离散数学复习资料一、填空1. 命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数”令F(x)：x 为实数，yx y x L >:),(则命题的逻辑谓词公式为 。

2. 设p ：王大力是100米冠军，q ：王大力是500米冠军，在命题逻辑中，命题“王大力不但是100米冠军，而且是500米冠军”的符号化形式为 。

命题“存在一个人不但是100米冠军，而且是500米冠军”的符号化形式为____。

3. 选择合适的论域和谓词表达集合A=“直角坐标系中，单位元（不包括单位圆周）的点集”则A= 。

4. 设 P （x ）：x 是素数， E(x)：x 是偶数，O(x)：x 是奇数 N (x,y)：x 可以整数y 。

则谓词(()(()(,)))x P x y O y N y x ∀→∃∧ 的自然语言是 对于任意一个素数都存在一个奇数使该素数都能被整除 。

5. 设个体域是{a,b}，谓词公式()()()()x P x x P x ∀⌝∨∀写成不含量词的形式是 。

6. 谓词(((,)(,))(,,))x y z P x z P y z uQ x y u ∀∀∃∧→∃的前束范式为 。

7. 命题公式)))(((R Q Q P P A →⌝∧→⌝∨⇔的主合取范式为 ，其编码表示为 。

8. 设E 为全集， ，称为A 的绝对补，记作～A ，且～（～A ）= ，～E = ，～Φ= 。

9. 设={256},{234},{134}A B C ==，，，，，，，则A-B= ，A ⊕B = ，A ×C = 。

10. 设},,{c b a A =考虑下列子集}},{},,{{1c b b a S =，}},{},,{},{{2c a b a a S =，}},{},{{3c b a S =，}},,{{4c b a S =，}}{},{},{{5c b a S =，}},{},{{6c a a S =则A 的覆盖有 ，A 的划分有 。

11. 设}2,121{Z x x x x M ∈≤≤=整除，被，}3,121{Z x x x x N ∈≤≤=整除，被，则=⋂N M ，=-N M 。

12. 设A={<1,2>,<2 , 4 >,<3 , 3 >} , B={<1,3>,<2,4>,<4,2>},则B A ⋃= ，B A ο= 。

13. A={1，2，3，4，5，6}，A 上二元关系}|,{是素数y x y x T ÷><=，则用列举法 T= ；T 的关系图为 ，T 具有 性质。

14. 偏序集><≤R A ,的哈斯图为，则≤R = 。

15. 设},2|{N n x x A n∈==，定义A 上的二元运算为普通乘法、除法和加法，则代数系统<A,*>中运算*关于 运算具有封闭性。

16. A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。

17. 设图G = < V ，E >，},,,4321v v v 的邻接矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0001001111011010A ，则1v 的入度 )(deg 1v -= ，4v 的出度)(deg 4v += ，从2v 到4v 的长度为2的路径有 条。

18. 结点数n （3≥n ）的简单连通平面图的边数为m ，则m 与n 的关系为 m<=3n-6 。

19. 设 f ，g 是自然数集N 上的函数x x g x x f N x 2)(,1)(,=+=∈∀，则=)(x g f ο 。

20. 设I 是整数集合，Z 3是由模3的同余类组成的同余类集，在Z 3上定义+3如下：]3m od )[(][][3j i j i +=+，则+3的运算表为 ；<Z +,+3>是否构成群 。

21. 集合S={α，β，γ，δ}上的二元运算*为* α β γ δ α δ α β γ β α β γ δ γ β γ γ γ δαδγδ那么，代数系统<S, *>中的幺元是 ，α的逆元是 。

22. 设< {a,b,c}, * >为代数系统，* 运算如下：A BC则它的幺元为 ；零元为 。

23. 设A={a ，b ，c}，A 上二元关系R={< a, a > , < a, b >,< a, c >, < c, c>} , 则s （R ）= 。

24. 设A={<1,2>,<2 , 4 >,<3 , 3 >} , B={<1,3>,<2,4>,<4,2>},则B A ⋃= ，B A ο= 。

25. 设集合X={1,2,3}，下列关系中 不是等价的。

A= {<1,1>,<2 , 2 >,<3 , 3 >}B= {<1,1>,<2 , 2 >,<3 , 3 >,<3,2>,<2 ,3 >} C= {<1,1>,<2 , 2 >,<3 , 3 >,<1,4>}D= {<1,1>,<2 , 2 >,<1 , 2 >,<2,1>,<1 ,3 >,<3,1>,<3 , 3 >,<2 , 3 >,<3,2>}26. 设{1,2,3,4},{1,2,2,43,3}X R ==<><><>，，则r (R)= ；s (R)= ；t (R) = 。

27. 设G 是n 阶完全图，则G 的边数m= 。

28. 设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图如右图所示：则R= 。

29. n 阶完全图Kn 的边数为 。

30. 结点数n （3≥n ）的简单连通平面图的边数为m ，则m 与n 的关系为 。

31. 图的补图为 。

* a b c a a b c b b a c cccc32. 有向图 中从v 1到v 2长度为2的通路有 条。

33. 设G 为9阶无向图，每个结点度数不是5就是6，则G 中至少有 个5度结点。

34. n 阶完全图结点v 的度数d(v) = n-1 。

二、证明1. 不构造真值表证明蕴涵式Q R P P R R P P Q →⇒⌝∧→→→⌝∧→)))((())((2. 证明,A B C D D E F A F ∨→∧∨→⇒→3. 证明(P ∧Q)∨(P ∧⌝Q) ⇔ P4. 证明(())()P Q R P Q R →∨⇔∧⌝→5. 证明)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀→∀⇒→∀6. 证明(()())()()x P x Q x xP x xQ x ∀∨⇒∀∨∃7. 用推理规则证明下式：前提: )()(,)()(,))())()((()()(x Q x x P x x R x Q x P x x P x ∃∃→∨∀→∃ 结论：))()()()((y R x P y x ∧∃∃8. 设论域D={a , b , c}，求证：))()(()()(x B x A x x xB x xA ∨∀⇒∀∨∀。

9. 设f g ο是复合函数，如果f g ο满射，则g 也是满射。

10. 假定C B g B A f →→:,:，且f g ο是一个满射，g 是个入射，则f 是满射。

11. 用反证法证明R S S Q R P Q P ∨⇒→∧→∧∨)()()(。

12. 设< I ，+ >是一个群，设I E ={ x|x=2n ，n ∈I }，证明< I E ，+ >是< I ，+ >的一个子群。

三、按要求解答1. 将谓词公式)()())()()()((y R y y Q y x P x ∀→∀∨∃化为前束析取范式与前束合取范式。

2. 用推理规则论证：如果今天是星期六，我们就要到颐和园或圆明园玩，如果颐和园游人太多，我们就不去颐和园玩。

今天是星期六，颐和园游人太多，所以，我们去圆明园玩。

3. 符号化语句：“有些人喜欢所有的花，但是人们不喜欢杂草，那么花不是杂草”。

并推证其结论。

4. 用推理规则论证：或者逻辑难学，或者有少数学生不喜欢它；如果数学容易学，那么逻辑并不难学。

因此，如果许多学生喜欢逻辑，那么数学并不难学。

5. 设有下列情况，用推理规则论证结论是否有效？ （a ）或者天晴，或者下雨。

（b ）如果天晴，我去看电影。

（c ）如果我去看电影，我就不看书。

结论：如果我在看书则天在下雨。

6. 符号化语句：“有些病人相信所有的医生，但是病人都不相信骗子，所以医生都不是骗子”。

并推证其结论。

7. 给定3个命题：P ：北京比天津人口多；Q ：2大于1；R ：15是素数。

求复合命题：)()(R P R Q ⌝∧↔→的真值。

8. 将(((,))(()()))x yP x y zQ z R x ∃⌝∃→∃→化为与其等价的前束范式。

9. 把公式()()()()x Q x x P x ∃→∀转化为前束范式 10. 求)()(Q P P Q ∧⌝∧→的主合取范式。

11. 求(A →B ∧C) ∧(⌝A ↔(⌝B ⌝∧C))的主析取范式与主合取范式。

12. 求(P ∨Q )→R 的主析取范式与主合取范式。

13. 设命题A 1，A 2的真值为1，A 3，A 4真值为0，求命题)()))(((421321A A A A A A ⌝∨↔⌝∧→∨的真值。

14. 求集合),3,2,1(10Λ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=n n x x A n 的并与交。

15. 设X={1,2,3,4,5}，X 上的关系R={<1,1> , < 1 , 2 > , <2 , 4 > , < 3 , 5 > , < 4 , 2 > }，求R 的传递闭包t (R)。

16. 设集合{}X a b c d =，，，上的关系{},,,,,,,R a b b a b c c c =<><><><>。

求R 的传递闭包()t R 。

17. 在实数平面上，画出关系{}0202,<--∧>+-><=y x y x y x R ，并判定关系的特殊性质。

18.设X ={ a ，b ，c ，d }，R 是X 上的二元关系,R ={< a ，c >，< a ，d >，< b ，c >，< b ，d >，< c ，d >}设S={1 , 2 , 3 , 4, 6 , 8 , 12 , 24}，“≤”为S 上整除关系，问：（1）偏序集≤><,S 的哈斯图如何？（2）偏序集(1) 画出R 的关系图。