专题14 切线的性质和判定
考纲要求:
1．掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明．. 2．掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明．. 基础知识回顾: 应用举例:
招数一、利用切线进行证明和计算
【例1】如图，五边形ABCDE 内接于O ，CF 与O 相切于点C ，交AB 延长线于点F ． （1）若AE DC =，E BCD ∠=∠，求证：DE BC =； （2）若2OB =，AB BD DA ==，45F ∠=︒，求CF 的长．
招数二、添加辅助线法:通常利用添加辅助线来辅助证明圆的切线
1.切线 的定义 一般地，当直线与圆有唯一公共点时，叫直线与圆相切，其中的直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫切点.
2.切线 的性质
（1）切线与圆只有一个公共点. （2）切线到圆心的距离等于圆的半径. （3）切线垂直于经过切点的半径.
3.切线 的判定
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【例2】如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．
招数三、切线的性质和判定的综合应用
【例3】如图，在中，为上一点，以为圆心，长为半径作圆，与相切于点，过点作交的延长线于点，且.
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的长.
方法、规律归纳:
1． 切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2．证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：①过半径外端点；②垂直于这条半径.
3．常用辅助线的添加方法：①有切点连圆心，证垂直；②无切点作垂直，证相等.
4．利用切线的性质构造直角三角形，利用直角三角形的性质（勾股定理、三角函数等）进行计算.
实战演练:
1.如图，等边三角形ABC 的边长为8，以BC 上一点O 为圆心的圆分别与边AB ，AC 相切，则 O 的半径为( )
A.23
B.3
C.4
D.43
-
2.如图，AB 为⊙O 的直径，点P 为AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线PE ，切点为M ，过A 、B 两点分别作PE 的垂线AC 、BD ，垂足分别为C 、D ，连接AM ，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①AM 平分∠CAB ； ②AM 2
=AC ·AB ；
③若AB =4，∠APE =30°，则BM 的长为3
π
； ④若AC =3，BD =1，则有CM =DM 3
3.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12 ，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13.点P是线段AD 上一动点，当半径为6的P与△ABC的一边相切时，AP的长为
________.
4.如图，在Rt△AOB中，OA=OB=4
2，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O
的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为．
5.如图，在OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D. （1）求BD的度数；
（2）如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F.若EF=AB，求∠OCE的度数.
F
D
O
A B
E
6.如图，在ABC
∆中，AB AC
=，120
BAC
∠=︒，点D在BC边上，D经过点A和点B且与BC边相交于点E．
（1）求证：AC是D的切线；
（2）若23
CE=，求D的半径．
7. 如图，AB＝16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B重合），将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧于点P，Q，且点P， Q在AB异侧，连接OP．（1）求证：AP＝BQ；
（2）当BQ＝4时，求扇形COQ的面积及的长（结果保留π）；
（3）若△APO的外心在扇形COD的内部，请直接写出OC的取值范围．
8.如图，在Rt ABC
∆中，90
ACB
∠=︒，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE AB
⊥，垂足为E．
（1）若O的半径为5
2，6
AC=，求BN的长；
（2）求证：NE与O相切．
9.如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE=1，ED=3，求⊙O的半径．
10.如图，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，过点E作⊙O的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BF⊥GE于点F，交CE的延长线于点A．
（1）求证：∠ABG＝2∠C；
（2）若GF＝3，GB＝6，求⊙O的半径．。