习题6.1 设计能检测分组中所有1、3、5、7位错误图样的（n ，k ）奇偶校验码。
求出n 和k 的值。
如果信道码元错误概率是10-2，试求不能检测分组错误的概率。
解：()()7,8,=k n()()()826446288168148128p p p p p p p P nd ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= ()()()()()()()38242624242622210*6.210101102810110701011028--------=+-+-+-=nd p6.2 计算将12位数据序列编码为（24，12）线性分组码后的错误概率。
假定码本能够纠正所有的1位、2位错误图样，而不能纠正所有2位以上的错误图样。
同时，假定信道码元错误概率为10-3。
解：()()()∑=----=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2436213332410*98.110110324124k k k M p p k P6.3 考虑一个能纠正3个错误的（127，92）线性分组码。
a ）如果信道码元错误概率为10-3，对于未编码的92位信息，其消息错误概率是多少？b ）如果信道码元错误概率为10-3，对于使用（127，92）分组编码的信息，其消息错误概率是多少。
解：（a ）()292310*8.81011--=--=v m P(b) ()()()∑=----=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1274612334312710*14.91011041271127k kk cmp p k P6.4 假定采用相关BPSK 解调，接收E b /N 0=10dB ，计算使用（24，12）纠双错线性分组码，编码前后消息差错概率性能的改善。
解：()()610210*05.4247.412147.410*222---==≅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=e e x Q Q NE Q P x o bM ππ ()512610*86.410*05.411--=--=vm P对于（24,12）编码，码率是21，由于ocN E 比obN E 小3dB ，所以数据速率是非编码速率的两倍01.57==dB N E oc()()16.301.5*22Q Q NE Q P o c c ==⎪⎪⎭⎫⎝⎛= 查表 B.1 得 0008.0=c P()()()213242430008.010008.0324124-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=∑k k k c mp p k P 610*02.1-≅c m P6.4710*02.110*86.465==--TIMPROVEMEN ERFORMANCEP6.5 考虑一个（24，12）线性分组码，它能纠正双错。
假设使用非相关检测二进制正交移频键控（BFSK ）调制，并且接收E b /N 0=14dB 。
a ）这种码是否提高了消息错误概率的性能？如果有，是多少？如果没有，为什么？b ）对E b /N 0=10dB 时重新计算（a ）。
解：(a) 非相关 BFSK 的12.2514==dB N E ob6212.252110*76.12121---===ee P o b N E u()512610*11.210*76.111--=--=v m P对于21编码速率因此59.1211==dB N E oc4259.12210*23.92121---===ee P o cN E c()()62143410*56.110*23.9110*23.9324---=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≅c mP5.1310*56.110*11.265==--T IMPROVEMEN E PEREORMANC（b ）1010==dB N E ob352110*36.32121---===e e P o b N E u()212310*96.310*36.311--=--=vm P21速率编码 01.57==dB N E o c 25.22110*1.42121---===e e P o c N E c()()22123210*7.510*1.4110*1.4324---=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≅c mP这里有一个性能下降4.110*96.310*7.522==-- 这是由于obN E 没有足够大，使编码不能够完全表现它的增益特性。
在obN E 取此值时，数字编码恰好处于临界过载状态。
6.6 电话公司对它的一些数据信道使用“五个中取最佳”的编码方法。
在该系统中，每个数据比特重复五次，而在接收端，选择五次中重复出现次数最多的值作为该数据比特。
如果未编码时的比特错误概率为10-3，求使用此码译码后的比特错误概率。
解：如果在重复检测的接收中有3次是错误检测值，那么解码将会发生错误。
()()()8233533510101103515--=--≅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑j j j B p p j P6.7 给定线性分组码的最小码间距离是11，求其最大纠错能力，最大检错能力，以及最大纠正擦除能力。
解：11min =d纠错：521min =-=d t 检错：101min =-=d m 纠正擦除：101min =-=d p6.8 考虑具有如下生成矩阵的（7，4）码（a）找出该码的所有码字（b）求出此码的监督矩阵H。
（c）计算当接收矢量为1101101时的伴随式。
它是否为有效的码字矢量。
（d）这种码的纠错能力如何？（e）这种码的检错性能如何？u解：(a)mG_1111111011110010110010011010110101001010011001100000111111100000110011101011001010111001010100110100001100000001111011110110011110101011001000111100110101000101100010010000000编码向量消息[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-011110011010101011001)(T K M P I H b[][]0100111101011111000100011011011)(=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==T rH S c因此1101101不是有效码字。
1213)(m in m in m in =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-===d t W d d21)(min =-=d m e6.9 考虑一个系统分组码，其监督方程为 1124p m m m =++2134p m m m =++ 3123p m m m =++ 4234p m m m =++这里m i 为信息位，而g i 为监督位。
（a ）求出这种码的生成矩阵和监督矩阵。
（b ）这种码能纠正多少错误？ （c ）10101010是合法码字吗？ （d ）01011100是合法码字吗？ 解：[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==10001011010011100010110100010111)(K I P G a[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-11101000011101001101001010110001T K M P I H121421)(min =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=d t b[][]110001010101)(===T T H rH S c因此10101010不是有效码字[][]000000111010)(===T T H rH S d因此01011100是有效码字6.10 某种线性分组码的码字定义如下124513451235123412345,,,,,,,,U m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m =++++++++++++（a ）给出生成矩阵。
（b ）给出监督矩阵。
（c ）求n ，k 和d min 。
解：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100000111010001011001001110000101101000011111)(G a[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-011111111000011101001101001010110001)(TK M P I H b359)(min ===d k n c6.11 设计一个（n ，k ）=（5，2）的线性分组码。
（a ）选择码字使其具有系统码形式和最大的d min 。
（b ）求出码字集的生成矩阵。
（c ）计算监督矩阵。
（d ）将所有n 元组写入标准阵。
（e ）这种码的纠错和检错能力如何？ （f ）为可纠正的错误图样作出伴随式校对表。
解：1101111101101001101010000000)(码字信息矢量a从上面三组中随便选两组就可以了（全0的除外）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1011001101)G b （[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-111001*********)(T K M P I H c0001101110101011100010001111000011101010010110011011101100001001111110001010100011111100100100100100110011010001111000101101010111011000000111011101100110100000)(标准阵列d211213)min min min =-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==d m d t d e （⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==110101100010001)(e eH S f T1001000001001000001001001010001001100001伴随式错误图样6.12 考虑（5，1）重复码，它是由两个码字00000和11111构成，分别对应信息0和1。
导出这种码的标准阵。
它是完备码吗？标准阵列可知只能纠正1或2bit 错误，因此此码是完备的6.13 设计一个（3，1）码，使它能纠正所有的单错图样。
选择码字集并给出标准阵。
解：()⎩⎨⎧=-⨯==115.03min min d t d 标准阵列：6.14 （7，3）码是完备码吗？（7，4）码是完备码吗？（15，11）码是完备码吗？证明你的答案。
解：(1) (7,3)码：可能的接收矢量数：12827=，信息码个数：823=，陪集个数：16237=-。
因此由16个陪集首可以纠正所有的1bit 错误，和8个2bit 错误。
但是共有2127=⎪⎪⎭⎫⎝⎛个2bit 错误。
所以此码不是完备的。
(2) (7,4)码：可能的接收矢量数：12827=，信息码个数：1624=，陪集个数：8247=-。
由8个陪集首只可以纠正所有的1bit 错误。
所以此码是完备的。
(3) (15,11)码：可能的接收矢量数：32768215=，信息码个数：2048211=，陪集个数：1624=。