随机事件和概率 第一节 基本概念1、排列组合初步 （1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。

)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。

(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。

(4)一些常见排列① 特殊排列 相邻 彼此隔开顺序一定和不可分辨② 重复排列和非重复排列（有序） ③ 对立事件 ④ 顺序问题2、随机试验、随机事件及其运算 （1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

（2）事件的关系与运算 ①关系：如果事件A 的组成部分也是事件B 的组成部分，（A 发生必有事件B 发生）：B A ⊂如果同时有B A ⊂，A B ⊃，则称事件A 与事件B 等价，或称A 等于B ：A=B 。

A 、B 中至少有一个发生的事件：A B ，或者A +B 。

属于A 而不属于B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B ，也可表示为A-AB 或者B A ，它表示A 发生而B 不发生的事件。

A 、B 同时发生：A B ，或者AB 。

A B=Ø，则表示A 与B 不可能同时发生，称事件A 与事件B 互不相容或者互斥。

基本事件是互不相容的。

Ω-A 称为事件A 的逆事件，或称A 的对立事件，记为A 。

它表示A 不发生的事件。

互斥未必对立。

②运算：结合率：A(BC)=(AB)C A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C分配率：(AB)∪C=(A ∪C)∩(B ∪C) (A ∪B)∩C=(AC)∪(BC)德摩根率：∞=∞==11i ii i AAB A B A =，B A B A =3、概率的定义和性质 （1）概率的公理化定义 设Ω为样本空间，A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =13° 对于两两互不相容的事件1A ，2A ，…有∑∞=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11)(i i i i A P A P常称为可列（完全）可加性。

则称P(A)为事件A 的概率。

（2）古典概型（等可能概型）1° {}n ωωω 21,=Ω，2° nP P P n 1)()()(21===ωωω 。

设任一事件A ，它是由m ωωω 21,组成的，则有P(A)={})()()(21m ωωω =)()()(21m P P P ωωω+++n m =基本事件总数所包含的基本事件数A = 4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯） （1）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B) （2）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)当B ⊂A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时，P(B )=1- P(B) （3）条件概率和乘法公式定义 设A 、B 是两个事件，且P(A)>0，则称)()(A P AB P 为事件A 发生条件下，事件B发生的条件概率，记为=)/(A B P )()(A P AB P 。

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P(Ω/B)=1⇒P(B /A)=1-P(B/A) 乘法公式：)/()()(A B P A P AB P =更一般地，对事件A 1，A 2，…A n ，若P(A 1A 2…A n-1)>0，则有21(A A P …)n A )|()|()(213121A A A P A A P A P =……21|(A A A P n …)1-n A 。

（4）全概公式 设事件n B B B ,,,21 满足1°n B B B ,,,21 两两互不相容，),,2,1(0)(n i B P i =>，2°ni iB A 1=⊂，则有)|()()|()()|()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++= 。

此公式即为全概率公式。

（5）贝叶斯公式设事件1B ，2B ，…，n B 及A 满足1° 1B ，2B ，…，n B 两两互不相容，)(Bi P >0，=i 1，2，…，n ，2° ni iB A 1=⊂，0)(>A P ，则∑==nj jji i i B A P B P B A P B P A B P 1)/()()/()()/(，i=1，2，…n 。

此公式即为贝叶斯公式。

)(i B P ，（1=i ，2，…，n ），通常叫先验概率。

)/(A B P i ，（1=i ，2，…，n ），通常称为后验概率。

如果我们把A 当作观察的“结果”，而1B ，2B ，…，n B 理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

5、事件的独立性和伯努利试验 （1）两个事件的独立性 设事件A 、B 满足)()()(B P A P AB P =，则称事件A 、B 是相互独立的（这个性质不是想当然成立的）。

若事件A 、B 相互独立，且0)(>A P ，则有)()()()()()()|(B P A P B P A P A P AB P A B P ===所以这与我们所理解的独立性是一致的。

若事件A 、B 相互独立，则可得到A 与B 、A 与B 、A 与B 也都相互独立。

（证明）由定义，我们可知必然事件Ω和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。

（证明） 同时，Ø与任何事件都互斥。

（2）多个事件的独立性设ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A 、B 、C 相互独立。

对于n 个事件类似。

两两互斥→互相互斥。

两两独立→互相独立？ （3）伯努利试验定义 我们作了n 次试验，且满足 ◆ 每次试验只有两种可能结果，A 发生或A 不发生；◆ n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样；◆每次试验是独立的，即每次试验A 发生与否与其他次试验A 发生与否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。

用p 表示每次试验A 发生的概率，则A 发生的概率为q p =-1，用)(k P n 表示n重伯努利试验中A 出现)0(n k k ≤≤次的概率，kn k kn n q p k P C -=)(，n k ,,2,1,0 =。

随机变量及其分布 第一节 基本概念在许多试验中，观察的对象常常是一个随同取值的量。

例如掷一颗骰子出现的点数，它本身就是一个数值，因此P(A)这个函数可以看作是普通函数（定义域和值域都是数字，数字到数字）。

但是观察硬币出现正面还是反面，就不能简单理解为普通函数。

但我们可以通过下面的方法使它与数值联系起来。

当出现正面时，规定其对应数为“1”；而出现反面时，规定其对应数为“0”。

于是==)(ωX X ⎩⎨⎧，当反面出现，当正面出现01称X为随机变量。

又由于X是随着试验结果（基本事件ω）不同而变化的，所以X实际上是基本事件ω的函数，即X=X(ω)。

同时事件A 包含了一定量的ω（例如古典概型中A 包含了ω1，ω2，…ωm ，共m 个基本事件），于是P(A)可以由P(X(ω))来计算，这是一个普通函数。

定义 设试验的样本空间为Ω，如果对Ω中每个事件ω都有唯一的实数值X=X(ω)与之对应，则称X=X(ω)为随机变量，简记为X 。

有了随机变量，就可以通过它来描述随机试验中的各种事件，能全面反映试验的情况。

这就使得我们对随机现象的研究，从前一章事件与事件的概率的研究，扩大到对随机变量的研究，这样数学分析的方法也可用来研究随机现象了。

一个随机变量所可能取到的值只有有限个（如掷骰子出现的点数）或可列无穷多个（如电话交换台接到的呼唤次数），则称为离散型随机变量。

像弹着点到目标的距离这样的随机变量，它的取值连续地充满了一个区间，这称为连续型随机变量。

1、随机变量的分布函数 （1）离散型随机变量的分布率设离散型随机变量X 的可能取值为X k (k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=X k )的概率为P(X=x k )=p k ，k=1,2,…，则称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律。

有时也用分布列的形式给出：,,,,,,,,|)(2121k k k p p p x x x x X P X =。

显然分布律应满足下列条件： （1）0≥k p ， ,2,1=k ，（2）∑∞==11k k p 。

（2）分布函数对于非离散型随机变量，通常有0)(==x X P ，不可能用分布率表达。

例如日光灯管的寿命X ，0)(0==x X P 。

所以我们考虑用X落在某个区间],(b a 内的概率表示。

定义 设X 为随机变量，x 是任意实数，则函数)()(x X P x F ≤=称为随机变量X 的分布函数。

)()()(a F b F b X a P -=≤< 可以得到X 落入区间],(b a 的概率。

也就是说，分布函数完整地描述了随机变量X 随机取值的统计规律性。

分布函数)(x F 是一个普通的函数，它表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。

)(x F 的图形是阶梯图形， ,,21x x 是第一类间断点，随机变量X在k x 处的概率就是)(x F 在k x 处的跃度。

分布函数具有如下性质： 1° ,1)(0≤≤x F +∞<<∞-x ；2° )(x F 是单调不减的函数，即21x x <时，有 ≤)(1x F )(2x F ；3° 0)(lim )(==-∞-∞→x F F x ， 1)(lim )(==+∞+∞→x F F x ；4° )()0(x F x F =+，即)(x F 是右连续的；5° )0()()(--==x F x F x X P 。

（3）连续型随机变量的密度函数 定义 设)(x F 是随机变量X的分布函数，若存在非负函数)(x f ，对任意实数x ，有⎰∞-=xdxx f x F )()(，则称X为连续型随机变量。