第七章 第六节 空间向量及其运算（理）
1.
AB 、BC 、CD 、AC 的中点，则12
(AB
＋BC ＋CD )化简
的结果为 ( )
A ．BF
B ．EH
C ．HG
D ．FG
解析：12(AB ＋BC ＋CD )＝12(AC
＋CD )＝12AD ＝12
·2HG ＝HG .
答案：C
2．如图，在底面ABCD 为平行四边形的四棱柱
ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AC 与BD 的交点，
若AB ＝a ，11A D ＝b ，11A A
＝c ，则下列向
量中与1B M
相等的向量是 ( )
A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋1
2b ＋c
C.12a －12b ＋c D ．－12a －1
2b ＋c 解析：由题意，根据向量运算的几何运算法则，
1B M ＝1B B ＋BM ＝c ＋12BD
＝c ＋12(AD －AB )＝－12a ＋1
2
b ＋
c .
答案：A
3.A 点是否共面________(共面或不共面)．
解析：AB
＝(3,4,5)，AC ＝(1,2,2)， AD
＝(9,14,16)，
设AD ＝x AB
＋y AC .
即(9,14,16)＝(3x ＋y,4x ＋2y,5x ＋2y )，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝3，从而A 、B 、C 、D 四点共面． 答案：共面
4．如图在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是A 1D 1、D 1D 、D 1C 1的中点． 求证：平面EFG ∥平面AB 1C .
证明：设AB ＝a ，AD
＝b ，1AA ＝c ，
则EG ＝1ED ＋1D G ＝1
2(a ＋b )，AC ＝a ＋b ＝2EG ，
∴EG ∥AC ，
EF ＝1ED
＋1D F ＝12b －12c ＝12(b －c )，
1B C ＝11B C ＋1C C ＝b －c ＝2EF ，∴EF ∥1B C
.
又∵EG 与EF 相交，AC 与B 1C 相交， ∴平面EFG ∥平面AB 1C .
5.
点E 、F 、G 分别为AB 、AD 、DC 的中点，则a 2等于( )
A ．2BA ·BC
B ．2AD ·
BD
C ．2FG ·CA
D ．2EF ·CB
解析：〈AD ，BD 〉＝π3，∴2AD ·BD ＝2a 2×cos π
3
＝a 2.
答案：B
6．(2010·长沙模拟)二面角α－l －β为60°，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内， AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝α，BD ＝2a ，则CD 的长为 ( ) A ．2a B.5a C ．a D.3a 解析：∵AC ⊥l ，BD ⊥l ，
∴〈AC ,BD 〉＝60°，且AC ·
BA ＝0，AB ·BD
＝0， ∴CD ＝CA ＋AB ＋BD ，
∴|CD
|
＝a 2＋a 2＋(2a )2＋2a ·2a cos120°＝2a . 答案：A
7．如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且 两夹角为60°. (1)求AC 1的长；
(2)求BD 1与AC 夹角的余弦值．
解：设AB ＝a ，AD
＝b ，1AA ＝c ，则两两夹角为60°，且模均为1.
(1)1AC ＝AC ＋1CC ＝AB ＋AD ＋1AA
＝a ＋b ＋c . ∴|1AC |2
＝(a ＋b ＋ c )2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c
＝3＋6×1×1×1
2
＝6，
∴|1AC
|＝6，即AC 1的长为 6. (2)1BD ＝BD ＋1DD ＝AD －AB ＋1AA
＝b －a ＋c . ∴1BD ·AC ＝(b －a ＋c )·
(a ＋b ) ＝a ·b －a 2＋a ·c ＋b 2－a ·b ＋b ·c ＝1.
|1BD
|＝(b －a ＋c )2＝2，|AC ―→|＝(a ＋b )2＝3，
∴cos 〈1BD ，AC 〉＝11BD AC BD AC
＝
12×3＝6
6. ∴BD 1与AC 夹角的余弦值为
6
6
.
8.已知向量a ＝(11,4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；
(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE
⊥b?
解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2.
(2)假设存在一点E 满足题意，即AE ＝t AB
(t ≠0)． OE ＝OA ＋AE ＝OA
＋t AB
＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)
＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )，
若OE ⊥b ，则OE ·b ＝0，
所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95
，
因此存在点E ，使得OE
⊥b ，
此时点E 的坐标为(－65，－145，2
5
)．
9．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°， 3AD ＝DC ＝3，AB ＝2，E 是DC 上的点，且满足 DE ＝1，连结AE ，将△DAE 沿AE 折起到△D 1AE 的位置，使得∠D 1AB ＝60°，设AC 与BE 的交点为O .
(1)试用基向量AB ，AE ，1AD 表示向量1OD
；
(2)求异面直线OD 1与AE 所成角的余弦值；
(3)判断平面D 1AE 与平面ABCE 是否垂直？并说明理由． 解：(1)∵AB ∥CE ，AB ＝CE ＝2，
∴四边形ABCE 是平行四边形，∴O 为BE 的中点．
∴1OD ＝1AD －AO ＝1AD －12
(AB
＋AE )
＝1AD －12AB －12
AE .
(2)设异面直线OD 1与AE 所成的角为θ，
则cos θ＝|cos 〈1OD ，AE 〉|＝|11OD AE
OD AE
|，
∵1OD ·
AE ＝(1AD －12AB
－12AE )·AE ＝1AD ·
AE
－12AB ·AE －12|AE |2 ＝1×2×cos45°－12×2×2×cos45°－1
2×(2)2
＝－1，
|1OD |＝
＝6
2，
∴cos θ＝|11OD AE OD AE |＝|－162
×2
|＝3
3. 故异面直线OD 1与AE 所成角的余弦值为
3
3
.
(3)平面D
1AE ⊥平面ABCE .证明如下：
取AE 的中点M ，则1D M ＝AM －1AD ＝12
AE －1AD
，
∴1D M ·
AE ＝(12AE －1AD )·AE
＝12
|AE
|2－1AD ·
AE ＝1
2
×(2)2－1×2×cos45°＝0. ∴1D M ⊥AE
.∴D 1M ⊥AE . ∵1D M ·AB ＝(12AE －1AD )·AB
＝12
AE
·
AB －1AD ·AB ＝1
2
×2×2×cos45°－1×2×cos60°＝0， ∴1D M ⊥AB
，∴D 1M ⊥AB .
又AE ∩AB ＝A ，AE 、AB ⊂平面ABCE ， ∴D 1M ⊥平面ABCE . ∵D 1M ⊂平面D 1AE ， ∴平面D 1AE ⊥平面ABCE .。