就可以利用裂项法公式： 1 n(n
1)
1 n
1 n 1
把每个分数拆成两个分数单位的差，消去中间留下两边即：
总结：
1 1 2
1 23
(n
1 1) n
1 n(n
1)
1
1 n 1
n n 1
分数裂项的减法形式举例如下:
通分与拆分互逆：
11 3 2 1 2 3 23 23 6 1＝ 3 2 ＝1 1 6 23 23 2 3
相同的分子提出来，使分子变为1。
1 1 5 7 35
11 2 5 7 35
11 1 5 7 57
1 1（11） 57 2 5 7
求 1和 1： 11111 1 33 55 77 99 11 1 1 11 3 1 35
解 1 ： （ 1 1 ) 1 原 （ 1 1 ) 式 1 （ 1 1 ) 1 （ 1 1 ) 21 323 5 211 1 2 3 11 35
1 1
23 6
1 1 1
1 1 1 23 6
23 6
1 1
78 56 11 1 7 8 56
11 1 7 8 56
注意：分数的分母必
须是相邻的自然数;分
1 1
子必须是1
5 7 35
11 2 5 7 35
11 1 5 6 30
3 3
11 1 5 7 57
11 3 5 6 56
总结： 1 1 1 n(n1) n n1
5 6 30
求 1和 1 ： 11111 1 22 33 44 55 66 77 8
解 1 ： 1 ( 1 1 ) ( 原 1 1 ) ( 1 1 式 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) 1 2 2 33 44 55 66 77 8
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2233445566778
1 1 100
99 .消去中间留下两边.
100
一 .分 母是 两 个 相邻 数 裂 项： 若干个分数连加，如果每个分数的分母， 都 是 两 个 相 邻 自 然 数 相 乘 ， 且 分 子 是1时 ， 就可以利用裂项法公式：
1 1 1 n (n 1) n n 1 即：把每个分数拆成两个分数单位的差， 消去中间留下两边.
1 1
2
2
1
3
(n
1 1)
n
n
1 (n
1)
1
n
1
1
n n 1
二.多个数裂项 裂项法总结
一、两个不相邻数裂项方法：若
干个分数连加，如果每个分数的分母，
判断：
都是两个相邻自然数相乘，且分子是1 就可以利用裂项法公式，把每个分数拆 成两个分数单位的差，简便（抵消）计
算。消去中间留下两边. 如果分子不为1且相同时，可以把
一、两个相邻数裂项解析
1 1 23 6
1 1 1 23 6
1 1 78 56
11 1 7 8 56
1 1 1 23 6
11 1 7 8 56
根据上述式子， 你有发现什么 规律吗？
规律分数的分母必须是相邻的 自然数相乘;分子必须是1.
一.两个相邻数裂项解析：分数的分母必
须是相邻的自然数相乘;分子必须是1.
1 1 8 若干个分数连加，如果每个分数的分母，
7
都是两个相邻自然数相乘，且分子是1时，
8
就可以利用裂差公式，把每个分数拆成两
练习：个分数单位的差，消去中间留下两边.
求和 1 1 1 1
12 23
98 9999 100
举例解析：裂项基础之黄金数列
11 1 2 23
1 1 9899 99100
解：
Sn
1 (1 3
1) 4
1 (1 34
1) 7
1 (1 37
1 ) 10
1( 1 3 3n 2
1) 3n 1
1 (1 1 ) n 3 3n 1 3n 1
判断：
判断：
判断：
一.两个相邻数裂项法总结
一、两个相邻数裂项方法：
若干个分数连加，如果每个分数的 分母，都是两个相邻自然数相乘， 且分子是1时，就可以利用裂项法 式，把每个分数拆成两个分数单位
的差，消去中间留下两边.
一、两个相邻数裂项：
一.分母是两个相邻数裂项：若干个分数连加，如果每个分数的分母，
都是两个相邻自然数相乘，且分子是1时，
1＋ 1＋ 1＋ ＋ 1 1 2 2 33 4 2 0 1 0 2 0 1 1
总结：
1 1 1 1
1 2 23
(n 1) n n (n 1)
1 1 n 1
n n 1
一 .分 母 是 两 个 相 邻 数 裂 项 法 总 结 ：
把每个分数拆成两个分数单位的差，
消 去 中 间 留 下 两 边 .即 ：
1 （ 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 2 335 11 13 13 15
1（1 1 ) 2 15
7 15
总结：
1 1
3
3
1
5
(2n
1)
1 （2n
1）
1（1 1 ） 2 2n 1
n 2n 1
练习1
Sn
1 1 4
1 47
1 7 10
1 (3n 2)(3n 1)
一 .分 母 是 两 个 相 邻 数 裂 项 法 总 结 ：
把每个分数拆成两个分数单位的差，
消 去 中 间 留 下 两 边 .即 ：
1 1
2
2
1
3
(n
1 1) nn1 (n1)1
n
1
1
n n 1
习
练
题
11 1 1 1 12 23 34 45 56
111111 344556677889
1111111 2 6 12 20 30 42 56