《导数与函数的单调性》教学设计
【教学目标】
1. 知识与技能
（1）会用导数解决函数的单调性问题。

（2）能利用导数概念形成过程中的基本思想分析一些实际问题，并建立他们的导数模型。

2. 过程与方法通过利用导数研究函数单调性问题的过程，体会从特殊到一般的数形结合的研究方法。

3. 情感态度与价值观
(1)通过导数方法研究单调性的问题，体会不同数学知识间的内在联系，认识数学是一个有机整体。

(2)通过导数研究单调性的基本不骤的形成和使用，是的学生认识到导数使一些复杂问题变的有矩可循，因而认识到导数的实用价值。

【教学重难点】
重点:利用导数的方法判定函数的单调性。

难点:导数与函数单调性的关系。

【教学设计思路】通过观察发现，启发引导，探究导函数与函数单调性之间的联系，得出结论。

【教学方法】观察发现，启发引导。

【教学手段】运用多媒体和板书。

【教学过程】
1. 问题激发，新课导入教师:我们知道，对于函数y=f(x) 来说，导数y=f’(x) 刻画的是y 在x点的瞬时变化率，函数的单调性描述的是y 随x的增加而减少，两者都是刻画函数的变化，那么，导数与函数单调性之间有什么关系呢?
2. 实践感知，新知形成教师:用多媒体展示几个函数的解析式，让学生求出以上6个函数的导函数。

(1)y=f(x)=2x+5 (2)y=f(x)=-3x+4
(3)y=f(x)=2x (4)y=f(x)=(12)x
(5)y=f(x)=log3x (6)y=f(x)=log12x
学生：
(1)f’(x)=2 (2)f’(x)=-3
(3)f’(x)=2xln2 (4)f’(x)=(12)xln12
(5)f’(x)=1xln3 (6)f’(x)=1xln12
教师:用多媒体展示这6个函数的图像，以及导函数的图像，并让学生观察各个点导函数的值与函数单调性有什么关系?同学间可以相互交流，(因制作了flash动画，只要教师拖动切点在曲线上运动，就能看到每一点切线斜率的值) 学生：函数（1）（3）（5）上各点的斜率都是正的，函数（2）（4）（6）上各点切线的斜率都是负的。

教师：我们知道各点切线的斜率就是各点的导数值。

学生: 函数（1）（3）（5）的导数是正的，函数（1）（3）（5）就是递增的，函数（2）（4）（6）的导数都是负的，函数（2）（4）（6）就是递减的。

教师：很好，对于（1）（3）（5）无论x 取定义域内的什么实数，都有f’(x) ＞0，函数y=f(x)是增加的，对于（2）（4）（6）无论x取定义域内的什么实数，都有f’(x) ＜0 ，函数y=f(x) 是减少的。

【设计意图：一方面让学生回忆以前的初等函数的图像，加深记忆，另一方面从图像上观察各点导数值，提高学生观察图像的能力和抽象概括的能力】教师:最后，我们再看函数y=f(x)=x2导数及其单调性，用多媒体展示函数的图形及其导函数的图形，让学生相互讨论看有什么结论。

学生:当x∈(0,+∞)时，f’(x) =2x＞0 ，函数y=x2在区间(0,+∞)上是增加的，当x∈(-∞,0) 时，f’(x) =2x＜0 ，函数y=x2在区间(-∞,0)上是减少的。

教师:通过以上7个实例我们可以得到导函数与函数的单调性之间有什么关系?
学生:函数y=f(x)的导数f’(x) ＞0 ，则函数是增加的，函数y=f(x) 的导数f’(x) ＜0 ，则函数是减少的。

教师:基本正确但一定要注意区间。

【设计意图：学生可能会忽略掉在定义域上求单调区间，为后面学习在给定区间上求极值和最值做准备】
教师：谁能准确的概括导数与函数单调性之间的关系？
学生抽象概括：如果是在某个区间内，函数y=f(x) 的导数f’(x) ＞0 ，则函数在这个区间内是增加的，如果在某个区间内，函数y=f(x) 的导数f’(x) ＜0 ，则函数在这个区间内是减少的。

教师：非常棒，这么难的问题我们同学都能发现并表述的非常准确。

【设计意图：提高学生语言表达能力和抽象概括的能力，让学生感觉到自己也能发现新知识，提高对数学的兴趣】
3. 应用新知
例1. 求函数f(x) =2x3-3x2-36x+16的递增区间与递减区间。

分析:根据上面结论，我们知道函数的单调性与函数导数的符号有关，因此，可以通过分析导数的符号求出函数的单调区间。

解:(教师在黑板上板书)由导数公式表和求导法则可得。

f’(x)=6x2-6x-36=6(x+2)(x-3)
当x∈(-∞,-2) 或x∈(3,+∞) 时，f’(x) ＞0 ，因此，在这两个区间上，函数是增加的；当x∈(-2,3) 时，f’(x) ＜0 ，因此，在这个区间上函数是减少的。

所以，函数f(x)=2x3-3x2-36x+16的递增区间为(-∞,-2)和(3,+∞) ；递减区间为(-2,3) 。

【设计意图：三次函数的单调区间在以前用定义求很复杂，但用导数求是既简单又准确，教师板书让学生能知道导数求单调区间的步骤】
4. 举一反三
（1）求函数y=x3-3x2的单调区间，(叫学生到黑板上做)。

【设计意图：锻炼学生的书写的规范性，教师及时纠正学生书写中存在的问题】
（2）(2009江西高考，理17)设函数f(x)=ex x，求函数f(x) 的单调区间，(叫学生相互讨论后得出答案)
【设计意图：让学生感觉到高考题也不是很难，增强学生信心】
【课堂小结】
1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导。

如果f’(x)＞0 ，则f(x)为增函数；如果f’(x) ＜0 ，则f(x)为减函数。

2.本节课中，用导数去研究函数的单调性是中心，能灵活应用导数解题是目的，另外应注意数形结合在解题中的应用。

3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般，从简单到复杂。

【课后作业】
（1）书面作业：课本第62页A组1.2。

（2）课后思考：（2009北京高考，理18）求函数f(x)=xekx 的单调区间。

【设计意图：这道题难度稍大，需要进行分类讨论，，让学生感到高考题确实是有难度的，激起学习好的兴趣也给压力】。