直线圆锥曲线有关向量的问题 咼考考什么 知识要点:1直线与圆锥曲线的公共点的情况直线：ax by c 0 曲线：f (x, y) 02•连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系3•以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题 4. 几何与向量综合时可能出现的向量内容(3)给出，等于已知是的中点；(5)给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数，等于已知三点共线(6) 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即(7) 给出，等于已知，即是直角，给出，等于已知是钝角，给出，等于已知是锐角。
(9) 在平行四边形中，给出，等于已知是菱形；(10) 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形；(11) 在中，给出，等于已知是的外心(三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点)；(1)没有公共点 方程组无解 (2) 一个公共点i) 相交 A 0 ii) 相切A 0,(3)两个公共点A 0, 02(或A'y 2 B'y C' 0)Ax Bx C 0来计算弦长，常用的弦长公式:AB 41 ―k 2 x 1 x 2(12) 在中，给出，等于已知是的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点)；(13) 在中，给出，等于已知是的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点)；(16)在中，给出，等于已知是中边的中线高考怎么考 主要题型：1 •三点共线问题；2 •公共点个数问题；3 •弦长问题；4.中点问题；5 .定比分点问题；6.对称问题；7.平行与垂直问题；8.角的问题。
近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为(1) 考查学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。
(2) 考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方 程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。
特别提醒： 法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。
关于y 轴对称，0(1) 求椭圆C 2的方程；(2) 设O 为坐标原点，点 A, B 分别在椭圆G 和C 2上，O B= 2OA 求直线AB 的方程.2 2y x解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为—+ = 1(a >2),a 4其离心率为,故 —-= ，贝U a = 4,故椭圆C2的方程为鲁+x = 1.2a 216 4(2)解法一：A , B 两点的坐标分别记为(X A , y A ) , (X B , y s ),由O B= 2了及(1)知，0 A B 三点共线且点 A , B 不在y 轴上，因此可设直线 AB 的方程 为 y =kx .x 24 将 y = kx 代入匚 + y 2 = 1 中，得(1 + 4k 2)x 2 = 4，所以 x A =2, 41 + 4k2 2例1.过点P (x , y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于 A,B 两点，点Q 与点P为坐标原点，若uu r BP uuu 且 UULT UUU 2PA OQ ? AB则点P 的轨迹方程是(D )A.3x 21(x 0,y 0)3x 23y 21(x 0,y 0)2c.3y 21(x 0,y0)-x 2 3y 2 1(x 0, y 0)2例2. 已知椭圆C :椭圆 C 2以C 的长轴为短轴，且与 C 有相同的离心率.4例6设F 1、F 2分别是椭圆x 2 y 2 1的左、右焦点所以 x B = 4 J/,又由 OB= 2(^A 得 x B = 4X A ,4十k 冃 16 16 即 4+F = 1十？，解得k =± 1,故直线 AB 的方程为y = x 或y =— x . 解法二：A , B 两点的坐标分别记为(X A , y A ) , (X B , y B ),由6B= 2盹(1)知，O A B 三点共线且点 A , B 不在y 轴上，因此可设直线 AB 的方程 为 y = kx .2将y = kx 代入£十y 2 = 1中，得(1十4k 2)x 2 = 4, 所以xA =汙灵，由张办解得k =± 1,故直线 AB 的方程为y = x 或y =— x .uuu uuu例4已知A,B 为抛物线x 2=2py (p >o )上异于原点的两点，OA OB 0,点C 坐标为(0, 2p )(1) 求证：A,B,C 三点共线；—— —— uuuu uuu(2) 若AM = BM ( R )且OM AB 0试求点M 的轨迹方程。
2 2(〔)证明：设 A(x |, —), B(X 2,—),2p 2pUUU UUU由 O A O B 0 得 x 1x 2 2 2x X 2 0, x 1x 24p 2,2p 2pUUUT 又Q AC ( x 1,2px 2UUU牛),AB (X 2 X 2X 1,2 22p2p2 22x 2 x 1 X 1 (2p :)伙 X 1)0 ,2p 2pUUUT UUUAC // AB ，即A,B,C 三点共线。
UUUU UUU ---- -----------(2)由(1)知直线AB 过定点C,又由OM AB 0及AM = BM (R )知OM AB垂足为 M 所以点 M 的轨迹为以 OC 为直径的圆，除去坐标原点。
即点M 的轨迹方程为2 2 2x +(y-p ) =p (x 0, y 0)。
得x B =161 十 4k 2， y B = 16k2 1十 4k 2，将x B , 2 2 y B 代入稳十7 =1中，得 4+ k 2 1十 4k 21，即 4 十 k 2= 1 十 4k 2,解法二 二：易知a 2,b 1,c uur UUUT UUIT UULUPF 1 PF 2 PF 1 PF 2 cos、、3,0 , F 2 3,0，设 P x, yuuiT uuU PF 1 PF 2UU 2 UU 2 UUI PF 1PF 2F 1F 2，则联立•- %又00.3显然直线y 2x4 X 24kkx4kk 2A0B 12 x 2 y 2 3 (以下同解法一)0不满足题设条件, 可设直线I : y kx 2,A X i ,y 2 ,BX 2,y 2 ，消去 1，X 1490°y ，整理得: X 2 4kx 3X 2 cos 24k 2 3A0B 00 得: uu u OA uuu OBuuu UJU 二 OA OB x 1x 2y 』2 0又y』2kx-. 2 kx 22k ^x 2 2k x 1 X 23 k 28k 2 .21 21kk4 4uuur uuun(I)若P 是该椭圆上的一个动点，求 PF 1 PF 2的最大值和最小值(n)设过定点 M(0,2)的直线I 与椭圆交于不同的两点 A 、B ,且/ AOB 为锐角(其 中O 为坐标原点)，求直线 I 的斜率k 的取值范围.解：(I )解法一 •: 易知a 2,b 1,c /3 ,所以F 1.3,0 ,F 2'3,0 ,设P x, y ,uuur 则PF 1 uuuuPF 23 x, y,.32 2X, y X y 3 x 22X 131 2 3x 844LUI T uuuu因为X2,2 ，故当x=0, 即点P 为椭圆短轴端点时，PF 1 PF 2有最小值 -2 uuur uiuui,3，所以F 1F 1PF 22PF 22当x= 2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1 PF2有最大值132故由①、②得 2 k满足| a |+| b |=4.则点P (x ,y )的轨迹是.(C )A.椭圆B.双曲线C.线段D.射线线上，且 PF • P F 2= 0，则 | PF + PF 2| =().4 '2向量 PF + PF 2= 2P Q 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出 .PF ・ P F 2= 0，则| PF +Pfe | = 2|而=| F 1F 2| = 2/10.6. 已知A B 为抛物线x 2=2py (p>0)上两点，直线 AB 过焦点F ，A 、B 在准线上的射影 分别为C 、D,贝U ①y 轴上恒存在一点 K ，使得KA?KF 0 :②CF ? DF 0 :③存在实 数 使得 ADAO :④若线段AB 中点P 在在准线上的射影为 T ，有FT?AB 0。
中 说法正确的为 ②③④27. 已知椭圆y 2 1，过P(1,0)作直线I ，使得I 与该椭圆交于 A,B 两点，I 与y2uuir uuu轴的交点为 Q 且AQ PB ，求直线I 的方程。
解：直线I 过P(1,0)，故可设方程为y=k (x-1)，因为AQ PB ，所以AB 的中点与PQ 的 中点重合.5. ［2012 •许昌一模］设只、F 2分别是双曲线2X 2— 9 = 1 的左、右焦点.若点 P 在双曲k 2★★★自我提升平面直角坐标系中， O 为坐标原点, 1、 已知A ( 3, 1),B (-1 , 3)，若点C 满足OC——- ——- 其中OA OB ，R,且=1,则点 C 的轨迹方程为(D ) A. 3x +2y -1 仁0 B . (x -1) 2+(y -2) 2=5 C . 2 x-y =0 Dx +2y -5=02、 已知i, j 是x,y 轴正方向的单位向量，设a =(x 2)i yj,b =(x 2)iA. 2 ；'2.2 70由2X ~2yy212 2 2 2得(1+2 k)x -4 k x+2 (k -1)=0k(x 1)所以X A X B4k，又X P+XF1故1 2k24k2 1 2k22，所求的直线方程为2O1)2 2X y& [2012 •瑞安质检]设椭圆M才+ 22a1(a^2)的右焦点为F1,直线l : X = v a2― 2与X轴交于点A,若OF+ 2AF = 0(其中O为坐标原点)•(1)求椭圆M的方程；⑵设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N： X2+ (y —2)2= 1的任意一条直径(E, F为直径的两个端点)，求PE- PF的最大值.&2解: (1)由题设知，A -a2—2, 0, F1( .a—2，°),__ a______________ / y 由OF+ 2A F= o,得寸a2—2 = 2 JO—2 —寸a2— 2 .解得a2= 6.所以椭圆M的方程为石+ 2=i.⑵解法1:设圆N： x2+ (y —2)2= 1的圆心为N,则PE- PF= (N E-Nfp •( NF- Np = ( — N F— N p •( NF- N p = NfP—N F= N P—1.2 2X o y o设P(X o, y o)是椭圆M上'一点，贝U 6 + 2 = 1,所以N P= X o + (y o—2) = —2(y o+ 1) + 12.因为y o€ [ —2, 2]，所以当y o=—1时，N P取得最大值12.所以PE- PF勺最大值为11.X2=—X1 ,解法2：设点曰X1, y1) , F(X2, y2) , P(x o, y o)，所以y2= 4—y1.可得PE • PF= (X1 —X o)( X2 —X o) + (y1 —y o)( y—y o) = (X1 —x o)( —X1 —x o) + (y1 —y°)(4 —y—y o)=x o —X2+ y o —y2+ 4y1 —4y o= x o+ 4y o—(X2 + y?—4yJ .因为点E在圆N上，所以x1+ (y1 —2) 2= 1,即x1+ y1—4y1=— 3.2 2X o y o又因为点P在椭圆M上，所以6 + ~2 = 1,即x o= 6—3y o.所以PE• P F= —2y2—4y o+ 9=—2(y o+ 1)2+11.因为y o€ [ — ',2, 'J2]，所以当y o=— 1 时，(PE• PF> min= 11.y x2 2将 y = kx 代入 16+ 4 = 1 中，得(4 + k )x = 16, 5. D ［解析］根据已知厶PFF 2是直角三角形,29.设椭圆C:笃 a 2莒 1(a b 0)的左焦点为 b 2 F ,上顶点为 A ,过点A 作垂直于AF的直线交椭圆C 于另外一点P,交x 轴正半轴于点 且AP-PQ5(1)求椭圆C 的离心率; (2)若过A 、Q F 三点的圆恰好与直线I : 0相切，求椭圆C 的方程. 解：⑴设Q(x o . 0)，由 F (-c ，0) A （ 0，b ）知 FA（c,b ）,AQ（x o ， b ）2FA AQ, cx 0 b0,X 0b 2— 8 — 设 P （X 1, yd 由 AP -PQ ，得 x ! 5 8b 2 13c ，y 1 13b8b 2 因为点P 在椭圆上，所以( 13c ）22a5 （b ） 13 "V 整理得 2b 2=3ac ，即 2（ a 2— c 2） =3ac ,2e 2 3e0,1故椭圆的离心率e = 2⑵由⑴知2b 23ac ，得丄 2a ；c 2 1是 F （ — 2a ，30）， Q （—a ，0）2△ AQF 的外接圆圆心为(丄a ，0)，半径 21r=2lFQ|=a所以Ea 5|2a ，解得a =2」c =1,所求椭圆方程为。