2019届高三数学上学期期中试题文一、选择题（共60分，每小题5分，每个小题有且仅有一个正确的答案） 1. 集合2{230}M x x x =--≥，{13}N x x =≤≤，则R C M N = ( )A. {10}x x -<≤B. {03}x x <<C. {13}x x ≤<D. {03}x x <≤2. 复数5112i z i=--+（其中i 为虚数单位）在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知命题:p x R ∀∈,都有210x x ++>，命题:q x R ∃∈,使得sin cos 2x x +=，则下列命题中是真命题的是 （ ） A. p 且qB. p 或qC. p ⌝或qD. p ⌝且q ⌝4. 已知2tan =θ，则=+θθθ2cos cos sin ( )A ．51 B ．52 C. 53D ．555. 设1312a ⎛⎫=⎪⎝⎭,1213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1ln 3c =，则 ( ) A. c a b << B. b a c << C. a b c << D. c b a <<6. 如图所示，已知BC 3AC =，OA a =，OB b =，OC c =，则下列等式中成立的是（ ）A. 3122c b a =- B ．2c b a =- C ．2c a b =- D ．3122c a b =-7. 有3个不同的社团，甲、乙两名同学各自参加其中1个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为（ ） A ．13 B ．12 C ．23 D ．348. 设n S 为等比数列{n a }的前n 项和，47270a a +=，则42S S ＝（ ） A ．10 B ．9 C ．－8 D ．－5 9. 曲线()2xf x x e =-在点(0,(0))f 处的切线方程是（ ）A ．210x y --=B ．10x y -+=C ．0x y -=D ．10x y --= 10. 正方体1111D C B A ABCD -中，已知点E 、F 分别为棱AB 与BC 的中点，则直线EF 与 直线1BC 所成的角为（ ）A ．30° B．45° C．60° D．90°11. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线上一点()2,M m 满足6MF =，则抛物线C 的方程为（ ）A ．22y x = B ． 24y x = C. 28y x = D ．216y x =12. 函数()sin()f x A x ωϕ=+(,,A ωϕ是常数，0,0,2A πωϕ>>≤)的部分图像如图所示，若方程()f x a =在[,]42ππ-上有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,22 B.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,22—C. ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡226，—D. ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡226，二、填空题（共20分，每小题5分）13. 已知向量)3,2(=a，)2,1(-=b ，若 b n a m + 与 ba 2-共线，则n m等于___________. 14. 已知函数223,(2)()1,(2)x x x f x x x ⎧--≤=⎨-+>⎩，若()()g x f x b =-恰有一个零点，则实数b 的取值范围是________.15. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积3S c =，则ab 的最小值为____________．16. 设函数x x x f sin 1)(-=在0x x =处取极值，则)2cos 1)(1020x x ++（=____________.三、解答题（共70分）（17-21为必做题，22、23为选做题）17. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足25a =，613a =.（1）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）令1n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和. 18. （本小题满分12分）已知函数()2sin [cos()cos ]3f x x x x π=⋅-+,[0,]2x π∈， （1）求()6f π； （2）求()f x 的最大值与最小值.19. （本小题满分12分）如今，中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某淘宝电商分析近8年“双十一”期间的宣传费用x （单位：万元）和利润y （单位：十万元）之间的关系，得到下列数据：（1）请用相关系数r 说明y 与x 之间是否存在线性相关关系（当0.81r >时，说明y 与x 之间具有线性相关关系）；（2）根据（1）的判断结果，建立y 与x 之间的回归方程，并预测当24x =时，对应的利润ˆy为多少（ˆˆˆ,,b a y 精确到0.1）. 附参考公式：回归方程中ˆˆˆy bx a =+中ˆb 和ˆa 最小二乘估计分别为1221ˆni ii nii x ynx y b xnx ==-=-∑∑,ˆˆay bx=-，相关系数()()12211ni i i n ni ii i x ynx yr x x yy ===-=--∑∑∑参考数据：()()88882221111241,356,8.25,6i i ii i i i i i x y x x x y y ======-≈-=∑∑∑∑．20.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P -ABC 中，x2 3 4 568911y1 2 3 3 4 5 6 8======为AC的中点.4,AB BC PA PB PC AC O（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离.21. （本小题满分12分）已知函数2()2ln f x x x =-+. （1）求函数()f x 的最大值； （2）若函数()f x 与()ag x x x=+有相同的极值点 ① 求实数a 的值； ② 若对121,[,3]x x e∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立，求实数a 的取值范围.选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）若1a =-，求C 与l 交点的直角坐标； （2）若C 上的点到l 求a .23. [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数()12f x x x =+--. （1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）若不等式2()f x x x m ≥-+的解集非空，求实数m 的取值范围.高xx 第五期半期考试数学（文）答案一、选择题1-6：C C B C D A 7-12：A A D C D B 二、填空题 13. 21-14. )1[)4,(∞+---∞， 15. 48 16. 2 三、解答题 17. 解：（1）由 115513a d a d +=⎧⎨+=⎩得：13,2a d ==所以21n a n =+， 21()22n n n a a S n n +==+ 11111()(2)22n n b S n n n n ===-++ 记{}n b 的前n 项和为n T ，则1111111111(1)232435112n T n n n n =-+-+-++-+--++ 1111(1)2212n n =+--++31142224n n =--++18. 解：（1）,23)6cos(=-π，1sin 62π= 所以,3)2323(212)6(=+⨯=πf （2）()2sin cos cos 3f x x x x π⎡⎤⎛⎫=⋅-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦12sincos cos 2x x x x ⎡⎤⎛⎫=⋅+⎢⎥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦)3sin 21cos22x x =-26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 因为02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以52666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，.又因为sin y z =在区间62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是递增，在区间526ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上递减.所以，当262x ππ-=，即3x π=时，()f x ； 当266x ππ-=-，即0x =时，()fx 有最小值0.19.解：（1）由题意得6,4x y ==． ··························· 2分又88211241,6i i ii i x y x ====≈=∑∑，所以()()8188221182418640.990.818.256i i i i i i i x yx yr x x y y ===--⨯⨯=≈≈>⨯--∑∑∑， ············ 5分所以y 与x 之间具有线性相关关系. ··························· 6分因为81822218241864ˆ0.7356868i ii ii x yx ybxx ==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑， ····················· 8分 （2）因为ˆˆ40.760.2ay bx =-≈-⨯=-， ······················ 10分 所以回归直线方程为ˆ0.70.2yx =-， 当24x =时，ˆ0.70.20.7240.216.6yx =-=⨯-=，即利润约为166万元. （12分） 20. 解：（1）因为4,O PA PC AC ===为AC 的中点，所以PO AC ⊥，且23OP =．连结OB ，因为22AB BC AC ==，所以ABC ∆为等腰直角三角形，且1,22OB AC OB AC ⊥==，由222OP OB PB +=知，OP OB ⊥，由,OP OB OP AC ⊥⊥，知OP ⊥平面ABC ； （2）作CH OM ⊥，垂足为H ，又由（1）可得OP CH ⊥，所以CH ⊥平面POM ， 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离． 由题设可知012422,,4523OC AC CM BC ACB ====∠=， 所以25sin 45,OC MC ACB OM CH OM ∠===．所以点C 到平面POM 的距离为455．21.解：（1）由已知可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞. 2'222()2x f x x x x-=-=，令'()0f x >，即2220x x->，解得01x <<；令'()0f x <，得1x >。