h0
h
注意:
f (x0 ) f (x) xx0 .
8
定义2.1.2 单侧导数
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x 0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
0
,
求
f (0).
解：
f(0)
lim
x 0
f ( x) f (0)
sin x
lim
1
x0
x x 0
f
(0)
lim
x0
f ( x) f (0) x0
lim
x 0
x x
1
f(0) f(0)
f (0) 1
13
二.导数的几何意义
y
f '( x0 )表示曲线y=f(x)上点
y f (x)
h0
h
h0 h
7
对于任一 x I,都对应着 f (x)的一个确定的 导数值.这个函数叫做原来函数 f ( x) 的导函数.
记作 y, f ( x), dy 或 df ( x) . dx dx
即 y lim f ( x x) f ( x)
x 0
x
或 f ( x) lim f ( x h) f ( x) .
o
x0
xx
MN 0, NMT 0. 设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y).
割线MN的斜率为 tan y y0 f ( x) f ( x0 ) ,
N 沿曲线C M , x x0 , x x0
x x0
切线MT的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
数 y f ( x)在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
或 dy dx
或
x x0
df (x) dx
xx0 , 或f (x0 )
5
lim y 如果
存在，则称y=f (x)在x0处可导.
x0 x
如果
lim y 不存在，则称y=f (x)在x0处不可导.
x0 x
如果
y，则称y=f (x)在x0处导数为无穷大.
f (t) f (t0 ) t t0
当 t t0时, 取极限得瞬时速度
v|t t0
lim t t0
f
(t) f (t0) t t0
3
x=f(t),
例2.切线问题
y
如图, 如果割线MN绕点M旋转而趋向 极限位置MT,直线MT就称为曲线C在 点M处的切线
y f (x)
N
T
CM
极限位置即
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
定理2.1.1
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右
导数 f( x0 )都存在且相等.
9
由定义求导数步骤:
(1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 (3) 求极限
y f ( x x) f ( x);
h0
h
lim[nx n1 n(n 1) x n2h hn1 ] nx n1
h0
2!
即 ( x n ) nx n1 .
更一般地 ( x ) x1 . ( R)
例如,
12
(
x )
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 )
(1)x 11
1 x2
.
例7
已知
f
(
x)
sin x,
x,
x
x 0
k y x1 2
( 1 ) x
x1 2
1 x2
x1 2
4.
所求切线方程为 法线方程为
y 2 4( x 1), 即 4x y 4 0. 2
y 2 1 ( x 1), 即 2x 8 y 15 0. 42
15
三.函数的可导性与连续性的关系
定理2.1.2 凡可导函数都是连续函数.
x x0
x x0
4
定义2.1.1 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量x在 x0处取得增量x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数
y f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函
解： (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
(sin x) x cos x x
4
4
2. 2
11
例6 求函数 y xn (n为正整数)的导数.
解： ( x n ) lim ( x h)n x n
lim
x0 x
6
即
y
x x0
y lim x x0
lim
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
其它形式
f
( x0 )
lim
h0
f (x0
h) h
f (x0 ) .
f ( x0 )
lim
x x0
f (x) x
f (x0 ) . x0
例3
f ( x) 10x, 求 f (1).
解： f (1) lim 10( x h) 10x lim 10h 10
证 设函数 f ( x)在点 x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )
有
lim y
x0
lim
x0
y x
x
f
(
x0
)
lim
x0
x
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
16
例10 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
x
x
y lim yБайду номын сангаас.
x0 x
例4 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
解： f ( x) lim f ( x h) f ( x) lim C C
h0
h
h0 h 0.
即 (C ) 0.
10
例5 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念 第二节 导数的计算 第三节 函数的微分
第一节 导数的概念
本节主要内容: 一.导数的定义 二.导数的几何意义 三.函数的可导性与连续性的关系
一.导数的定义
例1. 瞬时速度问题
一质点在x轴上作变速直线运动,运动方程
t 求 时刻的瞬时速度。 0 平均速度 v x t
P0( x0 , f ( x0 ))处切线的斜率。
T
M
o
x0
x
切线方程为
y y0 f ( x0 )( x x0 ).
法线方程为
y
y0
f
1 (x ( x0 )
x0 ).
14
例9 求等边双曲线
y 1 在点 (1 ,2)处的切线的 x2
, 斜率 并写出在该点处的切线
方程和法线方程
.
解: 由导数的几何意义,得切线斜率为