第10讲-函数的图象一、 考情分析1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.二、 知识梳理1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换y ＝f (x )的图象―——————————―→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象； y ＝f (x )的图象―——————————―→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象； y ＝f (x )的图象――————————————→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象――——————————→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象. (3)伸缩变换y ＝f (x )――———————————————————→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a （a >0）倍y ＝f (ax ).y ＝f (x )―————————————————————―→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A (A >0)倍y ＝Af (x ).(4)翻折变换y ＝f (x )的图象――————————————→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；y ＝f (x )的图象―————————————————―→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象.[微点提醒] 记住几个重要结论(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称. (2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )中心对称.(3)若函数y ＝f (x )对定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.三、 经典例题考点一 作函数的图象【例1】 作出下列函数的图象：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |； (2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝x 2－2|x |－1.【解析】 (1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图①实线部分.(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②.(3)∵y ＝⎩⎨⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图③. 规律方法 作函数图象的一般方法(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.考点二函数图象的辨识【例2】(1)(一题多解)函数y＝1＋x＋sin xx2的部分图象大致为()(2)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为()【解析】(1)法一易知g(x)＝x＋sin xx2为奇函数，故y＝1＋x＋sin xx2的图象关于点(0，1)对称，排除C；当x∈(0，1)时，y>0，排除A；当x＝π时，y＝1＋π，排除B，选项D满足.法二当x＝1时，f(1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，排除A，C；又当x→＋∞时，y→＋∞，排除B，而D满足.(2)f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2，2]是偶函数，又f(2)＝8－e2∈(0，1)，排除选项A，B；当x≥0时，f(x)＝2x2－e x，f′(x)＝4x－e x，所以f′(0)＝－1<0，f′(2)＝8－e2>0，所以函数f(x)在(0，2)上有解，故函数f (x )在[0，2]上不单调，排除C ，故选D. 规律方法 1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 考点三 函数图象的应用【例3－1】 已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A.f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B.f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C.f (x )是奇函数，递减区间是(－1，1) D.f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)【解析】 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得 f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上是减少的.【例3－2】 已知函数y ＝f (x )的图象是如图所示的折线ACB ，且函数g (x )＝log 2(x ＋1)”，则不等式f (x )≥g (x )的解集是( )A.{x |－1<x ≤0}B.{x |－1≤x ≤1}C.{x |－1<x ≤1}D.{x |－1<x ≤2}【解析】 令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)， 作出函数g (x )图象如图，由⎩⎨⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2（x ＋1），得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}.【例3－3】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________. 【解析】 在同一坐标系中，作y ＝f (x )与y ＝b 的图象.当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2， ∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ， 即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.规律方法 1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标；不等式f (x )<g (x )的解集是函数f (x )的图象位于g (x )图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想. [方法技巧] 1.识图对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系.2.用图借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质.利用函数的图象，还可以判断方程f (x )＝g (x )的解的个数，求不等式的解集等.3.图象变换是针对自变量x 而言的，如从f (－2x )的图象到f (－2x ＋1)的图象是向右平移12个单位，先作如下变形f (－2x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，可避免出错.4.明确一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系.5.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用.四、 课时作业1．（2020·浙江省高三二模）函数()y f x =的部分图象如图所示，则（ ）A ．()()()1112121x f x x x =+++- B ．()()()1112121x f x x x =-++-C ．()()()1112121x f x x x =+-+-D ．()()()1112121x f x x x =--++-【答案】A【解析】由函数图象的对称性可得，函数()y f x =为奇函数. 在选项C 中，()()()21111121211f x x x x x x =+-=-+--,()()111122+2323f f -=--≠-=-不是奇函数，所以排除.在选项D 中，()()()21111121211x x x x f x x=--+=-+--,()()11112+23223f f -=≠-=-不是奇函数，所以排除.在选项B中. ()()()()2211112121111x x x x xxx xf x=-+=-=+---()()()211x xf x f x-==---是奇函数,由()()211xfxx=-，当x>且0x→时，()0f x<，不满足条件，所以排除. 2．（2020·天津高一期末）已知函数()2,01ln,0x xf xxx-⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x x a=--.若()g x有2个零点，则实数a的取值范围是（）A．[)1,0-B．[)0,+∞C．[)1,-+∞D．[)1,+∞【答案】D【解析】令()0g x=可得()f x x a=+，作出函数()y f x=与函数y x a=+的图象如下图所示：由上图可知，当1a≥时，函数()y f x=与函数y x a=+的图象有2个交点，此时，函数()y g x=有2个零点.因此，实数a的取值范围是[)1,+∞.3．（2020·江西省临川一中高一开学考试）已知函数()()21,1ln1,1x xf xx x-≤⎧⎪=⎨->⎪⎩,则方程()()1f f x=根的个数为( ) A ．3 B ．5C ．7D ．9【答案】C【解析】令()u f x =,先解方程()1f u =. （1）当1u ≤时,则()211f u u =-=,得11u =；（2）当1u >时,则()()ln 11f u u =-=,即()ln 11u -=±,解得211u e=+,31u e =+. 如下图所示：直线1u =,11u e=+,1u e =+与函数()u f x =的交点个数为3、2、2, 所以,方程()1f f x ⎡⎤=⎣⎦的根的个数为3227++=.4．（2020·福建省高三其他（理））设函数()4cos f x x x =--的导函数为()g x ，则()g x 图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为()4cos f x x x =--，所以()3'sin 4f x x x =-，所以()3sin 4g x x x =-，所以函数()g x 是奇函数，其图象关于原点成中心对称，而函数()g x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以选项B ，C 错误；又因为其图象过原点O ，所以选项A 错误.5．（2020·四川省泸县第一中学高三三模（文））函数()21x f x x-=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意，函数()21x f x x -=，可得()()22()11x x f x f x x x----===-， 即()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，图象关于y 对称，排除B 、C ；当0x >时，()211x f x x x x-==-，则21'()1f x x =+＞0，所以函数在0∞（，＋）上递增，排除A ， 6．（2020·陕西省高三二模（文））现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③cos y x x =⋅；④2xy x =⋅的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①【答案】A【解析】①sin y x x =⋅为偶函数，它的图象关于y 轴对称，故第一个图象即是； ②cos y x x =⋅为奇函数，它的图象关于原点对称，它在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值为正数， 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的值为负数，故第三个图象满足； ③cos y x x =⋅为奇函数，当0x >时，()0f x ≥，故第四个图象满足；④2xy x =⋅，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，7．（2020·湖南省长郡中学高二月考）函数()ln xf x x=的图象可能是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意知，函数()f x 的定义域为}{0x x ≠，其定义域关于原点对称， 因为()()ln ln x xf x f x x x--==-=--，故()f x 为奇函数，故选项B 、C 排除；又()ln1101f ==，()ln 0ef e e=>，故选项D 排除； 8．（2020·天津高二期中）已知定义在R 上的函数()y xf x '=的图象（如图所示）与x 轴分别交于原点、点(2,0)-和点(2,0)，若3-和3是函数()f x 的两个零点，则不等式()0f x >的解集（ ）A ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞B ．(-∞，3)(3-，)+∞C ．(-∞，3)(0-⋃，2)D ．(3-，0)(3⋃，)+∞【答案】B【解析】由图，当(),2x ∈-∞-时()0xf x '>，故()0f x '<，()f x 为减函数； 当()2,0x ∈-时()0xf x '<，故()0f x '>，()f x 为增函数； 当()0,2x ∈时()0xf x '<，故()0f x '<，()f x 为减函数； 由图，当()2,x ∈+∞时()0xf x '>，故()0f x '>，()f x 为增函数； 又3-和3是函数()f x 的两个零点，画出()f x 的简图如下：故不等式()0f x >的解集为()(),33,-∞-+∞.9．（2020·金华市曙光学校高二开学考试）函数()ln f x x x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为函数()ln f x x x =是奇函数，排除C ，D 又因为2x = 时()0f x >，排除B10．（2020·浙江省高三其他）函数333()x xf x x --=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为333()x xf x x--=，所以333333()()()x x x x f x f x x x -----===-. 所以函数()f x 是偶函数，排除A ，D .因为2233310(2)29f --==，4443338138010(4)(2)464649f f ----==>>=，所以排除C.11．（2020·河北省衡水中学高三期中（理））已知函数32()32f x x x mx m =-+--，若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x >，则m 的取值范围为（ ） A ．(0,1) B ．1[,1)3C ．2[,1)3D ．2[,)3+∞【答案】C 【解析】由题意设()()()323,2g x x x h x m x -+=+，则()()2'3632g x x x x x =-+=--，()g x ∴在()(),0,2,-∞+∞递减，在()0,2上递增，且()()()32030,22324g g g ===-+⋅=，在一个坐标系中画出两个函数图象如图：存在唯一的正整数0x ，使得()00f x >，即()()00g x h x >∴由图得02x =，则()()()()02211m g h g h ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，即044133m m m>⎧⎪>⎨⎪-+≤⎩，解得21,3m m ≤<∴的取值范围是2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选C. 12．（2020·山西省高二期中（理））已知()'f x 是函数()f x 的导函数，对任意的实数x 都有()()2'xf x f x e +=-，且302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若函数()y f x a =-有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．252,e -⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．522,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．522,e -⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．522,0e -⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设函数()()23xg x e f x x =+-，则()()()''2xxg x e f x e f x =++，因为()()2'x f x f x e +=-，所以()2'()20xxg x e e=⨯-+=， 又因为302g ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()0g x =，即()32x x f x e -=. ()25'xx f x e -=，()f x 在5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()52min522f x f e -⎛⎫==- ⎪⎝⎭.且当52x >时，()0f x <，如图所示：所以当522,0a e -⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()y f x =与y a =有两个交点，所以实数a 的取值范围是522,0e -⎛⎫- ⎪⎝⎭.13．（2020·湖南省长郡中学高二月考）设函数1,2()21,2,1a x f x log x x a =⎧=⎨-+≠>⎩，若函数2()()()g x f x bf x c =++有三个零点123,,x x x ，则122313x x x x x x ++=（ ）A ．12B ．11C ．6D ．3【答案】B【解析】作出函数1,2()21,2,1ax f x log x x a =⎧=⎨-+≠>⎩的图象如图所示，令()f x t =，由图可得关于x 的方程()f x t =的解有两个或三个（1t =时有三个，1t ≠时有两个），所以关于t 的方程20t bt c ++=只能有一个根1t =（若有两个根，则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有四个或五个根），由()1f x =，可得123,,x x x 的值分别为1,2,3， 则12231312231311x x x x x x ++=⨯+⨯+⨯=14．（2020·金华市曙光学校高二开学考试）定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()lg g x x =，则函数()()()h x f x g x =-的零点的的个数是（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】C【解析】由于()()11f x f x -=+，所以，函数()y f x =的周期为2，且函数()y f x =为偶函数， 由()0h x =，得出()()f x g x =，问题转化为函数()y f x =与函数()y g x =图象的交点个数，作出函数()y f x =与函数()y g x =的图象如下图所示，由图象可知，()01f x ≤≤，当10x >时，()lg 1g x x =>， 则函数()y f x =与函数()y g x =在()10,+∞上没有交点，结合图像可知，函数()y f x =与函数()y g x =图象共有11个交点，故选C.15．（多选题）（2020·海南省高三其他）已知函数22log (1),13()1296,322x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x 满足1234x x x x <<<，则下列说法正确的是（ ） A ．121=x x B ．12111x x += C ．3412x x += D ．34(27,29)x x ∈【答案】BCD【解析】作出函数()f x 的图象，方程()f x m =有四个不同的实根， 即函数()y f x =与y m =有四个不同的交点，如图所示：依题意2122|log (1)||log (1)|x x -=-，且12123x x <<<<， 所以2122log (1)log (1)x x -=--，即2122log (1)log (1)0x x -+-=， 所以212log [(1)(1)]0x x --=，即12(1)(1)1x x --=， 所以1212x x x x +=，所以12111x x +=，故选项A 错误，选项B 正确；又3x ，4x 是方程21296(01)22x x m m -+=<<的两根， 即3x ，4x 是方程2122920x x m -+-=的两根， 所以3412x x +=，34292x x m =-，因为方程()f x m =有四个不同的实根，所以由图可知(0,1)m ∈，所以34292(2729)x x m =-∈，，故选项C ，选项D 均正确． 16．（多选题）（2020·枣庄市第三中学高二月考）已知函数()2221,021,0x x x f x x x x ⎧++≥=⎨-++<⎩,则下列判断正确的是（ ）A ．()f x 为奇函数B ．对任意1x ,2x R ∈,则有()()()12120x x f x f x --≤⎡⎤⎣⎦C ．对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=D ．若函数()y f x mx =-有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞【答案】CD【解析】对于A 选项，当0x >时，0x -<，则 ()22()()2()2() 11 f x x x x x f x -=--+-+-≠-+=- 所以函数()f x 不是奇函数，故A 错误； 对于B 选项，221y x x =++的对称轴为1x =-，221y x x =-++的对称轴为1x =所以函数221y x x =++在区间[0,)+∞上单调递增，函数221y x x =-++在区间(,0)-∞上单调递增，并且2202010201+⨯+=-+⨯+所以()f x 在R 上单调递增即对任意()1122,,x x x x R <∈，都有()()12f x f x <则()()()()()121212120,00x x f x f x x x f x f x -<-<⇒--<⎡⎤⎣⎦，故B 错误； 对于C 选项，当0x >时，0x -<，则 22()()2(2 )11f x x x x x -=--+--+=-+ 则22()()21212f x f x x x x x +-=++--+=当0x =时，(0)(0)1f f -==，则(0)(0)2f f -+=当0x <时，0x ->，则22()()2()121f x x x x x -=-+-+=-+ 则22()()21212f x f x x x x x +-=-+++-+= 即对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=，故C 正确；对于D 选项，当0x =时，()010y f ==≠，则0x =不是该函数的零点 当0x ≠时，()()0f x f x xm x m -=⇔=令函数()()g x f x x=，函数y m =由题意可知函数y m =与函数()()g x f x x=的图象有两个不同的交点因为()0f x ≥时，)1x ⎡∈+∞⎣，()0f x <时，(,1x ∈-∞所以12,012,12)01,1(x x x x x x x x x g x ⎧++>⎪⎪⎪-++≤<⎨⎪⎪--<⎩=⎪当0x >时，设1201x x ，()()()()121212121212111x x x x g x g x x x x x x x ---=+--= 因为12120,10x x x x -<-<，所以()()120g x g x ->，即()()12g x g x > 设121x x <<，()()()()1212121210x x x x g x g x x x ---=<，即()()12g x g x <所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增同理可证，函数()g x在区间)1⎡-⎣上单调递减，在区间(,1-∞上单调递增11241)1(g ++==函数()g x 图象如下图所示由图可知，要使得函数y m =与函数()()g x f x x=的图象有两个不同的交点则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞，故D 正确；17．（多选题）（2020·南京市大厂高级中学高一开学考试）下列命题中正确的为( )A ．在同一坐标系中，2log y x =与12log y x =的图象关于x 轴对称 B ．函数2112x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小值是12C ．函数12x y x +=+的图象关于点()2,1-对称 D ．函数()22xf x x =-只有两个零点 【答案】ABC【解析】A. 122log log x x y =-=，所以在同一坐标系中，2log y x =与的图象关于x 轴对称，故正确.B. 令211x t =-+≤，则1212ty ⎛⎫⎪⎭≥=⎝，所以2112x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小值是12，故正确. C. 因为12111222x x y x x x ++-===-+++，所以图象关于点()2,1-对称，故正确. D. 令()220xf x x =-=的根，即为22,x y y x ==两图象交点的横坐标，如图所示：有三个交点，故错误.18．（多选题）（2020·山东省章丘四中高二月考）已知函数()3xf x e x =⋅，则以下结论正确的是( )A ．()f x 在R 上单调递增B ．()()125log 2ln f f e f π-⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．方程()1f x =-有实数解D ．存在实数k ，使得方程()f x kx =有4个实数解【答案】BCD【解析】()3xf x e x =⋅，则()()322'33xxxf x e x e x x ex =⋅⋅=++，故函数在(),3-∞-上单调递减，在()3,-+∞上单调递增，A 错误；125110log 2,l 122,n 1e π-<<<><，根据单调性知()()125log 2ln f f e f π-⎛⎫<< ⎪⎝⎭，B 正确；()00f =，()32731f e-=-<-，故方程()1f x =-有实数解，C 正确； ()f x kx =，易知当0x =时成立，当0x ≠时，()2x f x k e x x==，设()2x g x e x =， 则()()'2xg x e x x =+，故函数在()0,∞+上单调递增，在()2,0-上单调递减，在(),2-∞-上单调递增，且()242g e -=. 画出函数图象，如图所示：当240k e<<时有3个交点.综上所述：存在实数k ，使得方程()f x kx =有4个实数解，D 正确；19．（2020·广西壮族自治区高三月考（文））已知()|1|1f x x =-+，()(),3123,3f x x F x x x ≤⎧=⎨->⎩. （1）解不等式()23f x x ≤+；（2）若方程()F x a =有三个解，求实数a 的取值范围.【解析】（1）不等式()23f x x ≤+，即为1123x x -+≤+.当1x ≥时，即化为1123x x -+≤+，得3x ≥-，此时不等式的解集为1x ≥，当1x <时，即化为()1123x x --+≤+，解得13x ≥-， 此时不等式的解集为113x -≤<. 综上，不等式()23f x x ≤+的解集为13⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，. （2）()1131233x x F x x x ，，，⎧-+≤=⎨->⎩即()21131233x x F x x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩，，，，. 作出函数()F x 的图象如图所示，当直线y a =与函数()y F x =的图象有三个公共点时，方程()F x a =有三个解，所以13a <<.所以实数a 的取值范围是()13，.。