育才学校2020届高三年级上学期第三次月考文科数学试题一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求.）1.已知i 是虚数单位，44z 3i (1i)=-+，则z (= ) A. 10 10 C. 55【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【详解】4244z 3i 3i 13i (1i)(2i)=-=-=--+，22z (1)(3)10∴=-+-= 故选B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 2.已知全集U =R ，{|11}A x x =-<<，{|0}B y y =>，则()A C B ⋂=R （ ）A. (10)-， B. (10]-， C. (0)1， D. [01)，【答案】B 【解析】 【分析】由全集U ＝R ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的公共部分，即可确定出所求的集合． 【详解】∵{}0B y y =又由全集U ＝R ，∴R C B ＝{y |y ≤0 }，则A ∩（∁U B ）＝{x |1x -<≤0 }=(]10-，． 故选B ．【点睛】本题考查了交、补集的混合运算，求出集合B 的补集是关键，属于基础题．3.已知偶函数()f x 的图象经过点(12)-，，且当0a b ≤<时，不等式()()0f b f a b a-<-恒成立，则使得(1)2f x -<成立的x 的取值范围是 A. (0,2)B. (2,0)-C. ,02),()(∞⋃+∞－D.,2()0,()∞-⋃+∞－【答案】C 【解析】 【分析】由题意，得到函数()f x 在0x ≥时是减函数，在函数()f x 在0x <时是增函数，且()()112f f -==，进而可求解不等式的解集，得到答案．【详解】由题意，当0a b ≤<时，不等式()()0f b f a b a-<-恒成立，所以函数()f x 在0x ≥时是减函数，又由偶函数()f x 的图象经过点()1,2-，所以函数()f x 在0x <时是增函数，()()112f f -==，当1x ≥时，由()()121f x f -<=，得11x -＞，即2x ＞ 当1x <-时，由()()121f x f -<=-，得11x -<-，即0x <， 所以，x 的取值范围是()(),02,-∞⋃+∞【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中合理应用函数的单调性和函数的奇偶性转化是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 4.n S 为数列{}n a 的前n 项和,其中n a 表示正整数n 的所有因数中最大的奇数，例如：6的因数有1,2,3,6，则63a =；15的因数有1,3,5,15，则1515a =.那么30S = A. 240 B. 309C. 310D. 345【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出n a 的值，再分析规律2=n n a a ，且n 为奇数时，n a n =，从而求得它们的和．【详解】n a 表示正整数n 的所有因数中最大的奇数， ∴2=n n a a ，且n 为奇数时，n a n =，∴30113153719511313715117919=++++++++++++++++++S5211123325132772915+++++++++++ ()()135294910149111315=+++⋯+++++++++()11291585225853102=+⨯+=+=，故选C ． 【点睛】本题考查了新定义的计算求和问题，寻找出其规律是解题的关键，注意运用等差数列的求和公式，是中档题．5.已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，c =30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )A.2 B.34C. 32或2D.34或2【答案】C 【解析】 【分析】由已知利用余弦定理可得29180a a -+=，解得a 值，由已知可求中线12BD c =，在BCD 中，由余弦定理即可计算AB 边上中线的长．【详解】解：3,30b c B ===，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得29272a a =+-⨯⨯，整理可得：29180a a -+=，∴解得6a =或3．如图，CD 为AB 边上的中线，则12BD c ==， ∴在BCD 中，由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅，可得：222333336()26CD =+-⨯⨯⨯，或222333333()23CD =+-⨯⨯⨯， ∴解得AB 边上的中线32CD =或372． 故选C ．【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．6.执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是（ ）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图列出算法循环的每一步，结合判断条件得出输出的n 的值. 【详解】执行如图所示的程序框图如下：409S =≥不成立，11S 133==⨯，123n =+=；1439S =≥不成立，1123355S =+=⨯，325n =+=； 2459S =≥不成立，2135577S =+=⨯，527n =+=；3479S =≥不成立，3147799S =+=⨯，729n =+=.4499S =≥成立，跳出循环体，输出n 的值为9，故选C.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，对于这类问题，通常利用框图列出算法的每一步，考查计算能力，属于中等题.7.已知函数()f x lnx =，若关于x 的方程()f x kx =恰有两个不相等的实数根， 则实数k 的取值范围是( )A. 1(0,)eB. (0，1]eC. 1(2D. 1(2【答案】A 【解析】 【分析】f （x ）＝kx 可变形为k lnxx=，关于x 的方程f （x ）＝kx 的实数根问题转化为直线y ＝k 与函数g （x ）g （x ）lnxx=的图象的交点个数问题，由导数运算可得函数g （x ）在（0，e ）为增函数，在（e ，+∞）为减函数，又x →0+时，g （x ）→﹣∞，x →+∞时，g （x ）→0+，g （e ）1e=，画草图即可得解． 【详解】设g （x ）()f x lnx xx==， 又g ′（x ）21lnxx -=， 当0＜x ＜e 时，g ′（x ）＞0，当x ＞e 时，g ′（x ）＜0， 则函数g （x ）在（0，e ）为增函数，在（e ，+∞）为减函数， 又x →0+时，g （x ）→﹣∞，x →+∞时，g （x ）→0+，g （e ）1e=， 即直线y ＝k 与函数g （x ）的图象有两个交点时k 的取值范围为（0，1e）， 故选A ．【点睛】本题考查了导数的运算及方程与函数的互化及极限思想，属于中档题.8.关于函数2sin 314y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列叙述有误的是( ）A. 其图象关于直线4πx =-对称 B. 其图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 其值域是[－1,3] D. 其图象可由2sin 14y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的13得到 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦函数的图象与性质，逐个判断各个选项是否正确，从而得出． 【详解】当4πx =-时，1y =-，为函数最小值，故A 正确； 当12x π=时，sin(3)1124ππ⨯+=，3y =，所以函数图象关于直线12x π=对称，不关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 错误；函数的值域为[－1,3]，显然C 正确；2sin 14y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的13得到2sin(3)14y x π=++，故D 正确．综上，故选B ． 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象与性质，牢记正弦函数的基本性质是解题的关键．9.若函数()()2af x m x =+是幂函数，且其图象过点()2,4，则函数()()log a g x x m =+的单调增区间为（ ） A. ()2,-+∞ B. ()1,+∞ C. ()1,-+∞ D. ()2,+∞【答案】B 【解析】 【分析】分别求出m ，a 的值，求出函数()g x 的单调区间即可． 【详解】解：由题意得：21m +=，解得：1m =-， 故()af x x =，将()2,4代入函数的解析式得：24a =，解得：2a =，故()()()2log log 1a g x x m x =+=-， 令10x ->，解得：1x >， 故()g x 在()1,∞+递增， 故选B ．【点睛】本题考查了幂函数的定义以及对数函数的性质，是一道基础题． 10.函数()24sin f x x x =-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致是( ) A.B.C .D.【答案】D 【解析】∵函数f （x ）=2x ﹣4sinx ，∴f（﹣x ）=﹣2x ﹣4sin （﹣x ）=﹣（2x ﹣4sinx ）=﹣f （x ），故函数f （x ）为奇函数，所以函数f （x ）=2x ﹣4sinx 的图象关于原点对称，排除AB ，函数f′（x ）=2﹣4cosx ，由f′（x ）=0得cosx=，故x=2k （k∈Z），所以x=±时函数取极值，排除C ，故选D ．点睛：本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法． 11.记不等式组620x y x y +⎧⎨-≥⎩表示的平面区域为D ，命题:(,),29p x y D x y ∃∈+；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+.给出了四个命题：①p q ∨；②p q ⌝∨；③p q ∧⌝；④p q ⌝∧⌝，这四个命题中，所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ①②C. ②③D. ③④【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可画出平面区域再结合命题可判断出真命题. 【详解】如图，平面区域D 为阴影部分，由2,6y x x y =⎧⎨+=⎩得2,4x y =⎧⎨=⎩即A （2，4），直线29x y +=与直线212x y +=均过区域D ， 则p 真q 假，有p ⌝假q ⌝真，所以①③真②④假．故选A ．【点睛】本题将线性规划和不等式，命题判断综合到一起，解题关键在于充分利用取值验证的方法进行判断．12.设函数()f x 是定义在R 上周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒()()0f x f x --=，当[]1,0x ∈-时，()2f x x =．若()()log a g x f x x =-在()0,x ∈+∞上有且仅有三个零点，则a 的取值范围为（ ） A. []3,5 B. []4,6 C. ()3,5 D. ()4,6【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的周期和奇偶性作出()y f x =和log a y x =在()0,+∞上的图象,根据交点个数列出不等式求出a 的范围.【详解】()()()()0,f x f x f x f x --=∴=-，()f x ∴是偶函数，根据函数的周期和奇偶性作出()f x 的图象如图所示,()()log a g x f x x =-在()0,x ∈+∞上有且仅有三个零点， ()y f x ∴=和log a y x =的图象在()0,+∞上只有三个交点，结合图象可得log 31log 511a a a <⎧⎪∴>⎨⎪>⎩，解得35a <<， 即a范围是()3,5，故选C.【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分.)13.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin 2sin cos sin C C B A +=，(0)2Cπ，，a =1cos 3B =，则b =_________.【答案】125【解析】 【分析】利用正弦定理将已知条件角化边求得c ，再利用余弦定理解得b 即可.【详解】∵sin 2sin cos sin C C B A +=，由正弦定理可得c+2c cos B =a ，代入1cos 3B=，a =a=53c，∴c=5， 又cosB 2222546123ba cb ac +-+-===，∴b 125=．故答案为125. 【点睛】本题主要考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了计算能力，属于基础题． 14.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________． 【答案】1213. 【解析】 【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到5S ．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【详解】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a ==，所以32511(),33q q =又0q ≠，所以3,q =所以55151(13)(1)12131133a q S q --===--． 【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．15.已知2,1()lg(1),1x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则((1))=f f .【答案】0 【解析】 【分析】由内向外，逐步代入，即可求出结果.【详解】因为2,1()lg(1),1x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，所以((1))(2)lg10===f f f . 故答案为0【点睛】本题主要考查分段函数求函数值的问题，熟记函数概念即可，属于基础题型.16.已知命题:p “1,420xx x R m +∀∈-+=”.若命题p ⌝是假命题，则实数m 的取值范围是_____________. 【答案】1m 【解析】 【分析】根据命题p ⌝是假命题知p 是真命题，即转化为142,xx m x R +=-+∈恒成立问题，求1242(2)22x x x x y +=-+=-+⨯的值域即可.【详解】因为命题p ⌝是假命题，所以p 是真命题，即1,420xx x R m +∀∈-+=，所以142,x x m x R +=-+∈有解即可，令1242(2)22x x x x y +=-+=-+⨯，20x >，利用二次函数可知1y ≤，故1m ≤.【点睛】本题主要考查了二次函数求值域，恒成立问题，属于中档题. 分离参数的方法是解题的关键.三、解答题（共6小题，共70分）17.已知集合(){}()(){}22log 221,323+0,1xM x N x x a x a a a =-<=+--<<-；设:,,p x M q N ∈∈，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】5a ≤- 【解析】 【分析】分别求出关于M ，N 的范围，根据集合的包含关系得到关于a 的不等式组，解出即可． 【详解】∵log 2（2x﹣2）＜1， ∴0＜2x ﹣2＜2，解得：1＜x ＜2， 故M={x|1＜x ＜2}，∵x 2+（3﹣a ）x ﹣2a （3+a ）＜0，a ＜﹣1， ∴（x+a+3）（x ﹣2a ）＜0， ∵a＜﹣1，∴2a＜﹣3﹣a ， 故N={x|2a ＜x ＜﹣3﹣a}， ∵p 是q 的充分不必要条件，∴21321a a a ≤⎧⎪--≥⎨⎪-⎩①②＜③， ①②中等号不同时成立， 即a≤﹣5．【点睛】本题考查了集合的包含关系，考查不等式问题，是一道基础题． 18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且满足C sin2=． ()1求()sin A B +的值； ()2若a b +=ABC 的面积S 的最大值．【答案】（1）9；（2）9. 【解析】 【分析】()1由已知利用三角形内角和、同角三角函数基本关系式和倍角公式可得答案；（2）利用基本不等式求ABC 的面积S 的最大值．【详解】解：()1A ，B ，C 是三角形的内角，且满足C sin 2=，C 1cos23∴=，C C sinC 2sincos 22∴==．则()sin A B sinC +==；()12S ab sinC 29=⋅=． a，b ，c 是ABC 的边，且a b +=21a b S ab sinC ab ()29929+∴=⋅=≤=ABC ∴的面积S 的最大值为9． 【点睛】本题考查倍角公式的应用，考查三角形的解法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．19.已知函数()f x 的图象与函数()1h x x x=+的图象关于点()0,1A 对称. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()g x xf x ax =+，且()g x 在区间(]0,4上为减函数，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）12x x++；（2）(],10-∞-. 【解析】试题分析：设()f x 图象上任意一点坐标为(),B x y ，其关于()0,1A 的对称点()'','B x y ，利用中点坐标公式得到''2x xy y =-⎧⎨=-⎩，然后把()'','B x y 代入()h x 可得函数()f x 的解析式；（2）把函数()f x 的解析式代入()()g x xf x ax =+，整理后利用二次函数的单调性列式，求得实数a 的取值范围.试题解析：（1）∵()f x 的图象与()h x 的图象关于点()0,1A 对称，设()f x 图象上任意一点坐标为(),B x y ，其关于()0,1A 的对称点(),B x y '''，则0212x xy y +⎧=⎪⎪⎨+''⎪=⎪⎩∴2x x y y =-⎧⎨=-''⎩∵(),B x y '''在()h x 上，∴1y x x''=+'. ∴12y x x -=--，∴12y x x =++， 即()12f x x x=++.（2）∵()()g x xf x ax =+= ()221x a x +++且()g x 在(]0,4上为减函数，∴242a +-≥， 即10a ≤-.∴a 的取值范围为(],10-∞-.20.某工厂加工一批零件，加工过程中会产生次品，根据经验可知，其次品率p 与日产量x （万件）之间满足函数关系式2,146331,4xx p x x x⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩，已知每生产1万件合格品可获利2万元，但生产1万件次品将亏损1万元（次品率=次品数/生产量）（1）试写出加工这批零件的日盈利额y （万元）与日产量x （万件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润为多少？【答案】（1）22,14299,4x x x y x x x ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩；（2）当日产量为4万元时可获得最大利润114万元.【解析】 分析】（1）根据合格品可获利2万元，次品将亏损1万元，对x 分两种情况讨论，即可得答案；（2）利用分段函数的性质，求出最大值，即可得答案.【详解】（1）当14x ≤<时，2212662x x x y x x x ⎛⎫=--⋅=- ⎪⎝⎭当4x ≥时，22333391219y x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+⋅--+=--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 所以函数关系为221,4299,4x x x y x x x ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩；（2）当14x ≤<时，2212(2)222x y x x =-=--+，所以当2x =时取得最大值2，当4x ≥时，2229999,10x y x y xx x'-=--=-+=<， 所以在[4,)+∞函数单调递减，所以当4x =时，y 取得最大值114， 又1124>所以当日产量为4万元时可获得最大利润114万元.【点睛】本题考查分段函数模型的实际应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意求最值时要分段进行考虑.21.已知数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S .若1a 1=，且2S 1+是1S 1+，3S 1+是的等比中项．()1求数列{}n a 的通项公式；()2若n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）n 1n a 2-=；（2）()nn T 1n 12=+-⋅.【解析】 【分析】()1设出等比数列的公比q ，运用等比中项的性质和通项公式，解方程可得q ，进而得到所求通项公式；()2求得n 1n n b n a n 2-=⋅=⋅，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．【详解】解：()1数列{}n a 为公比为q 的等比数列． 若1a 1=，且2S 1+是1S 1+，3S 1+是的等比中项， 可得()()2213(S 1)S 1S 1+=++，即为()22(2q)22q q+=++，解得q 2(0=舍去)，则n 1n a 2-=；()n 1n n 2b n a n 2-=⋅=⋅，则前n 项和01n 1n T 1222n 2-=⋅+⋅+⋯+⋅，2n n 2T 1222n 2=⋅+⋅+⋯+⋅，两式相减可得n 1nn T 122n 2--=++⋯+-⋅n n 12n 212-=-⋅-， 化简可得()nn T 1n 12=+-⋅．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和性质、求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简整理的运算能力，属于基础题． 22.已知函数()()23e ,91xf x xg x x =+=-.(1)求函数()()e 4xx x x f x ϕ=+-的单调区间;(2)比较()f x 与()g x 的大小,并加以证明.【答案】（1）()x ϕ在(,ln 2)-∞上单调递增，在(ln 2,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增.（2）()()f x g x > 【解析】试题分析：（１）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号，对应确定单调区间，（２）构造差函数，求导得单调性，根据零点存在定理确定零点区间以及满足条件，根据单调性确定函数最小值取法，最后确定最小值大于零. 试题解析：解：（1）()()()'22xx x e ϕ=--，令()'0x ϕ=，得1ln2x =，22x =； 令()'0x ϕ>，得ln2x <或2x >； 令()'0x ϕ<，得ln22x <<.故()x ϕ在(),ln2-∞上单调递增，在()ln2,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增. （2）()()f x g x >. 证明如下：设()()()h x f x g x =-= 2391x e x x +-+，∵()'329xh x e x =+-为增函数，∴可设()0'0h x =，∵()'060h =-<，()'1370h e =->，∴()00,1x ∈. 当0x x >时，()'0h x >；当0x x <时，()'0h x <.∴()()0min h x h x = 0200391xe x x =+-+，又003290xe x +-=，∴00329x ex =-+，∴()2000min 2991h x x x x =-++-+ 2001110x x =-+ ()()00110x x =--.∵()00,1x ∈，∴()()001100x x -->， ∴()min 0h x >，()()f x g x >.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。