二次函数一、课标解读二、知识清单知识点1：二次函数定义1、一般地，形如 （a 、b 、c 是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。

2、二次函数的三种形式一般式： 顶点式： 交点式： 知识点2：二次函数的图象与性质1、二次函数的图象是一条 。

2、二次函数的性质（1）a >0时，抛物线开口向 ，在对称轴 的左侧y 随着x 的增大而 ，在对称轴右侧y 随着x 的增大而 ，抛物线有最 点，当x= 时，y 有最小值 。

（2）a <0时，抛物线开口向 ，在对称轴 的左侧y 随着x 的增大而 ，在对称轴右侧y 随着x 的增大而 ，抛物线有最 点，当x= 时，y 有最大值 。

（3）a 的符号与开口方向； b 和a 的符号与对称轴：b=0，对称轴是 ；b 和a 同号，对称轴在y 轴 侧；b 和a 异号，对称轴在y 轴 侧；c 与y 轴交点：c=0，交点是 ；c>0，交点在y 轴的 半轴上；c<0，交点在y 轴的 半轴上； ac b 42-与x 轴交点个数：042>-ac b ，与x 轴有 个交点；042=-ac b ，与x 轴有 个交点；042<-ac b 与x 轴 交点。

（4）抛物线的平移：抛物线k h x a y +-=2)(可以由2ax y =经过平移得到，把抛物线2ax y =向右或者向左平移|h|个单位，得到2)(h x a y -=，规律是 ；把抛物线向上或者向下平移|k|个单位，得到抛物线k ax y +=2，规律是 ；把抛物线2ax y =先向右或者向左平移|h|个单位再向上或者向下平移|k|个单位，得到k h x a y +-=2)(。

知识点3：用待定系数法求二次函数的解析式已知三点坐标，选用 ；已知顶点坐标或者对称轴，选用 ；已知与x轴的交点，选用 。

知识点4：二次函数与一元二次方程之间的关系（1） 抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴有两个交点，则一元二次方程02=++c bx ax 有 实数根；抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴有一个交点，则一元二次方程02=++c bx ax 有 实数根；抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴无交点，则一元二次方程02=++c bx ax 实数根；（2）、)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是 一元二次方程 的解。

知识点5：实际问题与二次函数利用二次函数解决实际问题，首先要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的等量关系，求出解析式，然后利用函数解析式去解决问题 三、典型例题知识点1：二次函数定义例1（2014安徽安庆）下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A 、)0(≠+=k b kx y B 、242++=x ax y C 、221xy =D 、221x y -= 知识点2：二次函数的图象与性质例2、已知二次函数c ax y +=2，当x 分别取)(212,1x x x x ≠时，函数值相等，则当x 取2,1x x +时，函数值为 （ ）A 、c a +B 、c a -C 、cD 、c -点拨：抛物线是轴对称图形，纵坐标相同的两点，横坐标互为相反数。

例3、（2014•莱芜）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示．下列结论： ①abc＞0；②2a﹣b ＜0；③4a﹣2b+c ＜0；④（a+c ）2＜b 2 其中正确的个数有（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ． 4点拨：二次函数的图象与系数的关系知识点3：用待定系数法求二次函数的解析式例4、（2015•山东东营改编）抛物线经过A （），B （），C （）三点．(1) 求抛物线的解析式和顶点坐标(2) 请你写出一种平移的方法，使得平移后的抛物线顶点落在直线y=-x 上，并写出平移后的抛物线解析式。

我的解答：知识点4：二次函数与一元二次方程之间的关系例5、（2014贵州省贵阳）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图9所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程02=++c bx ax 的两个根．（2分）（2）写出不等式02>++c bx ax 的解集．（2分）（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（2分）（4）若方程k c bx ax =++2有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．（4分）我的解答：知识点5：二次函数的应用例6、（2015湖南邵阳）为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）满足一次函数关系：y =﹣10x +1200． （1）求出利润S （元）与销售单价x （元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？我的解答：点拨：二次函数的应用（1）根据“总利润=单件的利润×销售量”列出二次函数关系式即可；（2）将得到的二次函数配方后即可确定最大利润．四、梯级演练（一）基础题组1、（2014四川成都）如图9所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是 。

2、（2014浙江杭州）设抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 过A(0,2)、B （4,3）、C 三点，其中点C 在直线x=2上，且点C 到抛物线对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为 3、将抛物线y ＝x 2向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，•则此时抛物线的解析式是_____________4、（2014江西省）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为。

5、（2014•通辽）如图，⊙O的半径为2，C1是函数的图象，C2是函数的图象，C3是函数的图象，则阴影部分的面积是平方单位（结果保留π）．6、（2014东营）若函数21(2)12y mx m x m =++++的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为( ) A ．0 B ．0或2 C ．2或－2 D ．0，2或－27、若二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有公共点，则k 的取值范围是( )A ．47->kB ．47->k 且k ≠0 C ．47-≥kD ．47-≥k 且k ≠0 8、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a ＞0；②c ＞0；•③b 2－4ac ＞0，其中正确的个数是（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个9、根据下列表格中二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的自变量x 与函数值y•的对应值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a x 6.17 6.18 6.19 6.20 y ＝ax 2＋bx ＋c－0.03－0.010.020.04A. 6＜x ＜＜x ＜6.20 10、（2014南充）如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过 点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ ）。

（A ）②④ （B ）①④ （C ）②③ （D ）①③ 11、（2014广州市）二次函数122+-=x x y 与x 轴的交点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 12、（2014云南双柏县）在同一坐标系中一次函数b ax y +=和二次函数bx ax y +=2的图象可能为（ ）13、（2013济宁）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A ．a ＞0B ．当﹣1＜x ＜3时，y ＞0C ．c ＜0 D.当x≥1时，y 随x 的增大而增大 14、（2013齐齐哈尔）数形结合是数学中考常用的思想，运用这一思想确定函数xy x y 312=+=与的交点的横坐标0x 的取值范围是（ ） A 、100<<x B 、210<<x C 、320<<x D 、010<<-x15、（2015•福建泉州第24题9分）某校在基地参加社会实践话动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的而积最大？下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题：（1）设AB =x 米（x ＞0），试用含x 的代数式表示BC 的长；（2）请你判断谁的说法正确，为什么？（二）提高题组1、（2014湖北孝感）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图8所示，且P =| a －b＋c |＋| 2a ＋b |，Q =| a ＋b ＋c |＋| 2a －b |，则P 、Q 的大小关系为 。

2、（2013荆门）若抛物线c bx x y ++=2与x 轴只有一个交点，且过点A （m ，n ）B （m+6，n ），则n=3、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋c （a ≠0）的图象过正方形ABOC•的三个顶点A ，B ，C ，则ac 的值是4、（2014天津市）已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① ；②；③；④；⑤，（的实数）其中正确的结论有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个5、函数2y x bx c =++与y x =的图象如图所示，有以下结论：①240b c ->；②10b c ++=；③360b c ++=；④当13x <<时，2(1)0x b x c +-+<； 其中正确的个数是（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．46、若|x －1|≤3，则关于y ＝－x 2＋2x －1的最值说法正确的是( )．A ．最大值是0，无最小值B ．最小值是－9，最大值是0C ．无最大值，最小值是－9D ．无最大值，也无最小值 7、（2015•浙江杭州） 设二次函数),0)()((21211x x a x x x x a y ≠≠--=的图象与一次函数)0(2≠+=d e dx y 的图象交于点(x1，0)，若函数211y y y +=的图象与x 轴仅有一个交点，则( )A. a(x 1−x 2)=dB. a(x 2−x 1)=dC. a(x 1−x 2)2=dD. a(x 1+x 2)2=d 8、(2015山东青岛)如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m ，宽是4m ．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用c bx x y ++-=261表示，且抛物线上的点C 到OB 的水平距离为3m ，到地面OA 的距离为217m 。