2015年福建省厦门市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）（2015•厦门）反比例函数y=x1的图象是（ ） A ．线段 B ．直线 C ．抛物线D ．双曲线【考 点】：M152反比例函数的的图象、性质.【难易度】：容易题【分 析】：对于此题，可根据反比例函数的性质，从而得到函数xy 1=的图像是双曲线. 故选B.【解 答】：B.【点 评】：此题较容易，属于送分题，主要考查了反比例函数的性质，中考中常考的如下 几条性质：（1）反比例函数）（0≠=k xk y 的图像是双曲线，它有两个分支，关于原点对称.（2）若k ＞0，其图像位于一、三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；（3）若k ＜0，其图像位于二、四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大.2．（4分）（2015•厦门）一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，投掷这样的骰子一次，向上一面点数是偶数的结果有（ ）A ．1种B ．2种C ．3种D ．6种【考 点】：M221事件【难易度】：容易题【分 析】：已知一枚质地均匀的骰子，其六个面分别刻有1到6的点数，若掷一次骰子， 向上一面点数是偶数结果有2，4，6三种情况. 故选C ．【解 答】：C ．【点 评】：本题考查的知识点是随机事件，比较简单，而其解题的关键是明确1到6中的 偶数有2，4，6三个.3．（4分）（2015•厦门）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（ ）A ．﹣2xy 2B ．3x 2C ．2xy 3D ．2x 3【考 点】：M11M 整式的概念【难易度】：容易题【分 析】：对于此题，可根据单项式的定义可知，其中单项式中数字因数称为单项式的系 数，所有字母的指数和称为这个单项式的次数．从而本题可用排除法求解，A 、 ﹣2xy 2系数是﹣2，错误；B 、3x 2系数是3，错误；C 、2xy 3次数是4，错误；D 、2x 3符合系数是2，次数是3，正确；故选D ．【解 答】：D ．【点 评】：本题考查了单项式的定义，其中单项式的次数是指所有字母的指数和为一个易 错点，也是解答本题的关键.4．（4分）（2015•厦门）如图，△ABC 是锐角三角形，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则点C 到直线AB 的距离是（ ）A ．线段CA 的长B ．线段CD 的长C ．线段AD 的长 D ．线段AB 的长【考 点】：M315点到直线的距离【难易度】：容易题【分 析】：由点到直线的距离的含义可知，直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到 直线的距离，从而点C 到直线AB 的距离是线段CD 的长. 故选B ．【解 答】：B.【点 评】：本题属于基本概念题，考查了点到直线的距离的含义，明确其含义并能灵活应 用是解题的关键.5．（4分）（2015•厦门）2﹣3可以表示为（ ）A ．22÷25B ．25÷22C ．22×25D ．（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）【考 点】：M11N 整式运算【难易度】：容易题 【分 析】：对于此题，可根据同底数幂的运算法则求解，A 、22÷25=22﹣5=2﹣3，故正确；B 、25÷22=23，故错误；C 、22×25=27，故错误；D 、（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）=（﹣2）3，故错误. 故选A ．【解 答】：A ．【点 评】：本题考查了同底数幂的运算法则，其中同底数幂运算法则：①n m n m a a a +=⨯；②n m n m a a a -=÷；③mn n m a a =)(；④n n n b a ab =)(.熟 记其运算规则，并加以应用.6．（4分）（2015•厦门）如图，在△ABC 中，∠C=90°，点D ，E 分别在边AC ，AB 上．若∠B=∠ADE ，则下列结论正确的是（ ）A ．∠A 和∠B 互为补角 B ． ∠B 和∠ADE 互为补角C ．∠A 和∠ADE 互为余角D ． ∠AED 和∠DEB 互为余角【考 点】：M316周角、平角、钝角、直角、锐角、余角、补角【难易度】：容易题【分 析】：由余角定义可求解，已知在△ABC 中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，又由 ∠B=∠ADE ，可得∠A+∠ADE=90°，从而∠A 和∠ADE 互为余角.故选C ．【解 答】：C ．【点 评】：此题考查的知识点是余角和补角. 虽是小题，但是中考的常考点，其中利用 ∠B=∠ADE 是解题的关键步骤.7．（4分）（2015•厦门）某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x 元的衣服以（54x ﹣10）元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是（ ）A ．原价减去10元后再打8折B ． 原价打8折后再减去10元C ．原价减去10元后再打2折D ． 原价打2折后再减去10元【考 点】：M11H 列代数式【难易度】：容易题【分 析】：由已知条件可知，原价x 元的衣服以（54x ﹣10）元出售，再将其转换为“折” 的数学语言，即x 变成54x ，是把原价打8折后，然后再用它减去10元. 故选：B ．【解 答】：B ．【点 评】：此题属于将代数式转换为实际问题的应用，其中“折”的含义是易错点，正确理 解“折”的含义是解题的关键.8．（4分）（2015•厦门）已知sin6°=a ，sin36°=b ，则sin 26°=（ ）A ．a 2B ．2aC ．b 2D ．b【考 点】：M32C 锐角三角函数的应用【难易度】：容易题 【分 析】：由已知sin6°=a ，可得2226sin 6sin a ==）（ . 故选A ． 【解 答】：A ．【点 评】：本题考查了锐角三角函数的定义. 能明确锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做 ∠A 的锐角三角函数．其中主要会区分2sin a 与a 2sin 不同含义，9．（4分）（2015•厦门）如图，某个函数的图象由线段AB 和BC 组成，其中点A （0，34），B （1，21），C （2，35），则此函数的最小值是（ ）A ．0B ．21C ．1D ．35 【考 点】：M135函数及其相关概念【难易度】：容易题【分 析】：根据函数的定义可知，函数的最小值指纵坐标的最小值，从而分别比较A 、B 、 C 三点纵坐标可知，35＞34＞21故选B ． 【解 答】：B ．【点 评】：此题属于函数的基本概念题，同时也考查了有理数的大小比较，其中利用函数 的最小值指纵坐标的最小值是解题的突破口.10．（4分）（2015•厦门）如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是边BC 的中点，一个圆过点A ，交边AB 于点E ，且与BC 相切于点D ，则该圆的圆心是（ ）A ． 线段AE 的中垂线与线段AC 的中垂线的交点B ． 线段AB 的中垂线与线段AC 的中垂线的交点C ． 线段AE 的中垂线与线段BC 的中垂线的交点D ． 线段AB 的中垂线与线段BC 的中垂线的交点【考 点】：M313线段垂直平分线性质、判定、画法；M327等腰三角形性质与判定；M347 切线的性质与判定【难易度】：中等题【分 析】：由题意可知，先连接AD ，作AE 的中垂线交AD 于O ，连接OE ，由于AB=AC ， D 是边BC 的中点，，于是AD ⊥BC ，从而AD 是BC 的中垂线，又已知BC 是 圆的切线，从而AD 必过圆心. 由AE 是圆的弦，所以AE 的中垂线必过圆心. 因 此该圆的圆心是线段AE 的中垂线与线段BC 的中垂线的交点. 故选C ．【解 答】：C ．【点 评】：此题综合考查了线段垂直平分线性质、等腰三角形性质与判定、切线的性质与判定等知识点，其中利用AD 必过圆心.以及AE 的中垂线必过圆心是解题的突 破口.二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）（2015•厦门）不透明的袋子里装有1个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是 ．【考 点】：M223概率的计算【难易度】：容易题【分 析】：由题意可知，不透明的袋子里装有1个红球，1个白球，从而袋中共有2个球. 因此P （摸出红球）=21. 故答案为21. 【解 答】：21 【点 评】：此题要求学生会计算可能事件的概率P （A ）=数事件可能发生的总情况发生的情况数事件A ， 解题的关键在于牢记公式并熟练应用.12．（4分）（2015•厦门）方程x 2+x=0的解是 ．【考 点】：M127解一元二次方程【难易度】：容易题【分 析】：根据因式分解法解方程求解. 即x （x+1）=0，于是x=0或x+1=0，从而x 1=0， x 2=﹣1．故答案为x 1=0，x 2=﹣1．【解 答】：x 1=0，x 2=﹣1．【点 评】：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法的应用. 其解题技巧是将方程变形为 0=∙B A ，于是一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到 一元二次方程的解．13．（4分）（2015•厦门）已知A ，B ，C 三地位置如图所示，∠C=90°，A ，C 两地的距离是4km ，B ，C 两地的距离是3km ，则A ，B 两地的距离是 km ；若A 地在C 地的正东方向，则B 地在C 地的 方向．【考 点】：M32B 勾股定理的实际应用【难易度】：容易题【分 析】：由题意可知，在Rt ABC ∆中，∠C=90°，A ，C 两地的距离是4km ，B ，C 两 地的距离是3km ，则由勾股定理可得5432222=+=+=BC AC AB km ；又由A 地在C 地的正东方向，则B 地在C 地的正北方向．故答案是：5；正北．【解 答】：5；正北．【点 评】：本题考查的知识点是勾股定理，其中把实际问题转化为数学问题构造出直角三 角形求解为解答此题的关键．14．（4分）（2015•厦门）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是边AD 的中点．若AC=10，DC=25，则BO= ，∠EBD 的大小约为 度 分．（参考数据：tan26°34′≈21）【考 点】：M333矩形的性质与判定；M32E 解直角三角形【难易度】：容易题【分 析】：由题意可知，在矩形ABCD 中，AC=10，DC=25，则AB=DC=25；在 Rt BCD ∆中，由勾股定理可得BC=45，则215452t a n ===∠BC CD CBD , 已 知tan26°34′≈21，于是=∠CBD 26°34′, 从而CBD ABD ∠︒=∠-90=90°﹣ ∠CBD =63°26′. 由E 是AD 的中点，则AE=AB=25，从而∠ABE=∠AEB=45°， 因此∠EBD=∠ABD ﹣∠ABE=18°26′．故答案为：5，18，26．【解 答】：5，18，26．【点 评】：本题综合考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角函数等知 识．其中利用E 是AD 的中点以及∠DAC=26°34′是解题的突破口.15．（4分）（2015•厦门）已知（39+138）×（40+139）=a+b ，若a 是整数，1＜b ＜2，则a= ．【考 点】：M119实数的混合运算【难易度】：容易题【分 析】：对于此题，先将原式化简得（39+138）×（40+139）=1560+27+24138+16972=1611+169176，又由a 是整数，1＜b ＜2，所以a=1611．故答案为：1611． 【解 答】：1611．【点 评】：本题属于基础题，主要考查了有理数的混合运算，其中学生只要掌握有理数 的运算法则即可,若掌握的不熟练，读题不仔细都是此题容易出错的地方；而 1＜b ＜2是解答本题的关键．16．（4分）（2015•厦门）已知一组数据1，2，3，…，n （从左往右数，第1个数是1，第2个数是2，第3个数是3，依此类推，第n 个数是n ）．设这组数据的各数之和是s ，中位数是k ，则s= （用只含有k 的代数式表示）．【考 点】：M214中位数、众数【难易度】：容易题【分 析】：由题意可知，已知一组数据1，2，3，…，n （从左往右数，第1个数是1，第 2个数是2，第3个数是3，依此类推，第n 个数是n ），中位数是k ，从而这 组数据的中位数与平均数相等. 因此这组数据的各数之和是s=nk ．故答案为nk ．【解 答】：nk ．【点 评】：在近年中考中对于中位数以及众数的考查一直是一个常考点，其中设有n 个数 据，按从小到大排序，如果n 为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数； 如果n 为奇数，位于中间的那个数就是中位数.而出现最多次数的数是众数，特 别注意众数不唯一.三、解答题（共11小题，满分86分）17．（7分）（2015•厦门）计算：1﹣2+2×（﹣3）2．【考 点】：M119实数的混合运算；M11N 整式运算；【难易度】：容易题【分 析】：根据实数的混合运算的法则求解即可，对于此题先进行乘法，再算加减.【解 答】：解：原式=1﹣2+2×9 .............3分=﹣1+18=17． ..............7分【点 评】：此题考查了实数的混合运算的知识；掌握各部分的运算法则，细心读题，用心 解答为解答此题的关键．18．（7分）（2015•厦门）在平面直角坐标系中，已知点A （﹣3，1），B （﹣2，0），C （0，1），请在图中画出△ABC ，并画出与△ABC 关于原点O 对称的图形．【考 点】：M413图形的平移与旋转；M412图形的对称【难易度】：容易题【分 析】：根据题意可知，点A （﹣3，1），B （﹣2，0），C （0，1），然在平面直角 坐标系中找到相应的位置，再依次连接得到△ABC ，最后再找出关于点O 对 称的点位置，然后顺次连接即可．【解 答】：解：作图如下：.........................7分【点 评】：此题较容易，主要考查了旋转变换作图，其中能在平面直角坐标系中准确确定 点的位置是解题的关键.19．（7分）（2015•厦门）计算：121++++x x x x ． 【考 点】：M11R 分式运算；M11Q 分式的基本性质；M11P 分式及其相关概念【难易度】：容易题【分 析】：根据分式的性质可知，同分母分式的加法法则计算，再约分即可.【解 答】：解：原式=12+++x x x..................3分 =1)1(2++x x =2． ..................7分【点 评】：此题主要考查的知识点是分式的运算，难度不大. 一般分式的解题步骤为：若 同分母分式，则分母不变，分子相加减；若异分母分式，则先通分，将异分母 转化为同分母分式，然后再加减.20．（7分）（2015•厦门）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，若DE ∥BC ，AD=3，AB=5，求BCDE 的值．【考 点】：M32H 相似三角形性质与判定；M32J 比例的性质【难易度】：容易题【分 析】：由平行线段成比例定理可得，BC DE AB AD =,又已知AD=3，AB=5，代入求出结 果即可.【解 答】：解：∵DE ∥BC ，∴BCDE AB AD =， ..................3分 ∵AD=3，AB=5，∴53=BC DE . ..................7分【点 评】：本题应用平行线段成比例定理的知识点，其中解题的关键是熟练掌握性质并加 以灵活应用.21．（7分）（2015•厦门）解不等式组⎩⎨⎧+≤+>x x x 36222． 【考 点】：M12L 解一元一次不等式（组）【难易度】：容易题【分 析】：对于此题，先分别求出两个不等式的解集，再根据求公共部分的解集即可.【解 答】：解：⎩⎨⎧+≤+>）（2362)1( 22x x x ， 由(1)得：x ＞1， ..................2分由(2)得：x≥﹣2， ..................4分不等式组的解集为：x ＞1． ..................7分【点 评】：本题考查的是解一元一次不等式组应用，对解一元一次不等式组熟记四种情况： ①大大取大；②小大大小取中间；③小小取小；④小小大大则无解.22．（7分）（2015•厦门）某公司欲招聘一名工作人员，对甲、乙两位应聘者进行面试和笔试，他们的成绩（百分制）如表所示．应聘者面试 笔试 甲87 90 乙 91 82若公司分别赋予面试成绩和笔试成绩6和4的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被录取？【考 点】：M212平均数、方差和标准差【难易度】：容易题【分 析】：由已知条件可知，公司分别赋予面试成绩和笔试成绩6和4的权，则可分别计 算出甲、乙两位应聘者的加权平均数，再进行比较即可.【解 答】：解：甲的平均成绩为：（87×6+90×4）÷10=88.2（分）， .........3分 乙的平均成绩为：（91×6+82×4）÷10=87.4（分）， ..........6分 因为甲的平均分数较高，所以甲将被录取． ..........7分【点 评】：本题主要考查了加权平均数的应用，数据的权反映了数据相对重要程度，平均 数用来反映数据的总体趋势，其中利用6和4的权进行计算解题的关键．23．（7分）（2015•厦门）如图，在△ABC 中，AB=AC ，点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，点D 在边BC 上．若DE=DF ，AD=2，BC=6，求四边形AEDF 的周长．【考 点】：M32A 全等三角形性质与判定; M327等腰三角形性质与判定；M32B 勾股定理 的实际应用；M323三角形的中位线；【难易度】：容易题【分 析】：根据题意可知，可以证得△ADE ≌△ADF ，于是得出∠DAE=∠DAF ，从而AD 平分 ∠BAC ，再由△ABC 为等腰三角形性质三线合一性质可得BD=CD=21BC=3，AD ⊥ BC ，继而由勾股定理可求得AB 的长.由因直角三角形斜边上的中线性质得出 DE=21AB ，DF=21AC ，从而可得AE=AF=DE=DF ，最后可求得四边形AEDF 的周长． 【解 答】：解：由题意可知，∵点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点， ∴AE=BE=21AB ，AF=CF=21AC ，∵AB=AC ，∴AE=AF ， 在△ADE 和△ADF 中，⎪⎩⎪⎨⎧===AD AD DF DE AF AE ，∴△ADE ≌△ADF （SSS ）， .........3分∴∠DAE=∠DAF ，即AD 平分∠BAC ，∴BD=CD=21BC=3，AD ⊥BC ，∴∠ADB=∠ADC=90°， ∴AB=13322222=+=+BD AD ， .........5分∵在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，E ，F 分别是边AB ，AC 的中点， ∴DE=21AB ，DF=21AC ，∴AE=AF=DE=DF ， ∴四边形AEDF 的周长=4AE=2AB=213． .........7分【点 评】：此题综合考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、直 角三角形斜边上的中线性质；能够判断出△ADE 和△ADF 是解题的重要步骤.24．（7分）（2015•厦门）已知实数a ，b 满足a ﹣b=1，a 2﹣ab+2＞0，当1≤x≤2时，函数y=xa （a≠0）的最大值与最小值之差是1，求a 的值．【考 点】：M152反比例函数的的图象、性质；M12L 解一元一次不等式（组）；M11L 求代数式的值【难易度】：容易题【分 析】：由题意可知，a ﹣b=1，a 2﹣ab+2＞0，将其转换为a （a ﹣b ）＞﹣2，代入a ﹣b=1求得a ＞﹣2，此时需分两类讨论：①当﹣2＜a ＜0，1≤x ≤2时，函数y=x a 的最大值是y=2a ，最小值是y=a ，②当a ＞0，1≤x ≤2时，函数y=xa 的 最大值是 y=a ，最小值是y=2a ，再分别由已知最大值与最小值之差是1，计 算出a 的值即可．【解 答】：解：∵a 2﹣ab+2＞0，∴a 2﹣ab ＞﹣2，a （a ﹣b ）＞﹣2，∵a ﹣b=1，∴a ＞﹣2， .....................2分①当﹣2＜a ＜0，1≤x ≤2时，函数y=x a 的最大值是y=2a ，最小值是y=a ， ∵最大值与最小值之差是1，∴2a ﹣a=1， 解得：a=﹣2，不合题意，舍去； ...............4分②当a ＞0，1≤x ≤2时，函数y=x a 的最大值是y=a ，最小值是y=2a ， ∵最大值与最小值之差是1，∴a ﹣2a =1， 解得：a=2，符合题意， ............6分∴a 的值是2． ..............7分【点 评】：此题考查了反比例函数的性质以及解一元一次不等式的应用．此类型难度不大，主要要求学生掌握分类讨论的思想.其中反比例函数xk y （k ≠0），k 的符号 判断是解题的易错点也是关键.25．（7分）（2015•厦门）如图，在平面直角坐标系中，点A （2，n ），B （m ，n ）（m ＞2），D （p ，q ）（q ＜n ），点B ，D 在直线y=x+1上．四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点E ，且AB ∥CD ，CD=4，BE=DE ，△AEB 的面积是2．求证：四边形ABCD 是矩形．【考 点】：M32A 全等三角形性质与判定；M333矩形的性质与判定；M142 一次函数的 的图象、性质【难易度】：容易题【分 析】：对于此题，根据题意可知，先证明△ABE ≌△CDE ，从而得到AE=CE ，再利 用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定该四边形为平行四边形，然后已 知△ABE 的面积，继而可求得整个四边形的面积和AD 的长，最后平行四边 形的面积计算方法求得，当DA ⊥AB 时，则四边形ABCD 是矩形．【解 答】：证明：作EF ⊥AB 于点F ，∵AB ∥CD ，∴∠1=∠2，∠3=∠4，在△ABE 和△CDE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠DEBE 4321，∴△ABE ≌△CDE ，∴AE=CE ， .......3分∴四边形ABCD 是平行四边形， ......5分 ∵CD=4，△AEB 的面积是2，∴EF=1，∴AD=2EF=2，∵平行四边形ABCD 的面积为△ABE 的面积的4倍，∴S 四边形ABCD =8， ...........6分 ∴DA ⊥AB ，∴四边形ABCD 是矩形． ............7分【点 评】：本题考查了全等三角形性质与判定、矩形的性质与判定、一次函数的的图象、 性质的综合应用.利用平行四边形的面积计算方法求得证得DA ⊥AB 是解题的 关键.26．（11分）（2015•厦门）已知点A （﹣2，n ）在抛物线y=x 2+bx+c 上．（1）若b=1，c=3，求n 的值；（2）若此抛物线经过点B （4，n ），且二次函数y=x 2+bx+c 的最小值是﹣4，请画出点P （x ﹣1，x 2+bx+c ）的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理由．【考 点】：M137用待定系数法求函数关系式；M163求二次函数的关系式；M162二次函 数的的图象、性质；【难易度】：中等题【分 析】：（1）由题意可知，将b=1，c=3，以及A 点的坐标代入二次函数y=x 2+bx+c从而求得n 的值；（2）已知抛物线过点B （4，n ）以及二次函数y=x 2+bx+c 的最小值是﹣4，从而抛物线的解析式为y=（x ﹣1）2﹣4.再令x ﹣1=x′，从而点P （x ﹣1，x 2+bx+c ）的纵坐标随横坐标变化的关系式为y=x′2﹣4，然后利用5点式画出函数的图象即可．【解 答】：解：（1）由题意可知，b=1，c=3，A （﹣2，n ）代入在抛物线y=x 2+bx+c 上． 求得n=4+（﹣2）×1+3=5． .............5分（2）已知此抛物线经过点A （﹣2，n ），B （4，n ），则抛物线的对称轴x=242-+=1， 又因二次函数y=x 2+bx+c 的最小值是﹣4，因此抛物线的解析式为y=（x ﹣1）2﹣4， .........8分令x ﹣1=x′，则点P （x ﹣1，x 2+bx+c ）的纵坐标随横坐标变化的关系式为y=x′2﹣4，因此点P （x ﹣1，x 2+bx+c ）的纵坐标随横坐标变化的如图：.................11分【点 评】：此题难度不大，主要考查了用待定系数法求函数关系式；二次函数的的图象、 性质的的应用.其中第一小问比较容易，第二小问其关键在于通过换元法将 x ﹣1=x ′.27．（12分）（2015•厦门）已知四边形ABCD 内接于⊙O ，∠ADC=90°，∠DCB ＜90°，对角线AC 平分∠DCB ，延长DA ，CB 相交于点E ．（1）如图1，EB=AD ，求证：△ABE 是等腰直角三角形；（2）如图2，连接OE ，过点E 作直线EF ，使得∠OEF=30°，当∠ACE≥30°时，判断直线EF 与⊙O 的位置关系，并说明理由．【考 点】：M327等腰三角形性质与判定；M34B 直线与圆的位置关系；M322三角形三 边的关系；M317角平分线的性质与判定；M345四边形与圆【难易度】：较难题【分 析】 ：（1）由题意可知，四边形ABCD 中对角线AC 平分∠DCB ，于是∠ACD=∠ACB 从而=，则AD=AB ，由因EB=AD ，从而AB=EB ，再由于圆内接四边 形的性质得∠EBA=∠ADC=90°，因此可得△ABE 是等腰直角三角形.（2）由（1）可知，∠ACD=∠ACB ，∠ACE≥30°，从而60°≤∠DCE ＜90°，再 由三角形边角关系可得AE≥AC ，又已知OE ＞AE ，从而OE ＞AC ，此时作 OH ⊥EF 于H ，如图，由含30度的直角三角形三边的关系得OH=21OE ， 所以OH ＞OA ，从而依据直线与圆的位置关系可判断直线EF 与⊙O 相离．【解 答】：（1）证明：由题意可知，∵对角线AC 平分∠DCB ，∴∠ACD=∠ACB ， ∴=，∴AD=AB ， ...........3分∵EB=AD ，∴AB=EB ，∵∠EBA=∠ADC=90°，∴△ABE 是等腰直角三角形 .............6分（2）解：直线EF 与⊙O 相离．理由如下：∵∠DCB ＜90°，∠ACD=∠ACB ，∠ACE≥30°，∴60°≤∠DCE ＜90°，∴∠AEC≤30°， ...... 8分 ∴AE≥AC ，∵OE ＞AE ，∴OE ＞AC ， ............10分 作OH ⊥EF 于H ，如图2，在Rt △OEH 中，∵∠OEF=30°，∴OH=21OE ，∴OH ＞OA ， ∴直线EF 与⊙O 相离． ............12分【点 评】：此题较难，综合性较强，对于基础不好的学生，不建议在此题浪费时间，将能 做的部分做完即可，此题主要考查了等腰三角形性质与判定、直线与圆的位置 关系、三角形三边的关系、角平分线的性质与判定、四边形与圆等知识点的综 合应用.做这类题要善于在结合各类知识点充分理清思路，而本题的关键在于 通过角的大小关系转换为边的大小关系，从而判断出直线EF 与⊙O 的位置关 系.。