•通过合理的数学近似对方程进行化简
数学物理方程定解问题的提法
泛定方程（波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程）
定解问题：
定解条件（初始条件，边界条件）
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上午6时38分
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
一、 基本方程的建立
例1、弦的振动
条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近作微小横振动。 不受外力影响。
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数学物理方程与特殊函数
弦振动的相关模拟
第1章 典型方程和定解条件的推导
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
波的传播的相关模拟
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弦振动的相关模拟
第1章 典型方程和定解条件的推导
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g
dx
2u( x, t ) t 2
dx
T
u2 (x,t) x2
g
2u( x, t ) t 2
令：a 2
T
忽略重力作用：
2u t 2
a2
2u x2
--齐次方程
2u t 2
a2
2u x2
g
………一维波动方程
自由项 ------非齐次方程
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
研究对象：u(x,t) 线上某点在 t 时刻沿纵向的位移。
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数学物理方程与特殊函数
弦振动的相关模拟
第1章 典型方程和定解条件的推导
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弦振动的相关模拟
第1章 典型方程和定解条件的推导
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弦振动的相关模拟
第1章 典型方程和定解条件的推导
例2、时变电磁场
从麦克斯韦方程出发：
v H
v Jc
v
v D t
v E
B
v t
D v
v
B 0
在自由空间：Jrc 0, v 0
D E
B H
H
E
E
t
H
t
E 0
H 0
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第1章 典型方程和定解条件的推导
H
E
E
t
H
t
E 0
对第一方程两边取旋度，得：
gds
sin tan u(x,t)
x
T
x
x dx x
sin ' tan ' u(x dx,t)
m ds
T
T T'
u(x dx,t) x
x
u ( x, t ) x
gds
其中：
ma
a
2u( x, t ) t 2
ds dx
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
☆ 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。
☆ 课程的主要内容
三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
2
分离变量法 行波法 积分变换法 格林函数法
贝塞尔函数 勒让德函数
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
微积分知识回顾
第1章 典型方程和定解条件的推导
第一章 一些典型方程和 定解条件的推导
一、 基本方程的建立 二、 定解条件的推导 三、 定解问题的概念
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
常见数学物理方程的导出
•确定所要研究的物理量u，比如位移、场强、温度
•根据物理规律建立微分方程
第1章 典型方程和定解条件的推导
例3、热传导
热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有
热量从高温处流向低温处。
所要研究的物理量： 温度 u(x, y, z,t)
S nv
根据热学中的傅立叶试验定律
M V
在dt时间内从dS流入V的热量为：
S
热场
dQ k u dSdt ku nˆdSdt ku dSˆdt
哈密尔顿算子或梯度算子，读作nabla
iˆ ˆj kˆ x y z
与梯度算子有关的场论运算
gradu u
divA A
rotA A
拉普拉斯算子 2 2 2 2
x2 y2 z 2
平面上的拉普拉斯算子 2u 2u 2u
x2 y 2
常微分方程的求解：常见的一阶方程、可降阶高阶方程、 二阶线性方程
第1章 典型方程和定解条件的推导
简化假设： (1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。
(2)横向振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。
牛顿运动定律：
y
横向： T cos T 'cos '
纵向：T sin T 'sin ' gds ma
M'
ds
T'
'
M
其中：cos 1 cos ' 1
☆拉普拉斯方程： 2u 0 空间的静电场分布；静磁场分布；稳定温度场分布
两种特殊函数
贝塞尔方程 x2 y xy (x2 n2 ) y 0 的解：贝塞尔函数 Jn (x)
勒让德方程 (1 x2 ) y 2xy n(n 1) y 0的解：勒让德函数 Pn (x)
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数学物理方程与特殊函数
傅里叶级数理论：傅里叶级数及其系数、正弦级数、 余弦级数
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第1章 典型方程和定解条件的推导
三类偏微分方程
☆波动方程： 2u a 2 2u
t 2
琴弦的振动；杆、膜、液体、气体等的振动；电磁场的振荡等
☆热传导方程：u a22u
t
热传导中的温度分布；流体的扩散、粘性液体的流动
H
( E)
t
根据矢量运算：
r
r
r
H ( H ) 2H
H 0
r
r 由此得： 2 H
(
H )
即：
t t
2
H

2
H
t 2
2H t 2
1
(
2H x 2
2H y 2
2H z 2
)
——磁场的三维波动方程
同理可得：
2E t 2
1
2E
——电场的三维波动方程
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
汤燕斌 华中科技大学数学与统计学院 tangyb@
1
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的
n
从时刻t1到t2通过S流入V的热量为
T
u(x dx, x
t
)
u ( x, t ) x
gds
ma
T
u(x dx, x
t)
u( x, t ) x
gdx
2u( x, t ) t 2
dx
其中：u(x dx,t) x
u ( x, t ) x
x
u(x,t) x
dx
2u ( x, t ) x2
dx
T
u2 (x,t) x2