（＜ｘ ） ａ ＜ｂ．
（） ８
证
ｉ （ ）对（） （ 式逐项微分 ， ６
。 ｘ ）一 ／ ，ｆｎａａ ）． ｎ １岁 ｘ ｉ岁 ｘ 少 ， ＿矛 — （）（－１．（－ ＋ －ｋ 。 ，、 ．． ａ ） ｉ ‘、 ， ，、 ｋ Ｊ ＼ ＼
汀 ； 少 ｋ一土 Ｊ ｎ
在Ｔ０＝０ｆ０＝。 （） ，（）：的条件下， Ｘ 解微分方程得
特别地， ＝１ｆ ０ ＝１ 有 当ｑ ，（） 时，
（） ４
Ｓ （ ） ｏ ＇ ＝ｑ （ ｘ ． Ｗ Ｓ ） ｘ
Ｓ ｘ ＝ｆ ０ｅ ＂ ａ ＜ｂ． （ ） （）＂ （＜ｘ ）
由（） ５式得 解微分方程［， １得 ２ １
Ｓ（） ＇ ＝梦（ ） ＋Ｓｘ 」 ｘ ｘ ［ｅ ｄ＂＇ （ ）． Ｓ ｘ ＝ｅｘ ｄ （ ） （） （＜ｘ ） （） ＇ ｝ｘ ＋ｆ ０］ ａ ＜ｂ． （ Ｐ 仁ｐ
［ 收稿日 期］２０－１ ９ ００ － １２
万方数据
第５ 期
定理 ２ 设级数
沈云海 ： 一类函数项级数的求和
＝ａ （ ） ｏ ｘ
＝ 二 ａ ） ｏ（
－
。艺 〕
［，１ －．ｎ）ｎ二 ｆ ｆ １ １（－（） （客（） ）－１ ， １ｎｎＣ ． ｛ａ （ ＋ ＝ ＋ａ ｎ －－ ） ． ！ ａ 」 ［， 二 ｆ ｆ－ａ） １ ） （ ｝（）ｎ ＋， １ｎｎａ１（ ） ＋ －（ｆａ ， － －． ｎ （ ＋ ． １ ． －
Ｓ ＝仁一 十（ 十１ ） ）［＋抓ｘ ］ ＇ ＜二 ） （） １ ｄ ａ ｘ ｄ 一ｄ 抓ｘ ］ｌ ）０ － （ ＜ｂ． ａ
万方数据
１０ ０
工
科
数
学
第１ 卷 ７
定理 ３ 设级数
艺（ １ （ｎ ｌ ！ 一 ） ２ ＋ ） ”
ｆ ０ （ ） （） ｘ ｎ ＂＇
（０ １）
７ ， １ 在 （； ａｂ 内收敛且可逐项微分， ） ） 抓ｘ 二阶连续可微 ， 任（ ，） ｝ ０ ＝０ （） １ （）－ ０ ａ ｂ ， （ ） 冲 ０ ＝０ｆ ０ ：０ 则和函数 ０ Ｓ 具有下列两种形式 ： （） ｘ ３１ 若｛ ｎ ｝ （）是公比为 ７＃ ． ｆ １０ 的等比数列 ， 则
（ｎ ｌ ！ ２＋ ）
（５ １）
［ （） ８０＋（ ） ｆ ＋２］ ＂ｉ ｎ ｘ
得
Ｓ二 嘿 Ｓ二 ［二Ｚ二 一２［ （） ｎ ） ＂） （一 ＇） （ ） （－ ８梦 ｘ ］ｓ 抓ｘ． （＋｝ ］ ） （Ｓ ｚ ｉ
丫 ＼ ２ 沈
代人条件， 解方程得
Ｓ ＝仁 （） ］ｎ（） （） ｓ ） ＜ｘ ） （） ｆ ０一８ｓ ｝ｘ ＋８ ｘ，、 ｎ （） ａ ＋ｌ＿ 几 ＿ 矛 ｆｎａ． ＋ｌ＿ ，、二＿ ｆ ａ （一ｎ ） ，、 ： ｎ＂ 二 刀 ，、 （）．（一ｎ ） ‘、 ．ａ ，
， ，、．． ｒ 子 ａ ． 十１ 于 （一１：（一ｎ ｌ ｌ ，、 ， ．（一ｎ ） ．ａ ａ ） ａ ＋ ， ）
Ｌ 之 绍 川
一 尸 Ｊ 一 一一 一 丁下 一 一 ｅ 一 下一 一 下 一 一 Ｉ ｘ）， ｐ （ｋ
二 筑
ｋ一 Ｉ ｎ 月
Ｊ －
即
Ｓ（） ｔ（） Ｓ 一｝ｘ ・ ＇ ） ｄ （）Ｉ ｐ ）０ ． ＇ ｄ ・ （） Ｄ ） Ｓ（ ＋ａｙ ｘ ［＋（ｘ］ ＇ ｘ 二ａ ｘ ｘ （ 二 ｄ （ － 在 Ｓ ０二１ （） 一ｄ条件下， 解方程得
在（，） （ ｂ内收敛且可逐项微分，ｆ ，）ｐ０ ＝Ｏｆ ０＃０则和函数 Ｓ ｘ 具有以下两种形式： ａ ｏ （ ｂ ，（） ，（） ， ａ （）
（） １
１１ 若｛ ｎ｝ （）是公比ｑ 的等比数列， ． ｆ ＃０ 则
２ 瓦 、
Ｓ ｘ 二ｆ ｅ （＜ｘ ） （ ） （）９ ０ ＂＇ ａ ＜ｂ．
气 ｌ 上少止 ７一 Ｊ
一Ｔ Ｊ 白一 一 ｎ一－ （ｘ」 ｃ 一 一 ！ 一 ｙｘ ａｌ ｌ － ） ｘＬｖ ） ！一 一ｐ 一 ｌ 自一 － ｎ 一 ｒ ｋ ｐ ｌ ｘ ） 一 ｌ ／
ｔ ａ ｐ ｘ） ｔ ， — －－ ａｔ ｌ １１－－ ，
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Ｙ
（） ７
２２ ．
若 ｛ （）是公差 ｆｎ ）
等差数列， 则
Ｓ（ ｄ抓ｘ ］１ ｘ） ［一 ＋（ ＋１ ） ）［十抓ｘ ］ ’ １ｄ ａ 一 ｄ ）“ 一
＼ｌ ７ － １少 Ｊ
ｆ ｎ ）ａ ）． ａ 十１ （＋ｌ （一１，Ｉ（－ｎ ） ，、Ｉ ． ． ＿ ｘ少ｌ ｒ — Ｙ ＇ｋ
Ｆｒ 二ａ （ ） ｐ ｘ
Ｌ 、 十 Ｌ一 一 一ｎ — 一ｌｘ ｑＵ “ 一 一 ！ ＇’ ｐ） － ｌ
｝ｖ ＂＇ ａ ＜ｂ ． （二ｅｃ （＜ｘ ） ｘ ｝ ） ｎ ｏ ｎ：
（）若 ｛ （）是等差数列， ｆ ） （） ， ４式为 ｉ ｉ ｆ ｝ ｎ 有 （十１ ＝ｆ 十ｄ 则（） ｎ ｎ
（） ５
Ｓ＝ｘ ４） ｆ９ ＇ ｝〔 ｎ＋ （（・ （ ｄ １ 熟ｎｘ 二 （鑫 （ ）） ） ！ ｎ ｘ ！」 ： １
、 — ｌｌ： 刀
Ｖ ｋ ｌ ｘ
一（ｆ＋ 答 ａ ）０“ ｏ Ｉ）＋ ｘ（ 。艺
一
（ （） ）．（一ｎ ） ，、 ｆ ＋ｄ ａ． ａ ＋ｌＹ ｎ ． ＿ ｘ夕 刀 — ＇、
间
（ （） ） ） ａ ＋ｌ甲 、 ］ ｆ 十ｄ （－１． （－ｎ ） ，、 ｎ ａ ． ． ＿ Ｊ少 Ｉ ， —
即
Ｓ （ ＝ａ｝ ｘ Ｓ ｘ 一ｑ（ ）＇ ＇ Ｘ） ｑ （ ） （ ） ｝ｘ Ｓ（ ） ｄ ｏ ｘ．
在 Ｔ０＝０ １＝１ （） ，（） 条件下，（） ｆ Ｓ ０二
解微分方程得
Ｙ
、 ）粤１。二 ・（ 二 ， （ 一 巨 ＊ ） 。 ＜） 二 ＋ （〕 ＜ ．
特别地 ， ＝１ （） 当ｑ 时，６式为
１２（１（ｎ ） 〔、〕（“ ＋ ａ ）ａ＋ｇ，‘ ， 、， ａ ．－ １（ ＋ “ ・ －． ｎ ． １ ， ｘ 一
（）由等差数列 ｆ ｎ ） （） ｉ ｉ （＋ｌ ＝ｆ ＋ｄ ｎ
（） ９
Ｓｘ一 （ 艺一一一一一一一万产ｒ一下下二一一 ＇ ０ （ ） ｘ ）
ｆ ｎ ａａ ）． ａ ＋ － １ （）（－１ ． （－ｎ １ － ． ） ，、
［ 要］以微分方程为工具 ， 摘 推出一类一致收敛且具有分析性质的函数项级数的求和公式， 进而推广了
五种基本幂级数川的和函数公式．
〔 关健词〕函数项级数； 和函数 ； 线性微分方程； 一致收敛 「 中图分类号］０ ７． ［ １３ １ 文献标识码〕Ｃ 〔 文章编号〕１０－１０２０）５０９－４ ０７４２（０ １０－０８０
９ ９
Ｊ。 Ｌ— — 一 — 一 一９ｘ 气 十＝ ’ｎ ｝ 而 ９ ｌ ）
两种 形 式 ：
２１ ．
Ｉ＿ 合 ｆ ｎａａ ） ． －ｎ ）。 ，． ． （）（－１．（ ＋１ ，、 ．ａ
（） ６
在（，） （ ｂ内收敛且可逐项微分，Ｅ ， （） ， 为任意非零实数，（） ， ａ Ｏ （ ｂ ， Ｏ ＝０ａ ａ ）（ ｐ ｆ １＝１则和函数 Ｓ ｘ 具有下列 （） 若｛（） ｆ ｎ） 是公比４｀ 的等比数列， ｝。 则
第１卷第５ ７ 期 ２０ 年１ 月 ０１ ０
工
科
数
学
Ｖｏ． Ｎ ． ｌ１ ， ５ ７ ０
Ｏｃ ２ １ ． ０ ｔ ０
Ｊ ＵＲ Ｏ ＮＡＬ Ｆ Ｏ ＭＡＴＨＥ ＭＡＴ Ｃ Ｆ Ｒ Ｅ ＨＮＯＬ ＧＹ Ｉ Ｓ Ｏ Ｔ Ｃ Ｏ
一类函数项级数的求和
沈云海
（ 浙江水电专科学校， 杭州 ３０１） １０６
乙
， Ｊ
０
、
１２ 若｛ ｎ｝ （）是公差为ｄ的等差数列， ． ｆ 则 Ｓｘ 二ｅ｝ ｄ （） （） （＜ｘ ） （） ｑ） ｐｘ ＋ｆ ０］ ｃ［ ａ ＜ｂ．
了 、
Ｏ
、
ｄ
ｊ
，
证 对（ 式逐项微分， ） （ １
“’ ／，ｆｎ（ “一 ， （Ｊ） 二“ｎ ｉ＋ ｘ ｏ １ ＝ｎＶ ｎ ） ． ｝ （ ｉ ｆ ｝ ）若｛（）是等比数列， （＋１＝汀（）故 ｎ 有ｆｎ ）
（３ １）
艺（ １ 一） ”
（４ １）
再微 分 ，
Ｓ （ ） ｘ 一Ｓ（ ）＇ ） ０ 梦（ ） ＇ ｝（ ｘ ｘ ｄｘ ［ （ ） Ｏ ］ ｘ Ｚ
一 （ 艺（ １ ０ 一 ） ｘ ） ＂
一 （ 艺（ １ ０ 一 ） ｘ ） ＂
ｆ ｎ ） ＂＇ （＋１０＋（ ） ｘ
（ｎ １ ！ ２＋ ）
－１ １ ．ｗｅ ｅｓ Ｊ
勺
． 合 ｆ ｎａａ ） ａ ＋ｌ ，、 （）（－１． （－ｎ ） ． ． ＿ ＿
ｑ（） ｆｎ（一１…（一 ＋ｌ， ， 、 Ｔｘ 矛 （）ａ ） ａ ｎ ） 一， ＿ － 山 — 一灭ｎ 万厂一 兀厂． －ｌ 一一， ＼， ， ｃ
Ｓｘ ＝ｆ ｃ ［ｐｘ 〕 （＜ｘ ） （） （） ｓＹ（） ａ ＜ｂ． ０ｏ
４２ 若 ｛ （）是公差为 ２ ． ｆ ｎ ｝ ８的等差数列 ， 则 Ｓ ｘ ＝ｆ ０ｃｓ（ ） ｐｘ ｓ Ｔｘ ． （ ） （） ｝ｘ ＋３（ ）ｎ （ ） ｏｐ ｉ 定理 ４ 根据（４式即可推出． １） 定理 ５ 设级数
（７ １）
（８ １）
艺（ ‘ 一） ”
ｆ Ｖ ｉ （） ＋（ ） ｎ ｘ
证 对 ３ ２ 明． ．证
（２ １）
对 （ １ 式 ， Ｙ ， （） 时， １ ） 当 ＝１ ０ ＝１ 有 ｆ
艺（ １ （ｎ＋ ｌ ！ 一）２ ） ”
对（０式两边微分， １）
Ｓ（ ＇ ｘ） ９（ ） ｝ ｘ
０＋（） ｓ ｓｘ ． ＂１ ＝ ｏ ） ｘ ｉ（ ｎ