3．1.1 & 3.1.2 变化率问题 导数的概念[提出问题]假设下图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)．问题1：若旅游者从点A 爬到点B ，且这段山路是平直的，自变量x 和函数值y 的改变量Δx ，Δy 分别是多少？提示：自变量x 的改变量为Δx ＝x 2－x 1，函数值的改变量为Δy ＝y 2－y 1. 问题2：Δy 的大小能否判断山路的陡峭程度？ 提示：不能．问题3：怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？ 提示：对山坡AB 来说，Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可近似地刻画．问题4：能用ΔyΔx刻画山路陡峭程度的原因是什么？提示：因ΔyΔx 表示A ，B 两点所在直线的斜率k ，显然，“线段”所在直线的斜率越大，山路越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比ΔyΔx越大，山路越陡；反之，山路越缓．问题5：从点A 到点B 和从点A 到点C ，两者的ΔyΔx 相同吗？提示：不相同．[导入新知]函数的平均变化率对于函数y ＝f (x )，给定自变量的两个值x 1，x 2，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，我们把式子f x 2－f x 1x 2－x 1称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率．习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1 的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2.类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．于是，平均变化率可表示为Δy Δx. [化解疑难]1．正确理解增量Δx 与ΔyΔx 是自变量x 在x 0处的改变量，不是Δ与x 的乘积，Δx 的值可正，可负，但不能为0.Δy 是函数值的改变量，可正，可负，也可以是0.函数的平均变化率为0，并不一定说明函数f (x )没有变化．2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．利用平均变化率的大小可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度.[提出问题]一质点的运动方程为s ＝8－3t 2，其中s 表示位移，t 表示时间． 问题1：试求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度． 提示：Δs Δt＝8－＋Δt 2－8＋3×12Δt＝－6－3Δt .问题2：当Δt 趋近于0时，“问题1”中的平均速度趋近于什么？如何理解这一速度？ 提示：当Δt 趋近于0时，ΔsΔt趋近于－6.这时的平均速度即为t ＝1时的瞬时速度．[导入新知] 1．瞬时速度的概念物体在某一时刻的速度称为瞬时速度：设物体运动的路程与时间的关系是s ＝s (t )，当Δt 趋近于0时，函数s (t )在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率s t 0＋Δt －s t 0Δt趋近于一个常数，把这个常数称为瞬时速度．2．导数的定义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率：lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 fx 0＋Δx －f x 0Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|0x x ＝x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx.[化解疑难]导数概念的理解(1)导数是一个局部概念，它只与函数y ＝f (x )在x ＝x 0处及其附近的函数值有关，与Δx 无关．(2)f ′(x 0)是一个常数，即当Δx →0时，存在一个常数与f x 0＋Δx －f x 0Δx无限接近．[例1] 00x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值．[解] 函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为f x0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x 0＝x 0＋Δx2＋2]－x 20＋Δx＝6x 0·Δx ＋Δx2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. [类题通法]求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy .求平均变化率的主要步骤是：(1)计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.[活学活用]已知函数f (x )＝x ＋1x，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．解析：自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为f－f 2－1＝2＋12－＋1＝12； 自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为f－f 5－3＝5＋15－＋132＝1415. 因为12＜1415，所以函数f (x )＝x ＋1x在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快.[例2] (1)求函数y ＝x 2＋3在x ＝1处的导数； (2)求函数y ＝1x在x ＝a (a ≠0)处的导数．[解] (1)Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝[(1＋Δx )2＋3]－(12＋3) ＝2Δx ＋(Δx )2， ∴Δy Δx ＝2Δx ＋Δx 2Δx＝2＋Δx .∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 (2＋Δx )＝2. (2)Δy ＝f (a ＋Δx )－f (a )＝1a ＋Δx －1a＝a －a ＋Δx a a ＋Δx ＝－Δxa a ＋Δx，∴Δy Δx ＝－Δx aa ＋Δx ·1Δx ＝－1aa ＋Δx.∴y ′|x ＝a ＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1aa ＋Δx ＝－1a 2.[类题通法]求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的三个步骤[活学活用]已知函数y ＝f (x )＝ax 2＋c 且f ′(1)＝2，求a 的值． 解：f ′(1)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f＋Δx －fΔx＝lim Δx →0a＋Δx 2＋c －a －cΔx＝lim Δx →02a ·Δx ＋a Δx 2Δx＝lim Δx →0 (2a ＋a ·Δx ) ＝2a ＝2.∴a ＝1，即a 的值为1.[例3] 若一物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋t －2，0≤t ＜3，3t 2＋2，t ≥3(路程单位：m ，时间单位：s)．求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．[解] (1)因为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt ＝2，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)因为Δs ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2＝3(Δt )2－12Δt ， 所以Δs Δt＝Δt2－12ΔtΔt＝3Δt －12，则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为 s ′(1)＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12(m/s)． [类题通法]求瞬时速度的步骤(1)求位移增量，Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)； (2)求平均速度，v －＝ΔsΔt ；(3)取极限，lim Δt →0Δs Δt ＝lim Δt →0s t 0＋Δt －s t 0Δt；(4)若极限存在，则t 0时刻的瞬时速度为v ＝lim Δt →0Δs Δt . [活学活用]一质点按规律s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解：因为Δs ＝s (2＋Δt )－s (2) ＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1 ＝4a Δt ＋a (Δt )2， 所以ΔsΔt＝4a ＋a Δt .故在t ＝2 s 时，瞬时速度为s ′(2)＝lim Δt →0Δs Δt ＝4a (m/s)． 由题意知，4a ＝8，所以a ＝2.6.导数的概念理解不明[典例] 已知f (x )在x ＝x 0处的导数为4，则lim Δx →0 f x 0＋2Δx －f x 0Δx＝________.[解析] lim Δx →0 f x 0＋2Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x 0＋2Δx －f x 02Δx ×2＝2lim Δx →0f x 0＋2Δx －f x 02Δx＝2f ′(x 0)＝2×4＝8. [答案] 8 [易错防范]1．本题中x 的增量是2Δx ，即(x 0＋2Δx )－x 0＝2Δx ，而分母为Δx ，两者不同，若忽视这一点，则易得出结论为4的错误答案．2．在导数的概念中，增量的形式是多种多样的，但无论是哪种形式，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致．[成功破障] 求lim Δx →0f x －Δx －f xΔx.解：令－Δx ＝h ， 则lim Δx →0 f x －Δx －f xΔx＝lim h →0f x ＋h －f x－h＝－lim h →0f x ＋h －f xh＝－f ′(x )．[随堂即时演练]1．已知函数y ＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，1＋Δy )，则Δy Δx 等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2解析：选C ΔyΔx＝＋Δx 2－1－1Δx＝4＋2Δx .2．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a 的值为( ) A ．－3B ．2C ．3D ．－2解析：选C 根据平均变化率的定义， 可知Δy Δx＝a ＋b －a ＋b2－1＝a ＝3.3．一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1.解析：Δs Δt＝t 0＋Δt2＋8－t 20＋Δt＝7Δt ＋14t 0，当lim Δt →0 (7Δt ＋14t 0)＝1时，t 0＝114. 答案：1144．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，B 2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．解析：∵Δx ＝1,2＋Δx ＝3，∴Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝－23＋12＝－16.k AB ＝Δy Δx ＝－16. 答案：－165．求y ＝f (x )＝2x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．解：当自变量从x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为f x 0＋Δx －f x 0Δx＝x 0＋Δx2＋1]－x 20＋Δx＝4x 0＋2Δx ，当x 0＝1，Δx ＝12时，平均变化率的值为4×1＋2×12＝5.[课时达标检测]一、选择题1．当自变量从x 1变到x 2时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 1，x 2]上的平均变化率 B ．在x 1处的变化率C ．在x 2处的变化量D ．在区间[x 1，x 2]上的导数解析：选A 平均变化率是指函数值的变化量与相应自变量的变化量之比． 2．质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间[3,3＋Δt ]中，相应的平均速度等于( ) A ．6＋Δt B ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt 解析：选A v －＝ΔsΔt＝＋Δt2＋3]－2＋Δt＝6Δt ＋Δt 2Δt＝6＋Δt .3．如果质点M 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81 解析：选B v ＝li m Δt →0 s＋Δt －sΔt＝li m Δt →0＋Δt2－27Δt＝li m Δt →0 18Δt ＋Δt2Δt＝18.4．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1＞k 2B ．k 1＜k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：选D k 1＝f x 0＋Δx －f x 0Δx＝x 0＋Δx 2－x 2Δx＝2x 0＋Δx ，k 2＝f x 0－f x 0－Δx Δx＝x 20－x 0－Δx 2Δx＝2x 0－Δx .因为Δx 可大于零也可小于零，所以k 1与k 2的大小不确定． 5．设函数在x ＝1处存在导数，则li m Δx →0f＋Δx －f3Δx＝( )A ．f ′(1) B．3f ′(1) C.13f ′(1) D．f ′(3) 解析：选C li m Δx →0 f＋Δx －f3Δx＝13li m Δx →0 f ＋Δx －fΔx ＝13f ′(1)． 二、填空题6．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为28π3，则m 的值为________．解析：∵ΔV ＝4π3m 3－4π3×13＝4π3(m 3－1)，∴ΔV ΔR ＝4π3m 3－m －1＝28π3， 即m 2＋m ＋1＝7，解得m ＝2或m ＝－3(舍去)． 答案：27．如图是函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．解析：由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以，函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f－f 2－0＝3－322＝34.答案：348．当h 无限趋近于0时，lim h →0 ＋h 2－32h ＝________. 解析：lim h →0 ＋h 2－32h ＝lim h →0 6h ＋h 2h＝lim h →0 (6＋h )＝6. 答案：6三、解答题 9．已知函数f (x )＝13－8x ＋2x 2，且f ′(x 0)＝4，求x 0的值．解：∵f ′(x 0)＝li m Δx →0Δy Δx ＝li m Δx →0 [13－x 0＋Δx ＋2x 0＋Δx 2]－－8x 0＋2x 20Δx＝li m Δx →0 －8Δx ＋2 2x 0Δx ＋2Δx 2Δx＝li m Δx →0(－8＋2 2x 0＋2Δx ) ＝－8＋2 2x 0，∴－8＋2 2x 0＝4.∴x 0＝3 2.10．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ，时间：s)．(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度；(3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度．解：(1)初速度v0＝li m Δt →0s Δt －s Δt ＝li m Δt →0 3Δt －Δt 2Δt＝li m Δt →0(3－Δt )＝3(m/s)． 即物体的初速度为3 m/s. (2)v ＝li m Δt →0 s ＋Δt －s Δt ＝li m Δt →0 ＋Δt －＋Δt 2－－Δt＝li m Δt →0 －Δt 2－Δt Δt ＝li m Δt →0(－Δt －1)＝－1(m/s)．即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．(3)v＝s－s2－0＝6－4－02＝1(m/s)．即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.。