F
A →B x
GbAbB x( x 2 − y 2 ) = (τ xy ) A bB = 2 π(1 −ν ) ( x 2 + y 2 ) 2
在y方向受力是使B位错攀移的力，能使B位错攀移的正应力 是(σxx)A，故B位错在y方向受力为 GbAbB y (3 x 2 + y 2 ) A →B
Fy = 2 π(1 −ν ) ( x 2 + y 2 ) 2
位错靠近自由表面，它的一部分应变能会被松弛掉，越靠近 表面，松弛的能量越多。为了降低能量，位错就有逸出表面的 倾向，即自由表面对位错有一吸力。 一个平行于表面距表面为L的直螺型位错，其单位长度的弹 性应变能变为： Gb 2 L ln Eel = 4π r0 单位长度位错所受自由 表面的吸引力Fim ：
ζ [ zi : t∂ ]
7
错排能随在点阵中位置的变化：
Gb 4 πζ E = [1 + 2 cos 4 πα exp(− )] b 4π(1 −ν )
2 m
α=0∼1
位错能近似值
与点阵位置相关部分
位错移动要从能谷越过能峰，谷、峰的差值就是单 位长度位错滑动的激活能（有时也称为P-N能）,也 就是余弦项振幅的二倍，去掉上式的第一项，得单 位长度位错滑移激活能为：
6
6.2.8.2 位错滑动
P-N点阵模型（R. Peierls, F.R.N. Nabarro）
完整晶体沿滑移面剖开再作相对位移b/2。然后令A面上各原 子沿x轴位移u(x)， B面上各原子沿x轴反向位移-u(x)。
P
根据P-N模型计算出滑动面两侧相对位移u的表达式:
b 2 x(1 −ν ) b x a u= − arctan = − arctan ζ= , 定义为位错的半宽度 2(1 − ν ) 2π2π ζ a
15
考察2个位错叠加前后的能量是增加还是减小，如 果能量增加，这2个位错是相斥的，反之是相吸的。
弗兰克能量判据
柏氏矢量守恒：bA和bB两个位错，合成后的位错的柏 氏矢量b = bA+bB。 能量判距： 相吸： bA2+ bB2 >b2； 相斥： bA2+ bB2 <b2； 几何上来看，若bA与bB 交角是锐角 ，则两位 错相斥；若bA与bB交角 是钝角 ，两位错相吸。
刃型位错：C1C2、 A1A2 、 A’1A’2、D1D2 螺型位错：B1B2 割阶： C1C2、A’1A’2 弯结： B1B2、A1A2 未知： D1D2 、滑移面未定
割阶都是刃型位错， 刃型位错不一定都 是割阶。
23
位错产生割阶，会增加位错的能量。位错运动和其他位错相
交割产生割阶要额外作功，使位错运动的阻力增大。 带割阶的螺型位错在滑 移面作滑动保守运动时， 割阶则作攀移（非保守） 运动，整个位错滑动后 会使割阶后面产生一系 列空位或间隙原子。 攀移速度很慢，所 以这根位错的滑移速度 由割阶攀移速度所控制。 整根位错运动包括割阶 的攀移，所以对形变阻 力有贡献。
这个力可以分解为x方向的力（Fx）和y方向的力（Fy）：
FxA →B = FrA →B cosθ = GbAbB x 2π x 2 + y 2
注意：螺位错的滑移面是任意的，所有方向的受力 都是作用
B位错在x方向受力是B位错在滑移面 上的受力。 A 位错在 B 位错滑移面上 滑移方向的分切应力为(τxy)A，故B位 错在x方向受力为：
位错错排能随位错核心位置呈周 期性的变化，使位错倾向于位于 滑移面上P-N能谷位置。热激活 使位错在某些地方翻越P-N势能 而出现弯结。 在弯结处位错从一个能量值 位置延伸到相邻的极小值位置。 弯结的形状和长度m取决于EP。 • 一方面，位错力图尽可能多 地位于 P-N 势能的极小值位 置，使m=0； • 另一方面，位错也尽可能地 缩短长度来降低能量，得出 m>>a的直线。
一些金属的理论强度与实验强度的比较
晶体
Ag Al Cu Ni Fe Mo Nb Cd Mg （柱面滑移） Ti （柱面滑移） Be （基面滑移） Be （柱面滑移）
理论强度 （G/30）GPa
2.64 2.37 4.10 6.70 7.10 11.33 3.48 2.07 1.47 3.54 10.32 10.32
16
1, 平行螺型位错之间的交互作用
SA 和 SB2 个平行 z 轴的右螺位错， 柏氏矢量分别为bA和bB。 A位错的应力：τθz =GbA/2πr，是 唯一的分量，故A位错对 B位错 的作用力为：
(x, y)
F
A→ B r
GbA bB = (τ θz ) A bB = 2πr
FyA →B = FrA →B sin θ = GbAbB y 2π x 2 + y 2
aN sU1 b2
实际内力不是 正弦关系，而 且峰值更低。
4
U1的值就是:
bG U1 = a 2 Ns 4π
2
2π2 Nπ sU1 = τ max = b
Ns b G = 2 b 4π a2πN s
2
bG a
因为a ≈ b，所以理论强度近似为G/2π。因为原子间 的斥力的短程性，能量曲线不是正弦形的，所以上 面的估计是过高的，τmax的更合理值约为G/30。理论 切变强度和切变模量相差约1个数量级。但是，实验 测定的切变强度比理论切变强度低2~4个数量级。 1934年，G.L. Taylor, M. Polanyi, E. Orowan 提出 晶体中的位错模型。1956年，Menter在电子显微镜 5 下观察到了铂钛花青晶体中的位错。
第6章 有序介质中 的点缺陷和线缺陷
（第三部分线缺陷）
1
6.2.8 位错运动
晶体塑性变形机制是晶体的某些晶面相 对切动产生永久变形。 这一过 程的宏 观描述
这一过程 的原子尺 度的描述
2
6.2.8.1 理论切变强度
设切动面每个原子的原子间势函 数U(x)近似地用余弦函数表示
2 πx U ( x) = U 0 + U1 cos b
12
6.2.8.4 位错运动与宏观应变的关系
考 虑 一 体 积 为 hld 的晶体，设它仅含 平行的直刃位错， 在外加分切应力下， 位错将滑动而产生 永久变形D。 当一根位错完全扫过滑移面（即 扫过了d距离），则对D贡献为b。 b D= 若走过距离 xi的 i 位错对 D 的贡献 d 应是 (xi/d)b 。若运动位错的数目 是N，则总位移是：
2G 4 πζ 2G 2 πa τP = exp(− )= exp[− ] b b(1 −ν ) (1 −ν ) (1 −ν )
• a ≈ b，设ν = 1/3，τP ≈ 10-4G。这一简单的模型 成功地预测了实际切变强度的数量级。 • EP和τP都和exp(−a/b)成正比，因而若位错处在 低指数面，位错的柏氏矢量是密排方向时，b 9 减小，位错运动要克服的τP最小。
原子间的势函数
原子间的恢复力
3
产生位移所需的切应力τ(x) 表达为:
dU 2π N sU1 2π x τ ( x) = −Ns = sin dx b b
Ns切动面上单位面积上的原子数
在弹性变形范围，应力和 应变服从胡克定律：
τ = Gγ
剪切模量G
γ = x/a
2
G
dτ π a 2π4 N π sU1 2 = = lim γ → 0 dγ b b
• 弹性交互作用—位错与位错、位错与空位、位 错与溶质原子、位错与表面及面缺陷交互作用； • 化学交互作用—位错与溶质位错之间交互作用； • 电交互作用—位错与溶质位错之间交互作用。
6.2.9.1 位错与位错之间的交互作用
两个位错间的交互作用力 ① 两个位错之间的交互作用能随两个位错间距的变化率。 ② 按位错在应力场受力的公式，一个位错的应力场对另 一个位错的作用力。
讨论对B位错滑动的影响： 滑移面平行于xz面，B位错滑动时y坐标是不变的。为了讨论方 便，用n=x/y (=ctgθ)代入Fx式，得
GbAbB n(n 2 − 1) Fx = 2π (1 −ν ) y (n 2 + 1) 2
18
同号相斥
准稳定位置 稳定位置
y x<y x>y
45º
x
异号相吸
令dFx/dn = 0, 得： •n=±2.414（即θ=3π/8）是相斥极大值位置。 •n=±0.414（即θ=π/8）是相吸的极大值位置。 •对应的Fx的最大值为：±0.25Gb2/2πy(1−ν)
4 πζ Gb 2 exp(− ) EP = b π(1 −ν )
8
位错攀越P-N能垒要克服的阻力FP等于[dEm/d(αb)] 的最大值 ：
2 πa 4 πζ 2Gb 2Gb ] FP = exp[− exp(− )= b b(1 −ν ) (1 −ν ) (1 −ν )
与上式相应的切应力τP=FP/b，即:
∑x
i =1
N
i
13
• 宏观塑性切应变γp = D/h， • 可动位错密度 ρm = Nl/（hld）， 得出塑性切应变的等式 ：
γ p = bρ m x
位错移动的 平均距离：
x=
∑x
i =1
N
i
N
应变速率与位错 移动速度的关系：
γp = bρ m v
14
6.2.9 位错与位错以及位错与其它 缺陷之间的交互作用
∂Ecl Gb 2 Fim = = ∂ L 4 πL
这个力相当于在自由表面外侧与位错成镜面对称位置的一个 反号位错对真实位错的作用力，故称映像力。用映像位错的 方法来求自由表面对位错的作用力。
21
6.2.9.3 位错之间的短程交互作用
两个非平行位错在外力作用下靠近时在靠近点附 近有交互作用，交互作用范围取决于两个位错交角 θ 和两个位错间距离 r 的大小 ，作用在长度约为 πrcosθ的位错段上。需要有附加额外的力才能使两 个位错交割，交割后位错有可能留下割阶，割阶对 位错的继续运动会产生阻力。 位错交割