习题3一、填空题1．设，则有_________个根，它们分别位于_ _______区间；2．函数在上满足拉格朗日定理条件的；３．函数与在区间上满足柯西定理条件的；4．函数在上满足拉格朗日中值定理条件的；５．；6．；7．;8．函数的单调减区间是；9．设在可导，则是在点处取得极值的条件；10．函数在及取得极值，则；11. 函数的极小值是;12．函数的单调增区间为；13. 函数的极小值点是；14. 函数在上的最大值为，最小值为；14. 函数在的最小值为;15. 设点是曲线的拐点,则;16. 曲线的下凹区间为,曲线的拐点为;17. 曲线的上凹区间为;18. 曲线的拐点为;19. 若是的四次多项式函数,它有两个拐点,并且在点处的切线平行于轴,那么函数的表达式是;20. 曲线的拐点为;21. 曲线的水平渐近线的方程是,垂直渐近线的方程是;22. 的垂直渐近线为; 水平渐近线为;23. 曲线在的曲率;24. 曲线的曲率计算公式为;25. 抛物线在顶点处的曲率为;二. 单项选择题1. 罗尔定理中的三个条件;在上连续,在可导,且是在至少存在一点,使得成立的( ).必要条件充分条件充要条件既非充分也非必要2. 函数，则（）.在任意闭区间上罗尔定理一定成立；在上罗尔定理不成立；在上罗尔定理成立；在任意闭区间上，罗尔定理都不成立；3. 设函数在区间上连续,在开区间上可导,且,,则必有( ).; ;4. 下列函数在上满足拉格朗日中值定理条件的是( ).; ; ;5. 函数,它在( ).不满足拉格朗日中值定理的条件;满足拉格朗日中值定理的条件,且;满足中值定理的条件,但无法求出的表达式;不满足中值定理条件,但有满足中值定理的结论.6. 若在开区间可导,且是任意两点,则至少存在一点使得下式成立( ).;7. 设是的可导函数,是的任意两点,则( ) .在之间恰有一个,使得在之间至少存在一点,使得对于与之间的任一点,均有8. 若在开区间可导,且对任意两点恒有,则必有( ).(常数)9. 已知函数,则方程有( ).分别位于区间的三个根;四个根,它们分别为;四个根,分别位于分别位于区间的三个根;10. 若为可导函数,为开区间一定点,而且有,则在闭区间上必总有( ).11. 若,则方程( ).无实根有唯一实根有三个实根有重实根12. 若在区间上二次可微,且(),则方程在上( ).没有实根有重实根有无穷多实根有且仅有一个实根13. 求极限时,下列各种方法正确的是( ).用洛必达法则后,求得极限为0;因为不存在,所以上述极限不存在;原式=因为不能用洛必达法则,故极限不存在;14. 设为未定型, 则存在是也存在的( ).必要条件充分条件充要条件既非充分也非必要条件15. 若与可导,, 且,则( ).必有存在,且必有存在,且如果存在,且如果存在,不一定有16. 函数在( ).单调增加单调减少单调增加,其余区间单调减少单调减少,其余区间单调增加17. 已知在上连续,在可导,且当时,有,又,则( ).在上单调增加, 且;在上单调增加, 且;在上单调减少, 且;在上单调增加, 但正负符号无法确定.18. 当时,有不等式( )成立.当时,当时当时,当时19. 函数的图形,在( ).处处是凸的; 处处是凹的;为凸的,在为凹的为凹的,在为凸的. 20. 若在区间,函数的一阶导数,二阶导数,则函数在此区间是( ).单调减少,曲线上凹; 单调增加,曲线上凹;单调减少,曲线下凹单调增加,曲线下凹.21. 曲线的凹凸区间是( ).为其凹区间; 为其凸区间;当时,曲线是凸的, 时是凹的;当时,曲线是凹的, 时是凸的;22. 曲线( ).有一个拐点; 有二个拐点; 有三个拐点; 无拐点;23. 若点为曲线的拐点,则( ).必有存在且等于零; 必有存在但不一定等于零;如果存在,必等于零; 如果存在,必不等于零.24. 设函数在处有,在处不存在,则( ).及一定都是极值点; 只有是极值点;及都可能不是极值点; 及至少有一个点是极值点.25. 曲线 ( ).有极值点,但无拐点; 有拐点,但无极值点;是极值点, 是拐点; 既无极值点又无拐点.26. 若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值,则( ).极大值一定是最大值,极小值一定是最小值;极大值一定是最大值,或极小值一定是最小值;极大值不一定是最大值,极小值不一定是最小值;极大值必大于极小值.27. 函数在区间上的最小值为( ).; 0 ; 1 ; 无最小值.28. 指出曲线的渐近线( ).没有水平渐近线,也没有斜渐近线;为垂直渐近线,无水平渐近线;既有垂直渐近线,又有水平渐近线;只有水平渐近线.29. 曲线的渐近线有( ).1条 ; 2条 ; 3条 ; 4条 ;30. 设在可导,且对于任意,当时有,则( ).对于任意 ; 对于任意 ;函数单调增加 ; 函数单调增加.31. 设函数在上则或的大小顺序是( ).;; .32. 设有二阶连续导数,且,则( ).是的极大值; 是的极小值;是曲线的拐点;不是的极值, 不是曲线的拐点.33. 在区间,方程( ).无实根 ; 有且仅有一个实根; 有且仅有两个实根; 有无穷多个实根34. 设时,与是同阶无穷小,则为( ).1 ;2 ;3 ;4 .35. 函数不可导点的个数是( ).3 ; 2 ; 1 ; 0 .36. 设函数在的某个邻域连续，且为其极大值，则存在当时，必有（）。
；；37．函数在取得极值，则（）。
0 ；； 1 ； 2 。
38．下列曲线集邮水平渐近线，又有垂直渐近线的是（）。
；；；。
39．设为正整数，则（）。
； 1 ；0 ；40．=（）。
1 ；；；。
三. 计算题1. 求下列极限2.求极限:3.求极限:4. 求极限:5. 求极限:6. 求极限:7. 求极限:8. 求极限:9. 求极限:10. 求极限:11. 求极限:12. 求极限:13. 求极限:14. 求极限:按(x4)的幂展开多项式x45x3x23x416. 应用麦克劳林公式按x幂展开函数f(x)(x23x1)317. 求函数按(x4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式18.. 求函数按(x1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式求函数f(x)tan x的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式20. 判定函数f(x)arctan x x单调性21. 判定函数f(x)x cos x (0x2)的单调性22. 确定下列函数的单调区间y2x36x218x723. 确定下列函数的单调区间(x>0)24. 确定下列函数的单调区间25. 确定下列函数的单调区间y(x1)(x1)326. 确定下列函数的单调区间27. 确定下列函数的单调区间y x n e x(n>0x0)28. 确定下列函数的单调区间y x|sin 2x|29. 判定下列曲线的凹凸性y4x x230. 判定下列曲线的凹凸性: (x>0)31. 判定下列曲线的凹凸性: y x arctan x32.. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间y x35x23x 533. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间 : y xe x34. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: y(x1)4e x35. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间 : y ln(x21)36. 试决定曲线y ax3bx2cx d中的a、b、c、d使得x2处曲线有水平切线 (110)为拐点且点(2 44)在曲线上37. 试决定y k(x23)2中k的值使曲线的拐点处的法线通过原点38. 求函数的极值y2x36x218x739. 求函数的极值y x ln(1x)40. 求函数的极值41. 求函数的极值42. 求函数的极值y e x cos x43. 求函数的极值44. 求函数的极值y x tan x45. 试问a为何值时函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值46. 求下列函数的最大值、最小值y=2x33x21x447. 问函数y2x36x218x7(1x4)在何处取得最大值？并求出它的最大值48. 问函数(x0)在何处取得最小值？49. 问函数(x0)在何处取得最大值？50. 求椭圆4x2+y2=4在点(0 2)处的曲率51. 求曲线y=lnsec x在点(x y)处的曲率及曲率半径52. 求抛物线y=x24x+3在其顶点处的曲率及曲率半径53. 求曲线x a cos3t y a sin 3t在t t0处的曲率四.证明题1验证罗尔定理对函数y ln sin x在区间上的正确性2验证拉格朗日中值定理对函数y4x35x2x2在区间[01]上的正确性3对函数f(x)sin x及F(x)x cos x在区间上验证柯西中值定理的正确性4不用求出函数f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)的导数，说明方程f(x) 0有几个实根并指出它们所在的区间5．证明恒等式(1x1)6．若方程a0x n a1x n1a n1x0有一个正根x0证明方程a 0nx n1a1(n1)x n 2 a n 1 0必有一个小于x0的正根7．设a b0n>1证明nb n1(a b)<a n b n<na n1(a b)8．设a b0证明9．证明下列不等式(1)|arctan a arctan b||a b|(2)当x1时e x e x10．证明方程x5x10只有一个正根11．证明下列不等式当x0时12. 证明下列不等式当x0时13. 证明下列不等式当时 sin x tan x2x14. 证明下列不等式当时15．设0, 证明多项式f(x)a0a1x a n x n在(0, 1)至少有一个零点.16．设f(x)在[0, a]上连续, 在(0, a)可导, 且f(a)0, 证明存在一点(0, a), 使f()f()0.17．设0<a<b, 函数f(x)在a b上连续在(a b)可导试利用柯西中值定理证明存在一点(a b)使.18．设f(x)、g(x)都是可导函数, 且|f(x)|<g(x), 证明: 当x>a时, |f(x) f(a)|<g(x)g(a).19．设函数在上连续，在具有二阶导数，且连接点和的直线与交于点，证明：存在，使.20. 设在连续, 在可导,,且为单调增函数,令,证明:在为单调增函数.21. 设函数对一切,满足方程,证明:当在点处取得极值,则此极值必是极小值.22. 证明: 当时,.五.应用题1. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋现有存砖只够砌20cm长的墙壁问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？2. 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆截面的面积为5m2问底宽x为多少时才能使截面的周长最小从而使建造时所用的材料最省？3. 从一块半径为的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图)问留下的扇形的中心角取多大时做成的漏斗的容积最大？4. 求接于椭圆且两边分别平行于坐标轴的面积最大的矩形.5. 欲作一个容积为3000的无盖圆柱形蓄水池,已知池底单位面积造价为池壁单位面积造价的3倍,问蓄水池的尺寸怎样设计才能使得总造价最省?6. 已知球的半径为,试在它的接圆柱体中,求出具有最大侧面积的圆柱体的底半径与高.7. 求点到曲线的最短距离.8. 一艘停泊在海之中的军舰,离海岸垂直距离9,离海岸上的兵营,今欲从舰上送信到兵营,已知送信人步行的速度为,划船速度是,问送信人应该在何处上岸,才能使信在最短的时间到达兵营.(假定海岸线是直的)9. 与码头位于一条东西向直线形河流的同一侧,河岸边的厂离码头10公里,厂在码头的正北方4公里,今要在两厂之间修一条公路,如果延河岸筑路费用为3千元/公里,不沿河岸筑路费用为5千元/公里,问此公路沿河岸修筑几公里,才使筑路总费用最省?。