数列一、数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，…②：514131211，，，，…（3）数列的函数特征与图象表示： 4 5 6 7 8 9序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。

例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,…（5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥例：已知数列}{n a 的前n 项和322+=n s n ，求数列}{n a 的通项公式二、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。

例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a题型二、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。

例：1.已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，==+等于（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．642.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670题型三、等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。

其中2a bA +=a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=即：212+++=n n n a a a （m n m n n a a a +-+=2）例：1．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= （ ）A ．120B ．105C ．90D ．752.设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ） A ．1 B.2 C.4 D.8 题型四、等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； 题型五、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+n da ）（2n 2112-+=。

(),(2为常数B A BnAn S n +=⇒{}n a 是等差数列 )递推公式：2)(2)()1(1na a n a a S m n m n n --+=+= 例：1.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( )A ．13B ．35C ．49D ． 63 3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++=4.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）A.13项B.12项C.11项D.10项5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则95S S = 6.已知{}n a 数列是等差数列，1010=a ，其前10项的和7010=S ，则其公差d 等于( )3132--．．B A C.31 D.327．设｛a n ｝为等差数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列｛nS n｝的前n 项和，求T n 。

题型六.对与一个等差数列，n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。

例：1.等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）A.130B.170C.210D.2602.一个等差数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为。

3.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，971043014S S S S ，则，=-== 4．（06全国II ）设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若36S S ＝13，则612SS ＝ A ．310B ．13C ．18D ．19题型七．判断或证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1⇒{}n a 是等差数列②中项法：)221*++∈+=N n a a a n n n （⇒{}n a 是等差数列③通项公式法：),(为常数b k bkn a n +=⇒{}n a 是等差数列④前n 项和公式法：),(2为常数B A BnAn S n +=⇒{}n a 是等差数列例：1.已知一个数列}{n a 的前n 项和422+=n s n ，则数列}{n a 为（ ）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.已知一个数列}{n a 的前n 项和22n s n =，则数列}{n a 为（ ）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.数列{}n a 满足1a =8，022124=+-=++n n n a a a a ，且 （*∈N n ）①求数列{}n a 的通项公式； 题型八.数列最值（1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；（2）n S 最值的求法：①若已知n S ，n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②或者求出{}n a 中的正、负分界项，即： 若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥⎧⎨≤⎩或10n n a a +≤⎧⎨≥⎩。

例：1．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前项的和最大。

2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知 001213123<>=S S a ，，①求出公差d 的范围，②指出1221S S S ，，， 中哪一个值最大，并说明理由。

3.已知}{n a 是等差数列，其中131a =，公差8d =-。

（1）数列}{n a 从哪一项开始小于0？（2）求数列}{n a 前n 项和的最大值，并求出对应n 的值．题型九.利用11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求通项．1．已知数列{}n a 的前n 项和，142+-=n n S n 则2.设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，求数列}{n a 的通项公式；3.已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(21-++=n n a n S ①求证：数列{}n a 是等差数列 ②求数列{}n a 的通项公式4.设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（ ）（A ） 15 (B) 16 (C) 49 （D ）64等比数列等比数列定义：…… 一、递推关系与通项公式mn m n n n n n q a a q a a a a --+⋅=⋅==推广：通项公式：递推关系：111q 1． 在等比数列{}n a 中,2,41==q a ，则=n a 2．在等比数列{}n a 中，22-=a ，545=a ，则8a =3.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项13a =，前三项和为21，则345a a a ++=（ ）A 33B 72C 84D 189二、等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为c a 与的等比中项，且为ac b ac b =±=2，注：是成等比数列的必要而不充分条件.例：1.2+2-( )()1A ()1B -()1C ±()2D三、等比数列的基本性质，1.（1）q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若),,,(*∈N q p n m 其中（2）)(2*+--∈⋅==N n a a a a a qm n m n n mn mn ， （3）{}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. （4）{}n a 既是等差数列又是等比数列⇔{}n a 是各项不为零的常数列.例：1．在等比数列{}n a 中,1a 和10a 是方程22510x x ++=的两个根,则47a a ⋅=( )5()2A-()2B 1()2C -1()2D2.在等比数列{}n a 中，143613233+>==+n n a a a a a a ，， ①求n a②若n n n T a a a T 求,lg lg lg 21+++=3.等比数列{}n a 的各项为正数，且5647313231018,log log log a a a a a a a +=+++=则（ ）A ．12B ．10C ．8D ．2+3log 5四、等比数列的前n 项和，)1(11)1()1(111≠⎪⎩⎪⎨⎧--=--==q q qa a qq a q na S n nn例：1.已知等比数列}{n a 的首相51=a ，公比2=q ，则其前n 项和=n S2.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已,62=a 30631=+a a ，求n a 和n S 3．设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于（ ）A ．2(81)7n- B ．12(81)7n +-C ．32(81)7n +-D ．42(81)7n +- 五.等比数列的前n 项和的性质若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列. 例：1.一个等比数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为（ ）A ．83B ．108C ．75D ．632.已知数列{}n a 是等比数列，且===m m m S S S 323010，则， 六.等比数列的判定法（1）定义法：⇒=+（常数）q a a nn 1{}n a 为等比数列； （2）中项法：⇒≠⋅=++)0(221n n n n a a a a {}n a 为等比数列；（3）通项公式法：⇒⋅=为常数）q k q k a nn ,({}n a 为等比数列； （4）前n 项和法：⇒-=为常数）（q k q k S nn ,)1({}n a 为等比数列。