高等数学读书笔记——定积分与不定积分马燕妮四川农业大学 经济学院 经济学 中国成都 611130【摘要】本文首先介绍了不定积分与定积分的基本定义，而后主要探究几种比较重要的积分法。
定积分是微积分学中的主要概念之一，它是从各种各样的积累中抽象出来的数学概念，它是函数的一种特定结构和式的极限。
不定积分又与定积分进行对比记忆，对不定积分的计算进行系统整理。
【关键字】定积分；不定积分；面积；凑微分法；分部积分法；换元积分法；有理函数不定积分【Abstract 】This paper first introduces the basic definition of indefinite integral and defin ite integral, and then explores several of the more important integral method. D efinite integral is one of the major concepts of calculus, it comes from the a ccumulation of various of abstracting mathematical concept, it is the function of the limit of a particular structure with type. Comparing the indefinite integra l and definite integral memory, calculation of indefinite integral system.【Key words 】Definite integral ；Indefinite integral ；Area ；differentiation division integral method ；Integral method in yuan ；The indefinite integral rational function一、不定积分与定积分的定义 （一）、定积分的定义：设f 是定义在[a,b]上的一个函数，对于[a,b]的一个分割T={ 1,∆ 2∆……n ∆}，任取点,1,2,i i i ξ∈∆=…，n,并作和式1()ni f x xi =∆∑称此和式为函数f 在[a,b]上的一个积分和，也称黎曼和。
设f 是定义在[a,b]上的一个函数，J 是一个确定的实数。
若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对[a,b]的任何分割T ，以及在其上任意选取的点集{ i ξ}，只要||T||<δ,就有1()ni f x xi J ε=∆-〈∑,则成函数f 在区间[a,b]上可积；数J 称为f 在[a,b]上的定积分记作J=()baf x dx ⎰其中，f 称为被积函数，x 称为积分变量，[a,b]称为积分区间，a,b 分别称为这个定积分的下限和上限。
（二）、不定积分的定义函数f(x)在区间I 的所有的原函数()()R C C x F ∈∀+称为函数f(x)的不定积分，表为⎰+=C x F dx x f )()()()('x f x F =（，C 为积分常数）,其中∫称为积分符号，x 称为积分变量，f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，C 称为积分常数。
在这里要特别注意：一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。
列如：at at =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'221，而⎰+=C at atdt 221； ()x x cos sin '=,而⎰+=C x xdx sin cos ；2'331x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，而⎰+=C x dx x 3231. 这也就是说：()⎰)(dx f dx和⎰dx x f )('是不相等的，即前者的结果是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。
sin cos (0)axaxdx c a x=+≠⎰(0,1)ln xxdx c a a a aa =+>≠⎰⎰+=⋅cx x x sec tan sec 二、基本积分0dx c =⎰ )0(cos 1sin ≠+-=⎰a c ax a axdxdx x c =+⎰1(1,0)1dx c x xxαααα+=+≠-〉+⎰ 1ln dx x c x=+⎰ x xdx c e e=+⎰c x dx +-=⎰cot csc 22sec tan xdx x c=+⎰⎰+-=⋅c x xdx x csc cot csc C x c x xdx +-=+=-⎰arccos arcsin 12C x arc c x x dx+-=+=+⎰cot arctan 12三、定积分与不定积分的性质（一）、定积分的性质1若f 在[a,b]上可积，K 为常数，则kf 在[a,b]上也可积，且⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()(2若f 、g 都在[a,b]z 上可积，则f ±在[a,b]上也可积，且⎰⎰⎰±=±babab adx x g dx x f dx x g x f )()()]()([3若f 、g 都在[a,b]上可积，则f*g 在[a,b]上也可积.4 f 在[a,b]上可积的充要条件是：任给c ∈（a,b ）,f 在[a,c]与[c,b]上都可积。
此时又有等式⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(5.设f 为[a,b]上的可积函数.若f(x)≥0,x ∈[a,b],则⎰≥badx x f 0)(.若f 与g 为[a,b]上的两个可积函数，且f(x)≤g(x),x ∈[a,b],则有⎰⎰≤babadx x g dx x f )()(6.若f 在[a,b]上可积，则|f|在[a,b]上也可积，且dx x f dx x f baba⎰⎰≤)()(积分中值定理：若f 在[a,b]上连续，则至少存在一点],,[b a ∈ε使得.))(()(⎰-=baa b f dx x f ε（推广的积分第一中值定理）若f 与g 都在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在一点],,[b a ∈ε使得⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ε（二）、不定积分的性质1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和；即：设函数发f （x ）及g （x ）的原函数存在，则2、 求不定积分时，被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。
即：设函数f （x ）的原函数存在，k 非零常数，则三、定积分与不等积分的计算方法 1 .分项积分法我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和：1122()()f x kg x k g x =()+()baf x dx ⎰，若右端的积分会求，则应用法则1122()()bbb aaaf x dx kg x dx k g x dx =⎰⎰⎰()+,其中1k ，2k 是不全为零的任意常数，就可求出积分，这就是分项积分法.例1计算定积分414221(1)dxx x π+⎰.解 利用加减一项进行拆项得414221(1)dx x x π+⎰=2241422(1)(1)x x dx x x π+-+⎰=41421dx x π⎰-2241222(1)(1)x xdx x x π+-+⎰ =41421dx x π⎰-41221dx x π⎰+412211dx x π+⎰=-313x 412π+4121xπ+arctan x412π.=364415arctan 323ππ-+-+.2. 分段积分法分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清楚积分限与分段函数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段.被积函数中含有绝对值时，也可以看成分段函数，这是因为正数与负数的绝对值是以不同的方式定义的，0就是其分界点.例2计算定积分221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰.解 由于1min ,cos 2x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为偶函数，在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的分界点为3π，所以 221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰=+2012min ,cos 2x dx π⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰221min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰ =0+320312(cos )2dx xdx πππ+⎰⎰=23π+3. 换元积分法（变量替换法） 换元积分法可以分为两种类型：3.1 第一类换元积分法（俗称为“凑微分法”）例3 计算定积分21sin tan dxx xπ+⎰.解21sin tan dxx x π+⎰=21cos sin (1cos )xdx x x π+⎰=22213cos sin 224sin cos 22x x dx x x π-⎰ =2211tan 2tan 22tan2xx d x π-⎰=2111(tan )tan 222tan 2x x d x π-⎰ =2221111ln tan tan 2242x xππ-=21111ln tantan 2424-+-. 3.2 第二换元积分法常用的变量替换有：①三角替换；②幂函数替换；③指数函数替换④倒替换． 下面具体介绍这些方法．① 三角替换例4 计算定积分31240(1)x x dx -⎰.解 由于31240(1)x x dx -⎰=3124201(1)2x dx -⎰，故可令2sin x t =，于是 31240(1)x x dx -⎰=arcsin1401cos 2tdt ⎰=2arcsin101(1cos 2)8t dt +⎰ =arcsin101(12cos 28t ++⎰1cos 4)2tdt + =arcsin111(32sin 2sin 4)164t t t ++=1(34sin 16t +2arcsin10sin sin ))t -=224101(3arcsin 4(1216x x x x +-=2101(3arcsin 5216x x x +=3arcsin116.②幂函数替换例5 计算定积分220sin sin cos xdx x xπ+⎰. 解 作变量代换2x t π=-，得到220sin sin cos x dx x xπ+⎰=220cos sin cos t dt t t π+⎰，因此220sin sin cos x dx x x π+⎰=2222001sin cos ()2sin cos sin cos x t dx dt x x t t ππ+++⎰⎰= 20112sin cos dx x x π+⎰201sin()4dx x ππ+⎰3441sin dx xππ⎰= 3441cos )sin x x ππ-. ③倒替换例6 计算定积分311232xx.解11令1t x=得 111-=1arcsin-=6π.④替换公式4. 分部积分法]若()x μ'，()x ν'在[],a b 上连续，则bbb a aauv dx uv u vdx ''=-⎰⎰或bbba aaudv uv vdu =-⎰⎰.利用分部积分求()baf x dx ⎰的解题方法（1）首先要将它写成baudv ⎰()bauv dx '⎰或得形式．选择,u v ，使用分布积分法的常见题型：5. 带积分型余项的泰勒公式在定积分计算中的应用若函数()f x 在0x 点的领域0()U x 内有连续的1n +阶导数，则x ∀∈0()U x ，有2000001()()()()()()2!f x f x f x x x f x x x '''=+-+-++()001()()!n n f x x x n -+ ()n R x ，其中0(1)1()()()!x n n n x R x f t x t dt n +=-⎰称为积分型余项．例7 计算2()(0)nb n a b dx n N a b x++∈<<⎰（-x ）. 解 设1()f x x=，则1(1)2(1)(1)!()n n n n f x x +++-+= 2nb n a b dx x +⎰（-x ）=1(1)(1)1()()(1)!n b n na b x dx n x ++--+⎰ =2123111111(1)!()()()(1)(10!nn n n n b a b a b a b a n a a a ++⎡⎤--+---++-⎢⎥-+⎣⎦=11(1)(1)1n n b a n b++--+.四、定积分和不定积分的运用 （一）、定积分 1.平面图形的面积一般地，有上、下两条连续曲线 y=f 2(x)与y=f 1(x)以及两条直线x=a 与x=b （a<b ）所围的平面图形如图（1所示，它的面积计算公式为 A=.)]()([12dx x f x f ba-⎰。