二面角的基本求法例题
一、平面与平面的垂直关系
1．判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

例 1．在空间四边形ABCD 中， AB=CB ，AD=CD ，E、F、G 分别是 AD 、 DC、CA 的中点。

求证：平面 BEF ^ 平面 BDG 。

A A
F
E
E
G D
B F
D
B C
C
例 2． AB ^ 平面 BCD，BC = CD ，? BCD 90°，E、F分别是AC、AD的中点。

求证：平面 BEF ^ 平面 ABC 。

D1 C1
A1 B1
2．性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线
垂直于另一个平面。

中，求和平面所成的角。

例 3．在正方体 ABCD—A1 1 1 1 1 1 1
B C D A B A B CD .
D C
A B
二、二面角的基本求法D1 C1 1．定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直。

A1 B1
例4．在正方体 ABCD—A1B1 C1D1中，
求（ 1）二面角A- B1C - A1的大小；
（ 2）平面A1DC1与平面 ADD1 A1所成角的正切值。

D C
A B
P
练习：过正方形ABCD 的顶点 A 作 PA ^ 平面 ABCD ，设 PA=AB= a，求
二面角 B - PC - D 的大小。

A
D
2．三垂线法
B C
例 5 ．平面ABCD ^平面ABEF，ABCD是正方形， ABEF 是矩形且
D C
AF= 1
AD= a，G 是 EF 的中点，
2
（ 1）求证：平面AGC ^平面BGC；
（ 2）求 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值；A B
1
G E
（ 3）求二面角 B -AC - G 的大小。

例 6．点 P 在平面 ABC 外，VABC 是等腰直角三角形，? ABC90°，VPAB是正三角形，PA ^ BC。

P （ 1）求证：平面PA B ^平面ABC；
（ 2）求二面角 P -AC - B 的大小。

A
B C 练习：正方体 ABCD—A1B1C1D1的棱长为 1，P 是 AD 的中点，求二面角 A - BD1 - P 的大小。

C1
B1
D1A1
C B
S
D P A
3．垂面法
例7．SA ^平面ABC，AB ^ BC，SA = AB = BC，
（1）求证： SB ^ BC ；
（2）求二面角 C - SA- B 的大小；
C （3）求异面直线 SC 与 AB 所成角的余弦值。

A
B
4．无棱二面角的处理方法
（1）找棱
P
例8．过正方形 ABCD 的顶点 A 作 PA ^ 平面 ABCD ，设 PA=AB= a，
求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的大小。

A
D
s射影 B C
（2）射影面积法（cosq = ）
S
例9．正方体 ABCD— A1 B1C1 D1的棱长为 1， P 是棱AA1的中
点，求平面 PB1C1与平面ABCD所成二面角的大小。

2。