2021年高考数学一轮复习第三章导数及其应用第三节导数与函数的极值与最值夯基提能作业本文1.设函数f(x)在定义域R上可导,其导函数为f '(x),若函数y=(1-x)f '(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)2.设函数f(x)=+ln x,则( )A.x=为f(x)的极大值点B.x=为f(x)的极小值点C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点3.函数f(x)=x2-ln x的最小值为( )A. B.1C.0D.不存在4.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为( )A.37B.73C.-10D.-375.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点,则f(x)的极大值、极小值分别为( )A.-,0B.0,-C.,0D.0,6.若函数f(x)=2x2-ln x在区间(k-1,k+1)上有定义且不是单调函数,则实数k的取值范围是( )A.[1,+∞)B.C.[1,2)D.7.函数f(x)=xsin x+cos x在上的最大值为.8.已知f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时, f(x)=ln x-ax,当x∈(-2,0)时, f(x)的最小值为1,则a的值为.9.(xx北京朝阳期中)已知函数f(x)=,a∈R.(1)若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为-2,求函数f(x)的最小值;(2)若函数f(x)在区间(0,1)上无极值,求a的取值范围.B组提升题组10.已知函数f(x)=(1)求f(x)在区间(-∞,1)上的极大值点和极小值;(2)求f(x)在[-1,e](e为自然对数的底数)上的最大值.11.(xx北京海淀一模)已知函数f(x)=.(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)的零点和极值;(3)若对任意x1,x2∈[a,+∞),都有f(x1)-f(x2)≥-成立,求实数a的最小值.12.(xx北京丰台二模)设函数f(x)=e x-a(x-1).(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若函数f(x)在区间(0,2]上存在唯一零点,求a的取值范围.答案精解精析A组基础题组1.D2.D 因为f(x)=+ln x,所以f '(x)=-+=,当x>2时, f '(x)>0,此时f(x)为增函数;当0<x<2时, f '(x)<0,此时f(x)为减函数,据此知x=2为f(x)的极小值点.3.A f '(x)=x-=,且x>0.令f '(x)>0,得x>1;令f '(x)<0,得0<x<1.∴f(x)在x=1处取得极小值,即最小值,且f(1)=-ln 1=.4.D 由题意知, f '(x)=6x2-12x,令f '(x)=0,得x=0或x=2,当x<0或x>2时, f '(x)>0,当0<x<2时,f '(x)<0,∴f(x)在[-2,0]上单调递增,在(0,2]上单调递减,由条件知f(0)=m=3,∴f(2)=-5, f(-2)=-37,∴所求最小值为-37.5.C 由题意知, f '(x)=3x2-2px-q,由f '(1)=0, f(1)=0得解得p=2,q=-1,∴f(x)=x3-2x2+x,由f '(x)=3x2-4x+1=0,得x=或x=1,易得当x=时, f(x)取得极大值,当x=1时, f(x)取得极小值0.6.B 由f '(x)=4x-==0,得x=.当x∈时, f '(x)<0;当x∈时, f '(x)>0,即函数f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以x=为函数f(x)的极值点.函数在区间(k-1,k+1)上有定义且不是单调函数,即在区间(k-1,k+1)内有极值点,所以0≤k-1<<k+1,解得1≤k<.7.答案解析因为f '(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,所以f '(x)=0在x∈上的解为x=.又f=+, f=,f(π)=-1,所以函数f(x)=xsin x+cos x在上的最大值为.8.答案1解析因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(0,2)上的最大值为-1,当x∈(0,2)时, f '(x)=-a,令f '(x)=0,得x=,因为a>,所以0<<2.令f '(x)>0,得x<,所以f(x)在上单调递增;令f '(x)<0,得x>,所以f(x)在上单调递减,所以当x∈(0,2)时, f(x)max=f=ln -a·=-1,所以ln =0,所以a=1.9.解析因为f(x)=,所以f '(x)=.(1)依题意得f '(0)=a-1=-2,解得a=-1.所以f(x)=, f '(x)=.当x>2时, f '(x)>0,函数f(x)为增函数;当x<2时, f '(x)<0,函数f(x)为减函数.所以函数f(x)的最小值是f(2)=-.(2)①若a=0,则f '(x)=-<0.此时f(x)在(0,1)上单调递减,满足条件.②若a≠0,令f '(x)=0,得x==1-.(i)若1-≤0,即0<a≤1,则f '(x)<0在(0,1)上恒成立.此时f(x)在(0,1)上单调递减,满足条件.(ii)若0<1-<1,即a>1,由f '(x)>0得x<1-;由f '(x)<0得x>1-.此时, f(x)在上为增函数,在上为减函数,不满足条件. (iii)若1-≥1,即a<0,则f '(x)<0在(0,1)上恒成立.此时f(x)在(0,1)上单调递减,满足条件.综上,a的取值范围为(-∞,1].B组提升题组10.解析(1)当x<1时, f '(x)=-3x2+2x=-x(3x-2),令f '(x)=0,解得x=0或x=.当x变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表:x(-∞,0)0f '(x)-0+0-f(x)↘极小值↗极大值↘故当x=0时,函数f(x)取得极小值,为f(0)=0,函数f(x)的极大值点为x=.(2)①当-1≤x<1时,由(1)知,函数f(x)在[-1,0]和上单调递减,在上单调递增.因为f(-1)=2, f=, f(0)=0,所以f(x)在[-1,1)上的最大值为2.②当1≤x≤e时, f(x)=aln x,当a≤0时, f(x)≤0;当a>0时, f(x)在[1,e]上单调递增,则f(x)在[1,e]上的最大值为f(e)=a.综上所述,当a≥2时, f(x)在[-1,e]上的最大值为a;当a<2时, f(x)在[-1,e]上的最大值为2.11.解析(1)对f(x)求导得f '(x)=,所以f '(0)=-2.因为f(0)=1,所以曲线f(x)在(0, f(0))处的切线方程为2x+y-1=0.(2)令f(x)==0,解得x=1,所以f(x)的零点为x=1.由(1)知f '(x)=,令f '(x)=0,解得x=2,当x变化时, f '(x)及f(x)的变化情况如下表:x(-∞,2)2(2,+∞)f '(x)-0+f(x)↘极小值-↗所以函数f(x)在x=2处取得极小值,极小值为-,无极大值.(3)解法一:当x>1时, f(x)=<0;当x<1时, f(x)=>0.若a≤1,由(2)可知f(x)的最小值为f(2), f(x)的最大值为f(a),所以“对任意x1,x2∈[a,+∞),有f(x1)-f(x2)≥-成立”等价于f(2)-f(a)≥-,即--≥-,解得a≥1,∴a=1.若a>1,求出a的值显然大于1.所以a的最小值为1.解法二:当x>1时, f(x)=<0;当x<1时, f(x)=>0.由(2)可知, f(x)的最小值为f(2)=-,若a<1,令x1=2,x2∈[a,1),则x1,x2∈[a,+∞).而f(x1)-f(x2)<f(x1)-0=f(x1)=f(2)=-,不符合要求,所以a≥1.当a=1时,∀x1,x2∈[1,+∞), f(x1)≤0, f(x2)≤0.所以f(x1)-f(x2)≥f(x1)-0≥f(2)=-,即a=1满足要求.综上,a的最小值为1.12.解析(1)由已知得f '(x)=e x-a,若a≤0,则在区间(-∞,+∞)上, f '(x)>0, f(x)单调递增.所以当a≤0时, f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),没有极值点.若a>0,令f '(x)=0,得e x=a,解得x=ln a,所以在区间(-∞,ln a)上f '(x)<0, f(x)单调递减,在区间(ln a,+∞)上f '(x)>0, f(x)单调递增.所以当a>0时, f(x)的单调递减区间为(-∞,ln a), f(x)的单调递增区间为(ln a,+∞),当x=ln a时,函数f(x)有极小值2a-aln a.(2)当a≤0时,由(1)可知, f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,因为f(0)=1+a, f(1)=e>0,令f(0)=1+a<0,得a<-1,所以当a<-1时, f(x)在区间(0,2]上存在唯一零点.当a>0时,由(1)可知,x=ln a为函数f(x)的最小值点,因为f(0)=1+a>0,若函数f(x)在区间(0,2]上存在唯一零点,则只能:①或②由①得a=e2,由②得a>e2.综上所述,若函数f(x)在区间(0,2]上存在唯一零点,则a<-1或a≥e2.。