL＝1．5．AB＝15．所以BD＝9．
I
B。