而是变化的，并且随相应 作用面上的σ 而变化， 在一定范围内，τ随σ 持续增长。
σ ＝0时， τf未必是零。
2）库仑定律------又名抗剪强度定律
1776年，法国库仑经过一系列试验总结了土的强度规律: 砂 土：τf＝σ tgφ …....① 粘性土：τf＝σ tgφ + c ………② 式中：τf：剪切面(破坏面)上的剪应力， 即土的抗剪强度，破坏剪应力，Kpa σ ：剪切面（破坏面）上的法向应力， Kpa φ :土的内摩擦角,度.不同土,φ 值不相同. c ：土的粘聚力(内聚力)，(注意C是有量纲的参数) Kpa
①，②二式即为著名的库仑定律。它表明在法向应力变 化范围不大的时候，τ与σ 成线性关系。如下图示。因 此库仑定律是莫尔理论的特例。以库仑定律表示的莫 尔破坏包线是一条直线。 即：τ＝f (σ )＝σ tgφ + c。 评价：库仑定律有着巨大的理论和实用价值。
土的极限平衡条件
土的强度破坏一般指剪切破坏.那么作用在土体中某 一个面上的实际剪力 和土体中相应面上的抗剪强度f 可能 存在以下三种关系：
极限平衡条件的应用
例4.2 判断土体中某点是否剪损的方法 情况1:已知1 3 c
方法(1):计算达极限平衡所需要的(1)限 方法(2):计算达极限平衡所需要的(3)限 方法(3):作图法 相离(弹性) 相切(极限) 相割(剪损) 方法(4):计算摩尔圆的最大倾角max
与 比较.
情况2:已知x z c
如果把这两条σ －τ曲线画在同一个坐标系中，比较 τ与τf的相对大小，则可判断土体中任一点所处的应 力状态（或者说可判别沿 某个面是否发生剪切破坏）
1)相离关系(< f ):曲线I位于曲线II下方. 2)相切关系(=f ):曲线I与曲线II有一个公共点. 思考:切点一般并非剪应力最大的点,为什么? 何时切点是剪应力最大的点?
3、bc段呈明显的陡降段：全面破坏阶段
地基中的塑性区不断扩大并连成一个连续的滑动 面，发生剪切破坏，地基丧失稳定性． 4、实例1：
加拿大特朗斯康谷仓（建于1913年）：筏板基础。其 下埋藏16m厚的软粘土层。地基发生整体滑动，基础西 侧陷入土中8.8m,东侧抬高1.5m，整体倾斜26053’。 后用70个混凝土墩、388个50吨的千斤顶才得以纠正，但 整体标高降低了4m.
6.5 粘性土的抗剪强度(书中6.7.1)
6.5.1 土的抗剪强度标准试验方法 1、不固结不排水剪（又称快剪）UU 2、固结不排水剪(又称固结快剪) CU 3、固结排水剪（又称慢剪） CD 参见表6.1 6.5.2 抗剪强度指标 1、UU τf=CU=(σ1-σ3)/2 υU=0 2、CU Ccu υCU 3、CD Cd υd υd> υCU > υU 孔隙压力系数 A=Δu/(σ1-σ3) B
1) < f ，弹性平衡状态
2) =f，极限平衡状态 3) > f ， 破坏或剪损状态
土的极限平衡条件的概念： 指土体达到极限平衡状态时，其应力状态（1， 3） 与其抗剪强度指标（c、 ）之间的关系表达式。
1.摩尔应力圆与抗剪强度曲线之间的关系
摩尔圆方程:曲线I,代表实际应力状态 抗剪强度曲线方程:曲线II,代表抗剪强度.
P---S曲线的三个阶段：
1、oa段(P<=Pcr):压密阶段（直线变形阶段）
土体变形以颗粒之间相互靠近的压密变形为主 2、ab段(Pcr<P<=Pu)局部剪裂阶段（塑性区的 发生发展阶段）：以剪切变形为主，但仍存在 少量的压密变形。 首先出现塑性变形的点，一般在基础的侧角， 逐渐扩大。基础的稳定性逐渐降低。
1、M点的max 、min
如图：在土层自重作用下，平行于或垂直于地面的面 上不存在剪应力，所以σ 1、σ 2、σ 3均为主应力，此时： σ 1 ＝γ · Z＝σ max σ 2 ＝σ 3 ＝ ko · σ 1 ＝ ko · γ · Z＝σ min
2、过M点的任意斜面上的应力、
过M点的任意斜面即是过微元体的任意斜面----mn斜面， 它与大主应力作用面夹角α ；斜面mn上作用有法向应 力（正应力)σ 及剪应力τ. mn上的正应力和剪应力， 也即M点的应力状态。当斜面mn的位置发生变化时， α 角度也将变化，相应斜面上的σ ,τ 的方向和数值均 要发生变化。以上是仅 有自重应力作用时土体中任 一点的应力状态。
4、举例：
已知地基中某点的最大主应力σ 1＝600Kpa，最小主应力 σ 3=200Kpa，要求： 1)绘制表示该点应力状态的摩尔圆； 2)求最大剪应力值及其作用面的方向； 3)计算与大主应力面夹角α ＝45o的斜面上的正应力和剪应力。 解：①建立直角坐标系σ －τ坐标，在横轴上按比例量取σ 1＝600Kpa 及σ 3=200Kpa，以（σ 1－σ 3）为直径画圆，即为摩尔应力圆。
另一种方法， 直接用作图法求解σ ,τ。
5、 摩尔--库仑破坏理论
1 ）土的强度指其抗剪强度。最适合这一强度概念的理论是莫尔－库 仑破坏理论。
摩尔理论：摩尔认为材料受荷载发生破坏是剪切破坏，
在破坏面上的剪应力τf（又叫抗剪强度）是法向应力 σ 的函数： τf =f (σ ) 由此函数关系确定 的曲线称为摩尔破 坏包线。如下图 所示。这个图形表明： 土的抗剪强度τf并非常数，
三轴剪切试验
试验装置:应变控制式三轴仪,包括:密闭压力室,孔隙水
压力仪,轴向加压系统,周压力系统,主机等
试验原理:三向受压,维持周压力不变,改变轴向压力大 小,直至土样破坏;或维持轴向压力不变,改变周压力,直
1、总应力法：τ=c+σtgυ 2、有效应力法： τ=c’+ σ’ tgυ’= c’+ (σ’-u) tgυ’ c—土的粘聚力； υ-土的内摩擦角 6.2.3 摩尔-库仑破坏准则 6.2.4 土的极限平衡条件
土体中任意一点的应力状态(仅有自重时)
假设土层均匀、连续、各向同性的半无限空间体。现在研究地面 以 下深度Z处任一点m处的应力状态。设土体天然重度为γ 取微元体 dxdydz,上、下面平行于地面，如果同时忽略微元体的自重，有以下 结果：
4、实例2：
南美巴西的11层大厦，建于1955年,采用桩基,99 根钢筋混凝土桩,建成后很快倒塌.事故原因:桩 长不足.桩尖未支持于好土层上 土的强度成果的应用 1)地基承载力计算和地基的稳定性分析 2)土坡稳定性分析 3)挡土墙及地下结构上作用的土压力计算
6.2 土的强度理论与破坏
6.2.1 土的屈服与破坏 理想弹塑性模型 6.2.2 土的破坏准则
3)相割关系(> f) :曲线I与曲线II有两个公共点
这种关系实际上不可能存在。 因为对于地基中任一点而言只要过该点有一个 面上的τ达到了相应的τf，则认为该点已被剪 坏了。不可能过一个点上有许多面上的τ均超 过相应τf 。因此用虚线表示，虚线反映这些面 上的τ均大于τf （实际上这里已产生塑性流动 和应力重分布）。
6.4.2 影响土的抗剪强度的因素
不同类型的土,其的抗剪强度变化很大,同一种土,在不同 的密度,含水量,测试仪器型式下,其抗剪强度的数值也不 相等.影响因素可归结为影响c,,的因素: 1、土的物理化学性质 (1)土粒]的矿物成分 (2)土的颗粒形状和级配 (3)土的原始密度 (4)土的含水量 (5)土的结构性 2、孔隙水压力的影响（又叫试验方法的影响） 试验条件不同,影响 u的排出,从而影响’,结果影响测出的 c, 大小. 固结慢剪(u=0)的f结果最大; 固结快剪(u1=0,u2=0)的f结果居中; 快剪(u=0)的f结果最小.
3、摩尔圆可以表示斜面mn上的应力 （所以摩尔圆可以表示土体中任一点的应力状态）
一个摩尔圆可以表示通过M点的任一方向上的τ和σ 的
大小，也就是说,摩尔圆可以代表土体中任意一点的应 力状态,摩尔圆上的点则代表了过土体中任一点的不同 方向及其该方向上的σ 及τ大小。在摩尔圆上可以求出 任意斜面和大主应力面的夹角。
2)如图所示τmax = 200Kpa 作用面方向：α ＝45o 另一种方法：τ= (σ 1-σ 3)/2 · sin2α = 200· sin2α 显然α ＝45o 时， τ取得最大值。 3)当α ＝15o时，由公式： σ = (σ 1+σ 3)/2 ＋ (σ 1-σ 3)/2 · cos2α ＝(600+200 )/2+(600-200) · cos30o = 573Kpa τ= (σ 1-σ 3)/2 · sin2α =(600-200)/2· sin30= 100Kpa 1 对应莫尔应力圆上的a点. 2
方法(1):先计算出1 3 ,则问题转化为情况1 方法(2):作图法 以(,),(,)为摩尔圆上的点,连线为弦,作圆; 再以c 画出抗剪强度曲线. 比较其关系.
6.5.1 直剪试验
1.试验装置:应变式直剪仪,剪切盒, 手轮,杠杆砝码.测微
计 2.试验方法和步骤: (1)试样的制备:n>=4 (2)安装试样: (3)施加竖向压力 (4)施加水平剪切荷载 3.试验成果分析: (1)剪切位移l: (2)剪应力: (3) ---l 关系曲线:
表达式:
σ
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=σ 3.tg2(45o+φ /2)+2c.tg(45o+φ /2)
3=
或: σ
σ 1.tg2(45o-φ /2)-2c.tg(45o-φ /2)
注意:这两个式子不独立,可以相互转化.用哪 个都可以.
4、无粘性土的极限平衡条件
将c=0代入粘性土的极限平衡条件,则可得到无粘 性土的极限平衡条件表达式:
3 、粘性土的极限平衡条件
相切情况即是所谓的极限平衡状态。(τ＝τf) 定义：τ＝ τf 时，σ 1,σ 3 与C，φ 之间的内在关系。 以相切情况为推导的依据。
过土体中任一点M取微元体。 设斜面mn为土体在外荷载作用下的破坏面，也即斜面 mn上的剪应力最先达到，并斜面与大主应力作用面成 角α 。M点处于极限平衡状态。