专题一：函数、导数专题选讲（一）——函数性质、函数方程与函数图象、函数值域与最值、函数与不等式问题1.函数性质应用例1.（1）（14·全国16）若函数f(x)＝cos 2x ＋asin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________。

（2）已知函数()323f x x tx x =-+，若对于任意的[]1,2a ∈，(]2,3b ∈，函数()f x 在区间(),a b 上单调递减，则实数t 的取值范围是（ ）A.(],3-∞B.(],5-∞C.[)3,+∞D.[)5,+∞（3）设函数22()9f x x x ax =---（a 为实数），在区间(,3)-∞-和(3,)+∞上单调递增，则实数a 的)()3,+∞ C )()0,+∞ sin sin ααβ-．则下列结论正确的是（0> D.足：(3)1x -=，(2y -A ．恒大于0B ．恒等于0C ．恒小于0D ．符号不确定（5）定义在R 上的函数1ln )(2++=x e x f x，且)()(x f t x f ＞+在()∞+-∈，1x 上恒成立，则关于x 的方程(21)()f x f t e -=-的根的个数叙述正确的是( )A ．有两个B ．有一个C ．没有D ．上述情况都有可能 （6）（14·四川9）已知f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，x ∈(－1，1)。

现有下列命题：①f(－x)＝－f(x)；②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2＝2f(x)；③|f(x)|≥2|x|。

其中的所有正确命题的序号是( )A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①②（7）（14·湖北卷）已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若?x ∈R ，f(x －1)≤f(x)，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，16B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33（8）定义在（﹣1，1）上的函数f （x ）满足：对任意x ，y ∈（﹣1，1），()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--=⎪-⎝⎭恒成立．有下列结论：①f （0）=0；②函数f （x ）为（﹣1，1）上的奇函数；③函数f （x ）是定义域内的增函数；④若122()1nn n a a n N a ++=∈+，且a n ∈（﹣1，0）∪（0，1），则数列{f （a n ）}为等比数列。

例8<i x ，(=i （2(f （3y ＝f(x)A （4（5（1（2②其中正确的命题为________________。

（6）已知R 上的连续函数g(x)满足：①当0x >时，'()0g x >恒成立('()g x 为函数()g x 的导函数)；②对任意的x R ∈都有()()g x g x =-，又函数()f x 满足：对任意的x R ∈，都有)(f x f x =成立。

当[x ∈时，3()3f x x x =-。

若关于x 的不等式2[()](2)g f x g a a ≤-+对33[22x ∈--+恒成立,则a 的取值范围是（ ）A.a R ∈B.01a ≤≤C.1122a -≤≤-+0a ≤或1a ≥（7）定义域为R 的函数f(x)的图像关于直线x= 1对称，当x ∈[0,l]时，f(x) =x,且对任意R x ∈只都有f(x+2) = -f(x),g(x)= ⎩⎨⎧<--≥)0)((log )0)((2013x x x x f ，则方程g(x)-g(-x) =0实数根的个数为（ ）A.1006B.1007C.2012D.2014（8）已知函数()y f x =满足：4()()()()(,),f x f y f x y f x y x y R =++-∈且1(1),4f =则 (2014)(2015)f f += 。

（9）定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4-成中心对称，对任意的实数x 都有3()()2f x f x，且(1)1,f (0)2f ，则(1)(2)(3)(2012)f f f f 的值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．2（(cos2g x =()f x g =A C （(f （①f ②f （()f x 的（①对任意x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+成立； ②(5)1f -=-；③当12,[0,3]x x ∈且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-．则：（Ⅰ）(2009)________f =；（Ⅱ）若方程()0f x =在区间[,6]a a -上恰有3个不同实根，则实数a 的取值范围是________。

（15）已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，当12x x ≤时，12()()f x f x ≤。

当[0,1]x ∈时，2((),5xf f x =()1(1)f x f x =--，则150()2014f -+151( )2014f -+170( )2014f +-171+( )2014f -=( ) A.112-B.5-C.6-D.275-2.函数方程与函数图象及应用例4.（1）已知函数()(f x x ∈R)是偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，()1f x x =-，则方程1()1||f x x =-在区间[10,10]-上的解的个数是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11（2）设函数244,1()43,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩，则函数g （x ）=f （x ）﹣log 4x 的零点个数为（ ） A ． 4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个 （3）已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜ 时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 取值范围是（ ）A.10,5,5+∞（]（）B.10,[5,5+∞（））C.11,]5,775（（）D.11,[5,775（））练习：若函数2()f x x k =-的图象与函数()3g x x =-的图象至多有一个公共点，则实数k 的取值范围是（ ）A.(,3]-∞B.[9,)+∞C.(0,9]D.(,9]-∞（4）[2014·天津卷] 已知函数f(x)＝|x 2＋3x|，x ∈R.若方程f(x)－a|x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________。

（5）如图，偶函数)(x f 的图像形如字母M ，奇函数)(x g 的图像形如字母N ，若方程：,0))((,0))((==x g f x f f 0))((,0))((==x f g x g g 的实根个数分别为a 、b 、c 、d ，则d c b a +++=（ ）A ． 27B ． 30C ．33D ． 36（6）设定义在R 上的函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=3,13,|3|1)(x x x x f ，若关于x 的方程f 2(x) +af(x) +b=O 有5个不同实数解,则实数a 的取值范围是（ ） A.(0,1) B.(- ∞,-1)C.(1，+ ∞)D.( -∞，—2) U ( —2，— 1)（7）若函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f(x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0的不同实数根的个数是 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6 练习：已知函数f （x ）是定义在R 上的以4为周期的函数，”当x ∈（－1，3]时，f （x ）＝21(1,1](12),(1,3]x x t x x ⎧∈⎪⎨∈⎪⎩－,－－－ 其中t>0．若函数y ＝()f x x －15的零点个数是5，则t 的取值范围为( ) A ．（25，1） B ．（25，65） C ．（1，65） D ．（1，＋∞）（8）已知函数xx f 64)(=与函数t x x g +=31)(，若)(x f 与)(x g 的交点在直线x y =两侧，则实数t 的取值范围( )A ．]0,6(-B ．)6,6(-C ． ),4(+∞D ．)4,4(-练习：①若指数函数y a =的图象与直线y x =相切，则a =__________；②如果函数()log xa f x a x =-不存在零点，则a 的取值范围为____________。

（10）对应定义域和值域均为[]1,0的函数)(x f ，定义：)()(1x f x f =，[])()(12x f f x f =， ，[])()(1x f f x f n n -=， ,4,3,2=n ，方程[]1,0,)(∈=x x x f n 的零点称为f 的n 阶不动点。

设（，函数(fA C 3.例的取值范A （2{n a }，A （3A 变式：记函数()f x =的最大值为M ，最小值为m ，则M mM m-+的值为（ ）A ．13B ．3C ．35D ．23再变式：求函数y =（4）数()122014122014f x x x x x x x =+++++++-+-++-的定义域为R ,给定两集合4222{((12101)(2))(2)}A a R f a a a f a =∈-++=+及B ={()(),}a R f x f a x R ∈≥∈，则集合A B 的元素个数是_________。

练习：①函数191()1219i f x x i x x x ==-=-+-++-∑的最小值为（ ）A ．190 B ．171 C ．90 D ．45 ② [2014·辽宁卷] 已知定义在[0，1]上的函数f(x)满足： ①f(0)＝f(1)＝0；②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f(x)－f(y)|<12|x －y|。

若对所有x ，y ∈[0，1]，|f(x)－f(y)|<k 恒成立，则k 的最小值为( )A.12B.14C.12πD.18 （5）对任意实数a ，b ，定义F(a ，b)=12(a+b-|a-b|)，如果函数2()ln(),()3f x e x g x x ==-,(1,2)时1，（12）设2,1(),1x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[0,)+∞，则()g x 的值域是（ ）（13）已知113k ≤<，函数()21xf x k =--的零点分别为1212,()x x x x <，函数()2121x kg x k =--+的零点分别为3434,()x x x x <，则4321()()x x x x -+-的最小值为（ ）A.1B.2log 3C.2log 6D.3(14)规定[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[3.1]=3，[-2.6]=-3，[-2]=-2；若()f x '是函数()ln ||f x x =导函数，设()()()g x f x f x '=⋅，则函数[()][()]y g x g x =+-的值域是（ ） A ．{}偶数B ．{0,1}C ．{0}D.{1,0}-例2.（1）若实数a ，b,c,d 满足222(3ln )(2)0b a a c d +-+-+=，则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）A.8 B． C ．（2）若点P 、Q 分别在函数y ＝e x和函数 y ＝lnx 的图象上，则P 、Q 两点间的距离的最小值是______。