钟面上的数学问题１、钟面上从２点到４点有几次时钟与分钟成６０度的角，分别是几点几分？２、８点２０分针和时针所成的角是多少度？３、在３点和４点之间（包括３点、４点），何时时针与分针成９０度？４、十点到十一点之间时针与分针什么时候恰好成一条直线．（不重合）５、在八点到九点之间，时针与分针什么时候重合．６、在八点到九点之间，什么时候时针与分针成１５度７、在一昼夜之间，时针与分针有多少次重复．数字问题1. 求2000的正约数的个数, 以及所有正约数的和。

2. 将5个人分成2组, 每组至少一人, 共有多少种不同的方法。

3. 用2、3、4这三个数字组成没有重复的三位数（1）求所有这些三位数的数字和的和。

（2）求所有这些三位数的和。

4. 用数字0、1、2、3、4可以组成多少个 （1） 四位数。

（2） 四位偶数。

（3） 没有重复数字的四位数。

（4） 没有重复数字的四位偶数。

（5） 没有重复数字的正整数。

5. 三封信，随机地投入四个信箱中，共有多少个不同的投信方法。

6. 有多少个被3整除且有数字9的三位数。

7. 由1、2、3、4、5这五个数，可以组成多少个（1）四位数 （2）四位奇数（3）没有重复数字的四位数？这其中有多少个是3的倍数？生活中的数字问题例1、有人带了一头羊、一条狗和一筐菜要过一条河。

因为船太小,一次只能带一样东西,但是人不在时,狗要吃羊,羊要吃菜,请大家帮他想一想,应该怎样安排过河。

例2、下图是一个工厂区的平面图,一条公路（粗线）通过这个地区,七个工厂A1、A2、A3……A7，分布在公路两旁,各由一些小路(细线)与公路相通,现在要公路上设一个汽车战,使各工厂到汽车站距离之和最小。

(1)这个汽车站应设在何处?为什么? （2)若在A8处又设一个工厂,并且沿图中虚线修一条路,那么此时车站应设在什么地方好?A 1A 2A 3A 4A 6A 5A 7A 8B CD E F例3、一个楼梯共有10级台阶,规定每步可以上一级或二级台阶,最多可以上三级台阶,从地面上到最高一级共有多少种上法。

习题：(1)池塘中有一朵莲花,它每天都长大一倍,30天就把整个池塘给遮满了,试问：这朵莲花什么时候遮住半个池塘?(2如图所示,A1、A2……A10表示10个工厂,粗线表示公路,细线表示工厂与公路相连的小路，现在想在公路上建一个汽车站,使这十个工厂到汽车站距离和最小,车站应建在什么地方。

A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A B CD EF（3）一个楼梯共有１０级台阶，规定每步可以上一级或二级台阶，从地面上到最高一级共有多少种上法。

（一）、乘法原理和加法原理【知识要点】加法原理：完成一件事情共有m种方法，每种方式都能独立地完成这件事，第一种方式有a1种方法，第二种方式有a2种方法，第三种方式有a3种方法，……，第m种方式有am 种方法，这样完成这件事共有a1＋a2＋a3＋……＋am种方式可以选择，这就是通常所说的加法原理。

乘法原理：为了完成一件事情，必须要经过m个步骤，（每个步骤都不能独立地完成这件事），完成第一步有a1种方法，完成第2步有a2种方法，……，完成第m步有am 种方法，那么完成这件事共有a1×a2×a3×……×am种方法，这就是乘法原理。

例1：从南京到上海可以乘火车、轮船和飞机。

如果一天中火车有6班，轮船有4班，飞机有2班，那么一天中从南京到上海有多少种不同的走法？例2：用1、3、5、9可以组成多少个和数。

例3：100个同学相互握手，共握了多少次手。

例4：用红、黄、绿三面旗子，挂在旗杆上，可以挂一面、两面、三面，不同的顺序算不同的挂法，有多少种不同的挂法。

例5：书架上层放着6本不同的数学书，下层放着5本不同的语文书，①从中取一本书有多少种不同的取法？②从中各取一本语文书和数学书有多少种不同的取法？例6右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格中，并使每行、每列只能出现一个棋子，问共有多少种不同的放法？例7：如图是一个棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘的交叉点上，但不能同一条棋盘线上，问共有多少种不同的放法？例8：有学生4人A、B、C、D，分配到甲、乙、丙三个车间去学习，共有多少种分配方法？【巩固练习】1、新华书店的柜台上，摆放着4中不同的参考书，5种不同的语文参考书，6种不同的数学参考书，有多少种不同的选购方法？2、从5、7、11、13、17、19这六个数中，取两个数作为真分数。

这样的真分数有多少个？3：安排甲、乙、丙、丁四人坐在一张长椅上，有多少种不同的方法？有一角人民币4张，两角人民币2张，一元人民币7张，可直接付几种不同的选项？5：如图是连接城市甲、乙、丙的公路网，汽车从甲城出发经过乙城到丙城，选择不绕远路的路线共有多少种？6.如图是一个棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘的交叉点上，但不能放在同一条棋盘线上。

问：共有多少种不同的放法？（二）数字问题【知识要点】1.注意数和数字的区别，例如10这一个数，它是由1和0两个数字组成我们学习的十进制数是由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成2常常结合乘法原理和加法原理解决数字组成的数的问题例1.一本书共有160页，一共要用多少个数字编页码例2.12345678910111213………9991000这个数列中的第2018个数字是几例3 给一本笔记本各页上编上页码：1，2，3，……共写了495个数字，这本笔记本共有多少页？例4一本字典它的页码由3049个数字组成，这本字典有多少页例5由数字0、1、3、5、7可组成多少个没有重复数字的四位数？②可组成多少个四位数？【巩固练习】（1）一本书共有200页，一共要用多少个数字编页码（2）12345678910111213………9991000这个数列中的第1000个数字是几（3）自然数的平方按从小到大排成一列1491625364964……，从左往右第80个数字是几4.编一本书的页码共用了2018个数字，这本书共有多少页5. 用数字0、1、2、3、4可以组成多少个（1）四位数。

（2）四位偶数。

（3）没有重复数字的四位数。

（4）没有重复数字的四位偶数。

（5）没有重复数字的正整数。

六（十一）不定方程1、观察法：可以利用奇偶性、质数的性质等进行观察：例1、1999x+4y=9991，其中x、y都是正整数。

例2、2003=2x+999y，以下各题中x、y都是非零的正整数。

例3、小明问小强：“你养了几只兔和鸡？”小强说：“我养的兔比鸡多，鸡兔共24条腿，你猜猜我养了几只兔和鸡？”例4、2x+3y=21 118=11x+17y例5、已知X、Y都是质数，求下列方程的解：x+y=999 3x+5y=20012、一个未知数的系数可以被常数项整除：例6、7x+4y=100 9x+10y=100例7、我国古代有一位著名的数学家张丘建，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题：“一百元买一百只鸡，公鸡五元钱一只，母鸡三元钱一只，小鸡一元钱三只，公鸡、母鸡、小鸡各买几只？例8、王明用100元买油菜籽、西红柿种子和萝卜籽共100包。

油菜籽每包3元，西红柿种子每包4元，萝卜籽1元钱7包。

问他每种各买了多少包？（习题见111页3题）例9、（数学家欧拉的算题）一头猪卖213银币，一头山羊卖311银币，一头绵羊卖21银币，有人用100个银币买了100头牲畜，问买了猪、山羊、绵羊各几头？3、没有未知数的系数可以被常数项整除。

例10、一天，张明问李军的生日，李军说：“将我生日的月份数乘以31，生日的日期乘以12，相加后得347。

你知道李军的生日是几月几日吗？例11、有甲、乙两种卡车，甲车每次可装煤6吨，乙车每次可装煤8吨，现有煤130吨，要求1次运完，而且每一辆车都要满载，问需甲、乙两种卡车多少辆？例12、红旗剧场共有座位1000个，排成若干排，总排数大于16，从第二排起，每排比前一排多一个座位。

问：剧场共有多少排座位？例13、某三位数是其各位数字之和的23倍，问这个三位数是多少？例14、新世纪学校的学生总数是一个三位数，平均每个班36人。

统计员提供的学生总数却比实际总人数少180人。

原来，他在记录时粗心地将这个三位数的百位、十位上的数字对调了。

这个学校学生总数最多是多少人？例15、把一个两位数的个位数字与十位数交换后得到一个新数，它与原来的数相加，和恰好是某个自然数的平方，这个和是多少？例16、某地收取电费的标准是：每月用电不超过50度，每度收5角；如果超过50度，超过部分按每度8角收费。

某月甲用户比乙用户多交3元3角电费。

这个月甲、乙各用了多少度电？例17、今有桃95个，分给甲、乙两班学生吃，甲班分到的桃有92是坏的，其它是好的；乙班分到的桃有163是坏的，其它是好的。

甲、乙两班分到的好桃共有多少个？A 级 训 练1、已知1999×△+4×□=9991，其中△、□都是自然数，那么□=？3、一位同学把他出生的月份乘以31，再把出生日期乘以12，然后加起来，和是170。

这位同学的生日是几月几日？4、3、若干只6脚蟋蟀和8脚蜘蛛，共有46只脚，蟋蟀和蜘蛛各有多少只？4、现有3M长和5M长的钢管各6根，安装31M长的通道，怎样接用最省材料？5、小明问小强：“你养了几只兔和鸡？”小强说：“我养的兔比鸡多，鸡兔共有24条腿，你猜猜我养了几只兔和鸡？”6、一分、二分、五分的硬币共十枚，付一角八分钱，有几种不同的取法？7、用16元钱买面值为20分、60分、1元的三种邮票共18枚，每种邮票至少买1枚，共有多少种不同的买法？8、王明用100元买油菜籽、西红柿种子和萝卜籽共100包。

油菜籽每包3元，西红柿种子每包4元，萝卜籽1元钱7包。

他每种各买了多少包？1、一位两位数，加上54以后，十位上的数字和个数上的数字正好互换位置，求符合要求的所有两位数。

2、某三位数是其各位数字之和的23倍，这个三位数是多少？3、有2角、5角和1元的人民币共20张，共计12元。

三种票子各几张？4、把一个两位数的个位数字与十位数交换后得到一个新数，它与原来的数相加，和恰好是某个自然数的平方，这个和是多少？5、两位数ab减去两位数ba，差是某个自然数的平方，这样的两位数共有多少个？6、一年青人今年（2000）的岁数正好等于出生年份数字之和，那么这位年青人今年多少岁？7、红星小学的电话号码很有趣。

它是一个七位数，前三位数字相同，后四位数字也相同，把这些数字加起来恰好等于左起第三、四位组成的两位数。

这个电话号码是多少？8、某地收取电费的标准是：每月用电不超过50度，每度收5角；如果超过50度，超过部分按每度8角收费。

某月甲用户比乙用户多交3元3角电费。