m1
3
Gm r2 r2 2 3 (m1 m2 ) r2
m2
• P2相对于P1的运动方程：原点取在 P1时
G (m1 m2 ) r r 3 r
O m1
11
r
m2
天体力学基础
质心惯性坐标系下
m1r1 m2r2 r r2 r1 m1 m1 m1 3 r r1 r1 ( 1)r1 r ( 1)r13 m2 m2 m2 Gm2 Gm2 m1 Gm23 r1 r1 3 r ( 1)r1 r1 2 3 m1 r ( m m ) r1 3 m2 1 2 ( 1)r1 m2 Gm13 r2 r2 (m1 m2 ) 2 r23
小结
r (r r) r h 0 1、二体问题是一个平面运动： rr h 2、二体问题运动动量矩守恒 3、二体问题运动轨道是圆锥曲线
4、二体问题遵循能量守恒 5、积分常数的物理意义： h（A，B，C）、a、e、i、W和w
2 1 v ( ) r a
2
22
天体力学基础
15 天体力学基础
面积积分：动量矩守恒

r r h 定义了二体问题中的不变平面 r (r r) r h 0
•
h h
是轨道相对运动的角动量
• h 定义了二体 问题的轨道平面， 确定了轨道的升 交点N，升交点 角距W，轨道倾 角i
16 天体力学基础
面积积分：动量矩守恒
ˆ h Aˆ i Bˆ j Ck
m1
12
m2
天体力学基础
Gm1m2 m1r1 r 3 r
P2相对于P1的运动方程：
r
Gm1m2 m2r2 r 3 r
m2
Gm2 Gm2 r1 3 r r2 3 r r r G ( m1 m2 ) r2 r1 r r 3 r
O m1
因此二体问题的运动方程形式可以统一表示成
作用范围

天体真实的运动，并不是严格的二体问题，因此，需要对 二体问题的适用范围给出一个大致的界限。假设小质点P 在两大质点P1 （M）和P2 （m）作用下运动，那么什么 情况下可以认为是P与P1的二体问题或者是P与P2的二体问 题呢？这里就用引力作用范围来划分。
天体力学基础
23
作用范围
1°引力作用范围: 范围边界上P受到P1 和P2 的引力大小相等
《天体力学基础》
1
天体力学基础
什么是天体力学?
• 天文学——天体测量学,天体力学和天体物理学
• 天体力学是研究天体的力学运动和形状的学科, 是天文学的一个二级学科。
2
天体力学基础
今天学习什么？



二体问题 轨道计算与轨道改进 N体问题 摄动理论 人造卫星轨道理论 数值方法 正则变换与中间轨道理论
2o抛物线轨道 a E 0
这时速度为0，没有剩余能量
动能等于势能，r可为∞
3o双曲线轨道 a 0 E 0 动能大于势能， 这时运动天体可以有足够的能量克服中心天体的引力束缚
18
天体力学基础
轨道计算初步
19
天体力学基础
轨道计算初步
20
天体力学基础
轨道计算初步
21
天体力学基础
6
天体力学基础
M、f、E的几何意义
7
天体力学基础
开普勒方程
E e sin E nt M 0 n(t t ) M
E，M，M0，τ的物理意义和关系 τ：过近星点时刻， 当t = t 时， E = 0，r=a(1-e) E：偏近点角 M：平近点角 M0：t =τ时的平近点角
8
天体力学基础
14
天体力学基础
二体问题运动经典积分
1.面积积分：动量矩守恒、角动量守恒
r r 3 r
两边叉乘r
r r r r ( 3 ) 0 r
rr h
（ 2）
h 是积分常数，数值上是一个单位质量的质点的动量矩，
（2）式即为动量矩守恒定律，际包含3个独立的积分常数
ˆ h Aˆ i Bˆ j Ck
人造卫星轨道理论



一 人造卫星在地球引力场中的运动 二 影响人造卫星运动的几个主要因素 三 人造卫星轨道的测量 四 人造卫星精密定轨 五 人造卫星的轨道预报 六 全球定位系统
简单基础知识

椭圆在极坐标中的表示
a(1 e2 ) r 1 e cos f

椭圆参数间的基本关系
a 2 b2 c 2
ec/a
简单基础知识

平面直角坐标系

极坐标系
6个轨道根数
轨道大小和形状参数： 半长径a、偏心率e 轨道位置参数： 轨道倾角i、
升交点经度W 、 近地（星）点幅角w 卫星位置参数： 过近星点时刻τ（平近点角M）
Gm GM 2 2 r R
天体力学基础
24
作用范围(三体问题中再详细讲解）
G (m3 m2 ) Δ r' r r Gm1 ( 3 3 ) 3 2°另一种作用范围 r r'
天体力学基础
25
作用范围

月球相对于地球引力范围的半径 4.3×104km 6.6×104km
天体力学基础
r
r r3
GM 3 Gm3 = G(M + m)、 、 2 (M + m) (M + m)2
13 天体力学基础
二体问题运动方程
பைடு நூலகம்
综上所述：二体问题 r 运动方程统一形式为 r 3
r
d 2r r 3 0 2 dt r
• 解二体问题就变为解上述 的运动方程：
积分 • 该方程有六个未知数（三个位置，三个速度）， 需要六个积分常数来解决。二体问题是最简单也 是唯一得到完全解的动力学系统 • 因此我们要寻找这六个积分常数：面积积分、拉 普拉斯积分、活力积分、开普勒方程
A h sin W sin i B h cos W sin i C h cos i
A tan W B tan i A2 B 2 C
h, A, B, C , W, i 都是积分常数，
但只有3个是独立的
17 天体力学基础
轨道类型和总能量
二体问题的解是圆锥曲线 轨道分类 e=0 二体问题总能量：由活力积分 0<e<1 1 2 m e=1 E mv m 2 r 2a e>1 1o椭圆轨道：a 0 E 0 动能小于势能 所以做椭圆运动的天体，受中心天体引力约束，不能运动到∞ 轨道特征 圆 椭圆 抛物线 双曲线
9
天体力学基础
二体问题运动方程

假设两天体P1和P2的质量是m1和m2，在惯性坐标系 下运动方程为
Gm1m2 F1 m1r1 r 3 r
Gm1m2 F2 m2r2 r 3 r
10
天体力学基础
二体问题运动方程

质心惯性坐标系下
m1r1 m2r2
r r2 r1
3 1
Gm2 r1 r1 2 3 (m1 m2 ) r1
26
作用范围
3 °希耳范围 希耳范围用于讨论天体的运动范围和稳定性。P 在P1(M)和P2(m)作用下，假如初始条件符合某种 要求，会在附近存在一个作用范围，当初始时刻P 在此范围内，则它永远不会逃离出此范围，这就 是希耳范围。希耳范围的半径
r3 A

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具体我们将在三体问题中讲述
天体力学基础 27
M、f、E的几何意义
r a (1 e cos E ) a(1- e 2 ) r = 1+ e cos f
cos f +e cos E = 1+e cos f
cos aOF =
OF+FS ae+ r cos f a a (1- e2 ) cos f cos f +e e+ 1+e cos f 1+e cos f cos E