2011-2017新课标《坐标系与参数方程》分类汇编1. 【2011年新课标】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足OP→ =2OM→ ，P 点的轨迹为曲线C 2.（1）求C 2的方程；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |. 【答案】（1）设P (x , y )，则由条件知(,)22x y M . 由于M 点在C 1上，所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩，从而C 2的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）.（2）曲线C 1的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线C 2的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线3πθ=与C 1的交点A 的极径为14sin3πρ=，射线3πθ=与C 2的交点B 的极径为28sin 3πρ=.所以21||||AB ρρ-==2. 【2012年新课标】已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围. 【答案】（1）依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ.所以点A ，B ，C ，D的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-. （2） 设()2cos ,3sin P ϕϕ，则222222||||||||(12cos )3sin )PA PB PC PD ϕϕ+++=-+222222(2cos )(13sin )(12cos )(3sin )2cos )(13sin )ϕϕϕϕϕϕ++-+--+++--[]22216cos 36sin 163220sin 32,52ϕϕϕ=++=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52.3.【2013年新课标1】已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π＝ 【答案】(1)将45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.4.【2013年新课标2】已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π＝，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 【答案】(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)， 因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为cos cos 2,sin sin 2,x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d =＜α＜2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．5.【2014年新课标2】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标。

【答案】（1）C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤可得C 的参数方程为1cos sin x ty t =+⎧⎨=⎩（t 为参数，0t π≤≤）（2）设(1cos ,sin )D t t +由（Ⅰ）知C 是以(1,0)G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同。

tan 3t t π==故D 的直角坐标为(1cos,sin )33ππ+，即3(26.【2015年新课标1】在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求12,C C 的极坐标方程。

（2）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积。

【答案】（1）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.（2）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得12ρρ==.故12ρρ-MN =由于2C 的半径为1，所以2C MN ∆的面积为127. 【2015年新课标2】在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ== （1）求2C 与3C 交点的直角坐标；（2）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值 【答案】（1）曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ== 的直角坐标方程是.032:;0:222221=-+=-+x y x C y y x C⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∴====.23230,0,.23,23.0,021），、（）交点的直角坐标为（联立解得C C y x y x （2）曲线.001），，（的极坐标方程为παρραρ<≤≠∈=R C .465.)3sin(4cos 32sin 2,,cos 32,,sin 2取得最大值，最大值为时，当所以）的极坐标为（点）的极坐标为（因此点AB AB B A παπααααααα=∴-=-=8.【2016年新课标1】在直线坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧+==t a y ta x sin 1cos （t 为参数，a ＞0）。

在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ.（1）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（2）直线C 3的极坐标方程为a 0=θ，其中a 0满足tan=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a 。

【答案】 （1） （均为参数） ∴ ①∴为以为圆心，为半径的圆．方程为 ∵∴ 即为的极坐标方程 （2） 两边同乘得即 ②cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩t ()2221x y a +-=1C ()01，a 222210x y y a +-+-=222sin x y y ρρθ+==，222sin 10a ρρθ-+-=1C 24cos C ρθ=：ρ22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，224x y x ∴+=()2224x y -+=：化为普通方程为由题意：和的公共方程所在直线即为①—②得：，即为 ∴ ∴9.【2016年新课标2】在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=． （1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （2）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B两点，AB =求l 的斜率． 【答案】（1）整理圆的方程得，由可知圆的极坐标方程为． （2）记直线的斜率为，则直线的方程为，， 即，整理得，则10.【2016年新课标3】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 x =q y =sin q ìíïîï为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2（1）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标. 解:（1）C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0 （2）由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)，∵C 2是直线，∴|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值， d (a )＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin(α＋π3)－2当且仅当α＝2kπ＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2， 此时P 的直角坐标为(32，12)3C 2y x =1C 2C 3C 24210x y a -+-=3C 210a -=1a =2212110x y +++=222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩C 212cos 110ρρθ++=k 0kx y -==22369014k k =+253k =k =【2017新课标1】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）。

（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la 。