幂函数经典例题（答案）幕函数的概念例1、下列结论中，正确的是()A ・幕函数的图象都通过点(0,0), (1,1) B.幕函数的图象可以出现在第四象限C ・当幕指数么取1,3,；时，幕函数y=*是增函数D.当幕指数么=一1时，幕函数)，=亡在定义域上是减函数解析 当無指数α=-l 时，幕函数y=χ~l 的图象不通过原点，故选项A 不 正确；因为所有的農函数在区间(0, +8)上都有定义，且y=χa (α∈R), j>0, 所以專函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B 不正确；而当α=-l 时，y =Ll 在区间(一8, 0)和(0, +8)上是减函数，但它在定义域上不是减函数.答案C 例2、已知幕函数金)=(Z+i χτ[(7+3L2r 2)(f ∈Z)是偶函数且在(0, +8)上 为增函数，求实数/的值•'分析 关于舉函数y=x a(<z ∈R, α≠0)的奇偶性问题，设"(|p|、Igl 互质),当彳为偶数时，"必为奇数，y=x"是非奇非偶函数；当$是奇数时，P=X?的 q q 奇偶性与P 的值相对应. 解 Ty(X)是幕函数，.∙./3-r+l = 1, Λr=-l,l 或 0.7当f=0时，M=X 1是奇函数； 当Z=-I 时，/(x)=x ⅛偶函数； 当f=l 时.是偶函数,且2和;都大于0.¢(0, +8)上为增函数.点评 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条 件∕∈Z 给予足够的重视•例J 如图是幕函数尸=0与在第一象限内的图象，贝∣J()故t=∖F=-1 且/(x)=A ∣∙A ．-1<n<0<m<1 B．n<－1,0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1m>1 解析在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m<1，n<－1.答案B点评在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间(1，＋∞ )上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴．1例4、已知x12>x3，求x 的取值范围．1作出函数y=x2和y= x3的图象（如右图所示），易得x<0或x>1. 例5、函11错解由于x2≥0，x3∈R，则由x2>x3，可得x∈R.错因分析上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y＝xα在α>1 和0<α<1 两种情况下图象的分布．正解数f（x）＝（m2－m－1）xm2＋m－3 是幂函数，且当x∈（0，＋∞ ）时，f （x）是增函数，求f（x）的解析式．分析解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m，再由单调性确定m.解根据幂函数定义得m2－m－1＝1，解得m＝2 或m＝－1，当m＝2 时，f（x）＝x3在（0，＋∞）上是增函数；当m＝－1 时，f（x）＝x－3在（0，＋∞）上是减函数，不符合要求．故f （x）＝x3. 点评幂函数y＝xα（α∈R），其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数（也可以为0）．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．1变式已知y＝（m2＋2m－2）x m2－1＋2n－3 是幂函数，求m，n 的值．m2＋2m－2＝1解由题意得m2－1≠ 0 ，2n－3＝0m＝－3解得 3 ，n＝23所以m＝－3，n＝2.例6、比较下列各组中两个数的大小：3 3－2－21.5 1.5－－（1）1.55，1.75；（2）0.71.5，0.61.5；（3）（－1.2）3，（－1.25）3．解析：（1）考查幂函数 y ＝ x 5 的单调性，在第一象限内函数单调递增，333（2）考查幂函数 y ＝x 3 的单调性，同理 0.71.5>0.61.5． （3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，－2－2 －2 － 2 －2 －2∵（－1.2） 4＝1.2 3 ，（－1.25） 3＝1.25 3，又1.2 3 >1.25 3－2>1.25 3． 点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作 为桥梁来比较大小．例 7、比较下列各组数的大小5 5 7 1 7（1） 3－52与 3.1－25； （2）－8－87与－ 9 78.分析 比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可 用 0 与 1 去比较，这种方法叫 “搭桥 ”法．5解 （1）函数 y ＝x －2在（0，＋ ∞）上为减函数，55又 3<3.1，所以 3－ 2>3.1－ 2.7 1 7 7 1 1 1 7 1（2）－ 8－87＝－ 8 78，函数 y ＝x 78在（0，＋∞）上为增函数，又 18>91，则 8 78> 9 7 8，7 1 7从而－ 8－87<－ 9 78.点评 比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更 善于运用 “搭桥”法进行分组，常数 0和 1是常用的参数．变式 比较下列各组数的大小：2 2 π 2 （1） －3 － 3与 － 6 － 3；∵函数 y ＝x －23在（0，＋ ∞）上为减函数，又 ∵23>6π，3 3 2（2）4.15，（－ 1.9）5与 3.8－3.∴ (－1.2) 3222 解 (1) － 32－ 23＝ 232，3，π 2 π 26－3＝ 6 － 3，∴ －2－2＝ 2－ 2<π－2＝ －π－2.∴ －3－3＝3 － 3< 6－3＝ －6－3.（2）（4.1）25>125＝1,0<3.8－23<1－32＝1，（－1.9）53<0， 所以（－1.9）53<3.8－ 23<（4.1）52.例 8、 已知幂函数 y ＝x 3m －9 （m ∈N *）的图象关于 y 轴对称，且在 （0，＋∞ ） 上函数值随 x 的增大而减小，求满足 （a ＋1）－m 3<（3－2a ）－m3的 a 的范围．解 ∵函数在 （0，＋ ∞）上递减， ∴3m －9<0，解得 m<3， 又 m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数图象关于 y 轴对称， ∴3m －9 为偶数，故 m ＝ 1，11∴有 （a ＋1）－3<（3－2a ）－3.1 又∵y ＝x －3在（－∞，0），（0，＋ ∞）上均递减， ∴a ＋1>3－ 2a>0 或 0>a ＋ 1>3－ 2a 或 a ＋ 1<0<3－ 2a ，23解得 3<a<2或 a<－1.点评 （1）解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义．（2）幂函数 y ＝x α，由于 α的值不同，单调性和奇偶性也就不同．变式 已知幂函数 y ＝xm 2－2m －3 （m ∈Z ）的图象与 x 轴、y 轴都无公共点， 且关于 y 轴对称，求 m 的值，且画出它的图象．解 由已知，得 m 2－2m －3≤0，∴－ 1≤ m ≤3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－ 1,0,1,2,3，当 m ＝0 或 m ＝2 时， y ＝x －3为奇函数，其图象不关于 y 轴对称，不符合题 意．当 m ＝－ 1 或 m ＝3 时，有 y ＝x 0，其图象如图 ① 所示． 当 m ＝1 时，y ＝x 4，其图象如图 ②所示．练习一、选择题 1．下列命题：①幂函数的图象都经过点 (1,1)和点 (0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象 限；③n ＝0 时， y ＝x n 的图象是一条直线；④幂函数 y ＝x n，当 n>0 时，是增函 数；⑤幂函数 y ＝ x n ，当 n<0 时，在第一象限内函数值随 x 值的增大而减小． 其中正确的是 ( ) A ．①和④ B ．④和⑤ C ．②和③ D ．②和⑤ 答案 D2．下列函数中，不是幂函数的是 ( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 1 C ． y ＝ x D ．y ＝x 2答案 A1 1 13．设 α∈ －2，－ 1，－ 2， 3，2，1，2，3 ，则使 f(x)＝ x α为奇函数且在 (0 ＋∞ )内单调递减的 α值的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ． 3 D ．4 答案 A4．当 x ∈(1，＋∞)时，下列函数图象恒在直线 y ＝x 下方的偶函数是 ( )1－22－1A ．y ＝x 2B ．y ＝x 2C ．y ＝x 2D ． y ＝x 1答案 B5．如果幂函数 y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2 的图象不过原点，则 m 的取值 ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1或 m ＝2 C ．m ＝2 D ．m ＝1答案 B∴m ＝1或 m ＝2.16．在函数 y ＝x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1 (x ≠0)中幂函数的个数为 ()xA ．1B ．0C ． 2D ． 3 答案 C解析 依据幂函数的定义判定，应选 C.17．幂函数 f(x)的图象过点 4，2 ，那么 f(8)的值为 ( ) A ．2 6B ．64C. 42D.614答案 C1 1 1解析 设 f(x)＝x α (α为常数 )，将 4，2 点代入得 2＝ 4α，∴ α＝－是( 解析 由已知m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0＝x 2，f(x)8．下列函数中，值域为 [0，＋∞ )的函数是 ( )A ．y ＝ 2xB ．y ＝x 2C ．y ＝x 2D ．y ＝log a x (a>0，且 a ≠1)答案 B解析 根据函数图象，选 B. 二、填空题11．若幂函数 y ＝f(x)的图象经过点 9， 3 ，则 f(25)＝ _________ .1 答案V VI5答案 [0，＋∞ )22解析 由 4＝ 8α，得 α＝ 3， ∴y ＝ x 3≥0.3. 如图所示是幂函数 y=x α在第一象限内的图象，已知α取± 2，± 四个 值，则相应于曲线 C1，C2，C3，C4 的α依次为 .11答案 2，2，－ 2，－ 24．若幂函数 y ＝f(x)的图象经过点 (2， 2)，则 f(25)的值是 ______ 答案 5解析 设 y ＝x α，∵点 (2， 2)在 y ＝x α的图象上，VI 1 1∴ 2＝2α， ∴α＝2，∴f(x)＝ x 2.故 f(25)＝ 252＝5.5．幂函数 y ＝ x α(α∈R)的图象一定不经过第 ____ 象限．答案 四12，1f(8)＝8－12＝2. 4.11 解析设f(x) ＝xα，则9α＝3，α＝－2.11∴f(25)＝25－21＝51.2．设幂函数y＝xα的图象经过点(8,4)，则函数y＝xα的值域是2 13 2 23 3， 15 0， 23 23，按由小到大的排列顺序为三、解答题2 1．求函数 y ＝ x 5 1解析：设 t ＝x 5 ， 当 t ＝－ 1 时， y mi2 ∴函数 y ＝x 5＋2x 5＋4(x ≥－32)的值域为［ 3，＋ )． 点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．2．已知 f(x)＝(m 2＋2m) ·xm 2＋m －1，m 是何值时， (2)反比例函数； (3)二次函数； (4)幂函数．解 (1)若 f(x)为正比例函数，则 m 2＋m －1＝12， ∴m ＝1. m 2＋2m ≠0(2)若 f(x)为反比例函数，则 m 2＋m － 1＝－ 1，∴m ＝－ 1.m 2＋2m ≠0(3) 若 f(x)为二次函数，则 m 2＋m － 1＝ 2 －1± 132， ∴ m ＝ .m 2＋ 2m ≠ 0 2 2 6．把下列各数 23， 5 － 1， 3 － 3， 答案2 3 5 3 3< 7．已知幂函数 －1< 1 0< 3 2<22. 3 3 5 2 3 3 1 f （x ）＝x －12，若 f （a ＋1）<f （10－ 2a ），则 a 的取值范围是 答案 3<a<51 2 ＋1）<f （10－2a ）， a ＋1>0， ∴ 10－ 2a>0， a ＋1>10－2a.解析 f(x) ＝x(x>0)，由图象知 x ∈ (0，＋ ∞)时为减函数，又 f(a a>－1，a<5，a>3. ∴3<a<5.1＋2x 5 ＋ 4( x ≥－ 32)值域．22∵ x ≥－ 32，∴ t ≥－ 2，则 y ＝t 2＋2t ＋4＝(t ＋1)2＋3 min ＝3．f(x)是(1)正比例函数；(4) 若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1± 23．已知点( 2，2)在幂函数f(x)的图象上，点－2，上，问当x 为何值时，14在幂函数g(x)的图象(1) f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)． 解 设 f(x)＝ x α，由题意得： 2＝( 2)2? α＝2， ∴f(x)＝x 2.同理可求： g(x)=x-2，在同一坐标系内作出 y=f(x) 与y=g(x)的图象，如图所 由图象可知：(1)当 x>1 或 x<-1 时，f(x)>g(x) ．(2) 当 x= ±1时， f(x)=g(x) ．(3)当-1<x<0 或 0<x<1 时， f(x)<g(x) ．4．已知函数 y ＝(a 2－3a ＋2)xa 2－5a ＋5 (a 为常数 )．(1)a 为何值时此函数为幂函数？(2)a 为何值时此函数为正比例函数？(3)a 为何值时此函数为反比例函数？解 (1)由题意，得 a 2－ 3a ＋2＝1，即 a 2 － 3a ＋ 1＝ 0.解得 a ＝3±2 5，即 a ＝ 3±2 5时，此函数为幂函数；解得 a ＝4，即 a ＝4 时，此函数为正比例函数；解得 a ＝3，即 a ＝3 时，此函数为反比例函数．5．已知函数 y ＝ 4 15－2x － x 2 ．（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间．示． (2)由题意，得 a 2－5a ＋ 5＝1， a 2－3a ＋(3)由题意，得 a 2－5a ＋ 5＝－ 1，a 2－3a ＋ 2≠ 0.解析：这是复合函数问题，利用换元法令t＝15－2x－x2，则y＝4 t ，（1）由15－2x－x2≥0 得函数的定义域为［－5，3］，2∴t ＝16－（x－1）2［0，16］．∴函数的值域为［0，2］．（2）∵函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．（3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x＝1，∴x ［－5，1］时，t 随x 的增大而增大；x （1，3）时，t 随x的增大而减小．又∵函数y＝4 t 在t ［0，16］时，y随t 的增大而增大，∴函数y＝415－2x－x2的单调增区间为［－5，1］，单调减区间为（1，3］答案：（1）定义域为［－5，3］，值域为［0，2］；（2）函数即不是奇函数，也不是偶函数；。