初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲 分式的运算［知识点击］1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。

2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。

3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。

［例题选讲］例1•化简x^4r^ +厂只+ 厂九 1 + 1—(x 2)(x 3) (x 3)(x 4)1 1,1--- — ---------- ---- 十x 1x 2 x 21,1 1----- 十 ------ —-----x 3 x 3x 4例2.解：原式二i(x 1)(x 2)x y kz(1)解：易知：-一-= -―z= -一z = k 贝y x z ky(2)亠z y x=2 或x+y+z=O y z kx(3)(1)+(2) +(3) 得: (k -2)(x+y+z)=0 k 若k =2贝9原式=k 3 = 8 若x + y + z =0,则原式二 k 3 =-1例3.设2 1，求x mx 1ft x1 42 2x m x的值。

1解：显然2X 0,由已知xmx 1 “=1 ,x贝y x +丄=xm + 14 2 2.x m x 1 (2)x+ 1) 2-2 x -m 22•••原式二一2m 1=(m +1) 2-2- m 2 = 2 m -1例4.已知多项式3x3 +ax 2 +3x +1能被x2+1整除，求a的值解:1- a =0 二a =1例5:设n为正整数，求证1111 ++ …....+v1 3 15(2n1)(2 n 1)2证：左边=1(1 - 1 1-1 + ••…• +1-1)23352n 12n 1 1(1-1)22n11•••n为正整数,2n 112、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法， 其优点在于设连比值为 K ,将连等式化为若干个等式，把各字母用同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。

3、整体代换及倒数法是分式的的求值中常用的方法， 应熟练掌握。

［巩固练习］••• 1- 故左边V2n 1 ［小结归纳］ 1、部分分式的通用公式:1 x(x k)1、若分式2m二的值是正整数，则整数m= ________m 12、若a2a3a4 = a1 a 3a4 = a1 a2a4 ,=a1 a2 a3-ka1a2a3a4则k=03、已知a2-3b 2 = 2ab .(a>0, b> 0),则a2b =a b4、已知a、b、c是有理数, 且ab -1 ,-bc=1 ca _=-，贝y——abca b 3 b c 4 c a 5 ab bc ca5、若丄1-2006，则. x xy y =0x y2x 6019 xy 2y6、实数a、b 满足ab=1，设A = + —,B=』+ -b+1，则A、B的关系1 a 1 b 1 a 1 b7、当a、b、c为何值时，多项式x43x33x2ax b能被除数x23x 2整除8、计算2007 2007 200715 2152007 720079、已知(x2x2x 33x 2)(x 3) X求A、B、C的值。

10、若对于3以外的一切实数X，等式代均成立, mn 二________11、已知ab第二讲分式方程及应用［知识点击］1、解分式方程的基本思路是去分母化分式方程为整式方程；2、解分式的方程的常用方法有：换元法、整体法、通分法等；3、分式方程广泛应用于生活实际中，要注意未知数的值既要是原方程的根，又要与实际意义相符［例题选讲］例1. 解方程组X y9y5x y10y x1866=n ,2m 5n 189m 10n 66可得： 6n5例3.当m 为何值时，关于 x 的方程2 口--—1的解为正数x x 2 x 1 x 2例2.解方程447x 5 x 1x 8 4x 30 x 6 x 7两边分别通分：(x 2)(x1) (x 7)(x 6)，易求：“ =41 x 21 1 1x 1 x 7 x 6易求：y解：原方程可化为解：解方程可得: x=12m，需:2可得m< 1且伊-3例4.设库池中有待处理的污水a吨，从城区流入库池的污水按每小时b吨的固定流量增加，若同时幵动2台机组需30小时处理完污水，同时启动4台机组需10小时处理完污水，若要求在5小时内将污水处理完毕，那么至少要同时幵动多少台机组解：设1台机组每小时处理污水y吨，要在5小时内处理完污水，至少同时幵动x台机组，贝V:a 30b 2 30 ya30y a 5ba 10b 4 10y 可得X > 7b y 5ya 5b 5xy例5. 求证对任意自然数n，有1^2 $ v22 3 n证明：当n=1时，1 v 2显然成立。

21 1 1 n(n 1) n 1 n ［点评归纳］1、 当某个代数式在一个问题中多次反复出现时，我们可以把这个代数式当作一个整体去替换，使问题简化； 2、 假分式构成的分式方程一般先分离整数， 然后等式两边分别通分可解。

3、解分式方程要注意验根，在求分式方程中待定字母的值时往入容易忽略这一点当n> 1 时，n(n -1故：1 1 V 1 n 1(n 1［巩固练习］1、某同学用一架不等臂天平称药品，第一次将左盘放入50g砝码，右盘放药品使天平平衡，第二次将右盘放入50g砝码，左盘放药品使天平平衡，则两次称得药品总质量（）A、等于100g B 、大于100g C 、小于100g D、都有可能2、用大小两部抽水机给麦田浇水，先用两部抽水机一起抽水2小时，再用小抽水机单独抽水1小时即可浇完，已知单独用小抽水机所用时间是大抽水机单独抽水所需时间的1丄倍，求两部抽水机单独浇完这块2麦田各需多少小时3、解方程三7x2x 30 = 2x3"x236x 45x2x 13 2x27x 205、某工厂将总价2000元的甲种原料与总价4800元的乙种原料混合后，其平均价格比原甲种原煤料每斤少3元，比原乙种原料每斤多 1元，问混合后的单价。

7、已知 f (x) 2x 3 7x 2 m 有因式 2x 3，则:m = _____________第三讲一元二次方程的解法［知识点击］4、解方程凡 1 (X 1)(X 2) 1 (x 2)( x 3) 1 2(x 9)(x 10) 56、自然数m n 是两个不同质数，且 m+n 勺最小值为P ，则 2 2m n 2P 8、求y 的最大值1、一元二次方程的常规解法有：直接幵平方、配方法、因式分解及求根公式法2、对于复杂的一元二次方程往往要借助换元法、和差构造法等。

3、含有字母系数的一元二次方程一般要分类型讨论。

4、设而不求是研究一元二次方程公共解的基本方法。

［例题选讲］例1.解方程2X2X2X-2 X1 13X 1 16解：令2X X2Xy嗨解得y i y22X2X号，解得X11, X2,315例2. 解方程3X25X 8 - 3x25x 1 =1解：T( 3x25x 8 + -3x25x 1 ) ( . 3x25x 8 - 3x25x 1 ) =7 •I3x25x 8 + 3x25x 1 =7 ①又3x25x 8 - 3x25x 1 =1 ②①+②：一3x25x 8 =4易知：X2=1 X 2=-3例3:已知m是方程X2 -2007X+1=0的一个不为0的根求m 2 -2006m+ 竽乙的值m 1解：Tm为方程的非零根，「・m 2 -2007 m +1=0可得m 2 =2007 m-1 , m + 丄=2007,m 2+1=2007mm原式=2007m -1-2006 m + -200L =m +1-1=2007-1=20062007 m m例4、设a>b为实数，那么a2+ab+b2- a - 2b的最小值为多少解：原式：二a2+( b-1)a+ (b2-2b)=(a+ ・)2 + 3 (b-1)2 -12 4当a=o b=1时，最小值为-1例5:解方程m 2(x2-x+1 ) - m( x2-1 ) = (m 2-1 ) x解：原方程整理为：m(m -1 ) x 2- (2m 2-1 ) x +m(m +1 ) =0[mx - ( m + 1 ) [ (m -1 ) x - m ]=0m x= m +1 或(m -1 ) x =m1) 当mH O,mM 1 时，x1二—1 , x2= mm m 12) m =0,x = 03) m =1 时x =2例6:方程(2007 x) 2 -2006 X 2008X-1=0 的较大根为m, 方程2006x2 -2007X+1=0的较小根为n ,求n - m的值解：方程①可化为(20072X+1)(X-1)=01X=———X 2=1 V X2> X ••• m=120072方程②可化为(2006X-1')(X-1)=01 X i =- -^ X 2=1 2006［点评归纳］1、 有的方程某部分重复出现，或经过变形后产生重复出现的式子，可通过换元使方程简化而便于求解。

2、 含有两个无理根式且可化为一元二次方程的方程，若两个无理式的有理化因式与它的乘积等于一个常 数，这时通常可用平方差公式构造两个无理式的和与它们的差，从而加减消去一个根式，可使方程简 化并求解。

3、 一元一次方程的根是满足方程的未知数的值，由此得到的等式是许多代数式求值的依据，要灵活运用［巩固练习］1、 解方程：2x 2^2，-3X- -= __________x x-1=- 2006 2005 2006••• X i v X 2 20062、解方程：—X 7 +_X 5 = ________________UX 3 2 (X 4 13、解方程：x2-|2X-1|-4= ________4、三个二次方程a x 2 +bx+c=O, b x2 + cx + a =0, c x 2 + ax + b =0 有公共根，求证a +b +c =05、已知a、b、c 均为实数，且满足.a22a 1 +| b +1|+( c +2)2 =0试求方程a x 2 + cx - b =0的解6、求证方程(a - b) x2 + (b - c) x + c - a =0 (a^ b)有一个根为1。

7、设方程x2+px+q二的两根为X、％，且11 =x i + X2 I 2=x；+x； ......................I n = X； + x n 则当n> 3 时，求I n+PI n-l+ql n-2 + 的值。

8、证明：不论X为何实数，多项式2x4- 4 x 2- 1的值总大于x4-2x2-4的值。

9、已知a2 -4a+b 2 - b +65 =0，则a2-4 . b =2 1610、已知m n为有理数，方程x +mx+n=0有一个根为J5-2，求m+n的值。