二次函数与直角三角形1．（10分）（2006河南22题）二次函数218y x =的图象如图所示，过y 轴上一点()02M ，的直线与抛物线交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ． （1）当点A 的横坐标为2-时，求点B 的坐标；（2）在（1）的情况下，分别过点A ，B 作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F ，在EF 上是否存在点P ，使APB ∠为直角．若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点A 在抛物线上运动时（点A 与点O 不重合），求AC BD 的值．解：（1）根据题意，设点B 的坐标为218x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，其中0x >．点A 的横坐标为2-，122A ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，． ······································································ 2分AC y ⊥轴，BD y ⊥轴，()02M ，， AC BD ∴∥，32MC =，2128MD x =-． Rt Rt BDM ACM ∴△∽△． BD MD AC MC∴=． 即212822x x -=．解得12x =-（舍去），28x =．()88B ∴，． ··················································································································· 5分 （2）存在． ··················································································································· 6分 连结AP ，BP ．由（1），12AE =，8BF =，10EF =． 设EP a =，则10PF a =-．AE x ⊥轴，BF x ⊥轴，90APB =∠，yDBMA C OxAEP PFB ∴△∽△． AE EP PF BF ∴=． 12108aa ∴=-．解得5a =5a =∴点P的坐标为()3+或()3． ···························································· 8分 （3）根据题意，设218A m m ⎛⎫⎪⎝⎭，，218B n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，不妨设0m <，0n >．由（1）知BD MDAC MC =， 则22128128n n m m -=--或22128128n n m m -=--． 化简，得()()160mn m n +-=．0m n -≠，16mn ∴=-．16AC BD ∴=． ········································································································· 10分2.如图17，(2010辽宁大连26题)抛物线F ：2(0)y ax bx c a =++>与y 轴相交于点C ，直线1L 经过点C 且平行于x 轴，将1L 向上平移t 个单位得到直线2L ，设1L 与抛物线F 的交点为C 、D ，2L 与抛物线F 的交点为A 、B ，连接AC 、BC （1）当12a =，32b =-，1c =，2t =时，探究△ABC 的形状，并说明理由； （2）若△ABC 为直角三角形，求t 的值（用含a 的式子表示）；（3）在（2）的条件下，若点A 关于y 轴的对称点A ’恰好在抛物线F 的对称轴上，连接A ’C ，BD ，求四边形A ’CDB 的面积（用含a 的式子表示）（1）213122y x x =-+，∴C 的坐标为（0，1），当t=2时，y=3，所以有2133122x x =-+，解得121; 4.x x =-=(A B∴-,5,CA CB AB ∴===222AB CB AC ∴=+,则△ABC 是直角三角形。

（2）设AB 交y 轴于E ，交抛物线对称轴于F ，则F 为AB 中点，连接CF 。

由方程2c t ax bx c +=++得20ax bx t +-=,设它们两根为12,.x x 则由根与系数的关系得：1212,b t x x x x a a+=-=-；AB=12x x -=12CF AB ∴==在Rt △CEF 中，CE=t,EF=2ba-2222b t a ∴+-=⎝⎭,解得t=1a . (3)因为点A 关于y 轴的对称点A ’恰好在抛物线F 的对称轴上，所以b<0,且A ’B=4EA ’.E42ba a=-⨯,解得b=3-. 'b CD A B a ∴==-,∴四边形'A CDB是平行四边形，则它的面积为23b t a a-⨯=.3．（本小题满分16分）(2009广西崇左市25题)在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点(02)A ，，点(10)C -，，如图所示：抛物线22y ax ax =+-经过点B ．（1）求点B 的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使ACP △仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P（1）过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ，9090BCD ACO ACO CAO ∠+∠=∠+∠=°，°BCD CAO ∴∠=∠； ······································ 1分又90BDC COA CB AC ∠=∠==°；，BCD CAO ∴△≌△， ····································· 2分 12BD OC CD OA ∴====， ·························· 3分∴点B 的坐标为(31)-，； ····························· 4分 （2）抛物线22y ax ax =+-经过点(31)B -，，则得到1932a a =--， ···· 5分解得12a =，所以抛物线的解析式为211222y x x =+-； ······················ 7分 （3）假设存在点P ，使得ACP △仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形：①若以点C 为直角顶点；则延长BC 至点1P ，使得1PC BC =，得到等腰直角三角形1ACP △， · 8分 过点1P 作1PM x ⊥轴， 11190CP BC MCP BCD PMC BDC =∠=∠∠=∠=，，°； 1MPC DBC ∴△≌△ ··············································································· 10分 121CM CD PM BD ∴====，，可求得点1P (1，-1)； ··························· 11分 ②若以点A 为直角顶点；则过点A 作2AP CA ⊥，且使得2AP AC =，得到等腰直角三角形2ACP △，··········································································································· 12分 过点2P 作2P N y ⊥轴，同理可证2AP N CAO △≌△； ·························· 13分 221NP OA AN OC ∴====，，可求得点2(21)P ，；································ 14分 经检验，点1(11)P -，与点2(21)P ，都在抛物线211222y x x =+-上． ······· 16分 4、本大题共1个小题，共11分．(2009眉山24题)．已知：直线112y x =+与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 （1，0）． （1）求抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△P AE 是直角三角形时，求点P 的坐标．（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标．（1）将A （0，1）、B （1，0）坐标代入212y x bx c =++得1102c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩解得321b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的解折式为213122y x x =-+…（2分）（2）设点E 的横坐标为m ，则它的纵坐标为213122m m -+ 即 E 点的坐标（m ，213122m m -+）又∵点E 在直线112y x =+上∴213111222m m m -+=+ 解得10m =（舍去），24m = ∴E 的坐标为（4，3）……（4分） （Ⅰ）当A 为直角顶点时过A 作AP 1⊥DE 交x 轴于P 1点，设P 1（a,0） 易知D 点坐标为（－2，0） 由Rt △AOD ∽Rt △POA 得DO OA OA OP =即211a =，∴a ＝21 ∴P 1（21，0）……（5分） （Ⅱ）同理，当E 为直角顶点时，P 2点坐标为（112，0）……（6分）（Ⅲ）当P 为直角顶点时，过E 作EF ⊥x 轴于F ，设P 3（b 、3）由∠OPA+∠FPE ＝90°，得∠OPA ＝∠FEP Rt △AOP ∽Rt △PFE由AO OP PF EF =得143bb =- 解得13b =，21b = ∴此时的点P 3的坐标为（1，0）或（3，0）……（8分）综上所述，满足条件的点P 的坐标为（21，0）或（1，0）或（3，0）或（112，0） （Ⅲ）抛物线的对称轴为32x =…（9分）∵B 、C 关于x ＝23对称 ∴MC ＝MB要使||AM MC -最大，即是使||AM MB -最大由三角形两边之差小于第三边得，当A 、B 、M 在同一直线上时||AM MB -的值最大．（10分）易知直线AB 的解折式为1y x =-+∴由132y x x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩ 得3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴M （23，－21）…（11分） 5、（2011潼南县）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC ，OA=1，OC=4，抛物线y=x 2+bx+c 经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ． （1）求b ，c 的值；（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点（点A 、B 除外），过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标； （3）在（2）的条件下：①求以点E 、B 、F 、D 为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）由已知得：A（﹣1，0），B（4，5），∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，5），∴，解得：b=﹣2，c=﹣3；（2）如图：∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），∴直线AB的解析式为：y=x+1，∵二次函数y=x2﹣2x﹣3，∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），∴EF=（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，EF的最大值为，∴点E的坐标为（，）；（3）①如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD．可求出点F的坐标（，），点D的坐标为（1，﹣4）S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF=××（4﹣）+××（﹣1）=；②如图：ⅰ）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3）则有：m2﹣2m﹣2=，解得：m1=，m2=，∴P1（，），P2（，），ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3）则有：n2﹣2n﹣2=﹣，解得：n1=，n2=（与点F重合，舍去），∴P3（，），综上所述：所有点P的坐标：P1（，），P2（，），P3（，）能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．2、（2011菏泽）如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．解：（1）把点A（﹣1，0）的坐标代入抛物线的解析式y=x2+bx﹣2，整理后解得，所以抛物线的解析式为．（2分）顶点D；（3分）（2）AB=5．AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．（6分）（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2．连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．设抛物线的对称轴交x轴于点E，△C′OM∽△DEM．∴，∴，∴m=．（10分）点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，做好辅助点，找对相似三角形．6.（2010孝感）如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD,使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m,0），其中m＞0.（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；（3）如图（2），设抛物线y=a(x－m－6)2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值.解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=10，AB=CD=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°.由折叠对称性：AF=AD=10，FE=DE.在Rt△ABF中，BF=.∴FC=4.在Rt △ECF 中，42+（8-x ）2=x 2，解得x=5.∴CE=8-x=3.∵B （m ，0）,∴E(m+10,3),F （m+6,0）.（2）分三种情形讨论：若AO=AF ，∵AB ⊥OF ，∴OB=BF=6.∴m=6. 若OF=AF ，则m+6=10，解得m=4.若AO=OF ，在Rt △AOB 中，AO 2=OB 2+AB 2=m 2+64，∴（m+6）2= m 2+64，解得m=.综合得m=6或4或.（3）由（1）知A(m,8)，E(m+10,3).依题意，得，解得∴M （m+6，﹣1）.设对称轴交AD 于G. ∴G （m+6,8），∴AG=6，GM=8－（﹣1）=9. ∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°， ∴∠OAB=∠MAG. 又∵∠ABO=∠MGA=90°， ∴△AOB ∽△AMG.∴，即. ∴m=12.7．（2011邵阳）如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A (－49，0)，点C (0，3)，点B 是x 轴上一点(位于点A 的右侧)，以AB 为直径的圆恰好经过．．．．点C ． （1）求∠ACB 的度数；（2）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A 、B 两点，求抛物线的解析式；11 （3）线段BC 上是否存在点D ，使△BOD 为等腰三角形．若存在，则求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解： (1) ∵以AB 为直径的圆恰好经过．．．．点C ∴∠ACB = (2) ∵△AOC ∽△ABC ∴∵A (－49，0)，点C (0，3)，∴∴ ∴∴B(4,0)把 A 、B 、C 三点坐标代入得(3) 1）OD=OB , D 在OB 的中垂线上，过D 作DH ⊥OB,垂足是H 则H 是OB 中点。