数列知识点回顾第一部分：数列的基本概念 1．理解数列定义的四个要点⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现． ⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列．2．数列的通项公式一个数列{ a n }的第n 项a n 与项数n 之间的函数关系，如果用一个公式a n =)(n f 来表示，就把这个公式叫做数列{ a n }的通项公式。
若给出数列{ a n }的通项公式，则这个数列是已知的。
若数列{ a n }的前n 项和记为S n ，则S n 与a n 的关系是：a n =⎩⎨⎧≥-=-2.1,11n S S n S n n 。
第二部分：等差数列1．等差数列定义的几个特点：⑴公差是从第一项起，每一项减去它前一项的差(同一常数)，即d = a n －a 1-n (n ≥2)或d = a 1+n －a n (n ∈N +)．⑵要证明一个数列是等差数列，必须对任意n ∈N +，a n －a 1-n = d (n ≥2)或d = a 1+n －a n 都成立．一般采用的形式为：① 当n ≥2时，有a n －a 1-n = d (d 为常数)． ②当n +∈N 时，有a 1+n －a n = d (d 为常数)． ③当n ≥2时，有a 1+n －a n = a n －a 1-n 成立．若判断数列{ a n }不是等差数列，只需有a 3－a 2≠a 2－a 1即可． 2．等差中项若a 、A 、b 成等差数列，即A=2b a +，则A 是a 与b 的等差中项；若A=2ba +，则a 、A 、b 成等差数列，故A=2ba +是a 、A 、b 成等差数列，的充要条件。
由于a n =211-++n n a a ，所以，等差数列的每一项都是它前一项与后一项的等差中项。
3．等差数列的基本性质⑴公差为d 的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d ． ⑵公差为d 的等差数列，各项同乘以常数k 所得数列仍是等差数列，其公差为kd ． ⑶若{ a n }、{ b n }为等差数列，则{ a n ±b n }与{ka n ＋b}(k 、b 为非零常数)也是等差数列． ⑷对任何m 、n +∈N ，在等差数列{ a n }中有：a n = a m + (n －m)d ，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性．⑸、一般地，如果l ，k ，p ，…，m ，n ，r ，…皆为自然数，且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等），那么当{a n }为等差数列时，有：a l + a k + a p + … = a m + a n + a p + … ．⑹公差为d 的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k 为取出项数之差)．⑺如果{ a n }是等差数列，公差为d ，那么，a n ，a 1-n ，…，a 2、a 1也是等差数列，其公差为－d ；在等差数列{ a n }中，a l m +－a l = a k m +－a k = md ．(其中m 、k 、l ∈+N )⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项． ⑼当公差d ＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d ＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d ＝0时，等差数列中的数等于一个常数．⑽设a l ，a m ，a n 为等差数列中的三项，且a l 与a m ，a m 与a n 的项距差之比nm ml --=λ（λ≠－1），则a m =λλ++1nl a a ． 4．等差数列前n 项和公式S n =2)(1n a a n +与S n = na 1＋d n n 2)1(-的比较5．等差数列前n 项和公式S n 的基本性质⑴数列{ a n }为等差数列的充要条件是：数列{ a n }的前n 项和S n 可以写成S n = an 2+ bn 的形式(其中a 、b 为常数)．⑵在等差数列{ a n }中，当项数为2n (n ∈N *)时，S 偶－S 奇= nd ，偶奇S S =1+n na a ；当项数为(2n －1) (n +∈N )时，S 偶－S 奇= a n ，偶奇S S =1-n n． ⑶若数列{ a n }为等差数列，则S n ，S n 2－S n ，S n 3－S n 2，…仍然成等差数列，公差为d n 2． ⑷若两个等差数列{ a n }、{ b n }的前n 项和分别是S n 、T n (n 为奇数)，则n nT S =2121++n n b a ． ⑸在等差数列{ a n }中，S n = a ，S m = b (n ＞m)，则S n m +=mn mn -+(a －b)． ⑹等差数列{a n }中，n S n 是n 的一次函数，且点（n ，n S n ）均在直线y =2d x + (a 1－2d)上． ⑺记等差数列{a n }的前n 项和为S n ．①若a 1＞0，公差d ＜0，则当a n ≥0且a 1+n ≤0时，S n 最大；②若a 1＜0 ，公差d ＞0，则当a n ≤0且a 1+n ≥0时，S n 最小．第三部分：等比数列 1．正确理解等比数列的含义⑴q 是指从第2项起每一项与前一项的比，顺序不要错，即q =nn a a 1+ (n +∈N )或q =1-n na a (n ≥2)． ⑵由定义可知，等比数列的任意一项都不为0，因而公比q 也不为0． ⑶要证明一个数列是等比数列，必须对任意n +∈N ，nn a a 1+= q ；或1-n na a = q (n ≥2)都成立． 2．等比中项与等差中项的主要区别 如果G 是a 与b 的等比中项，那么a G =Gb，即G 2= ab ，G =±ab ．所以，只要两个同号．．的数才有等比中项，而且等比中项有两个，它们互为相反数；如果A 是a 与b 的等差中项，那么等差中项A 唯一地表示为A=2ba +，其中，a 与b 没有同号．．的限制．在这里，等差中项与等比中项既有数量上的差异，又有限制条件的不同．3．等比数列的基本性质⑴公比为q 的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为q m ( m 为等距离的项数之差)．⑵对任何m 、n +∈N ，在等比数列{ a n }中有：a n = a m · q m n -，特别地，当m = 1时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性．⑶一般地，如果t ，k ，p ，…，m ，n ，r ，…皆为自然数，且t + k ，p ，…，m + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等)，那么当{a n }为等比数列时，有：a t ．a k ．a p ．… = a m ．a n ．a p ．… ．．⑷若{ a n }是公比为q 的等比数列，则{| a n |}、{a 2n }、{ka n }、{na 1}也是等比数列，其公比分别为| q |}、{q 2}、{q}、{q1}． ⑸如果{ a n }是等比数列，公比为q ，那么，a 1，a 3，a 5，…，a 12-n ，…是以q 2为公比的等比数列．⑹如果{ a n }是等比数列，那么对任意在n +∈N ，都有a n ·a 2+n = a 2n ·q 2＞0．⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积．⑻当q＞1且a1＞0或0＜q＜1且a1＜0时，等比数列为递增数列；当a1＞0且0＜q＜1或a1＜0且q＞1时，等比数列为递减数列；当q = 1时，等比数列为常数列；当q＜0时，等比数列为摆动数列．4．等比数列前n项和公式Sn的基本性质⑴如果数列{an }是公比为q 的等比数列，那么，它的前n项和公式是Sn=⎪⎩⎪⎨⎧≠--=.1,1)1(,1,11时当时当qqqaqnan也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q = 1处．因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1，如果q可能等于1，则需分q = 1和q≠1进行讨论．⑵当已知a1，q，n时，用公式Sn=qqa n--1)1(1；当已知a1，q，a n时，用公式S n=qqaan--11．⑶若Sn 是以q为公比的等比数列，则有Smn+= S m＋qS n．⑵⑷若数列{ an }为等比数列，则Sn，Sn2－Sn，Sn3－Sn2，…仍然成等比数列．⑸若项数为3n的等比数列(q≠－1)前n项和与前n项积分别为S1与T1，次n项和与次n项积分别为S2与T2，最后n项和与n项积分别为S3与T3，则S1，S2，S3成等比数列，T1，T2，T3亦成等比数列．二、难点突破1．并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一．已知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的．2．等差(比)数列的定义中有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的差(比)等于同一个常数”．这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”则是保证至少含有3项．所以，一个数列是等差(比)数列的必要非充分条件是这个数列至少含有3项．3．数列的表示方法应注意的两个问题：⑴{ an }与an是不同的，前者表示数列a1，a2，…，an，…，而后者仅表示这个数列的第n项；⑵数列a1，a2，…，an，…，与集合{ a1，a2，…，an，…，}不同，差别有两点：数列是一列有序排布的数，而集合是一个有确定范围的整体；数列的项有明确的顺序性，而集合的元素间没有顺序性．4．注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：⑴对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为S，则通常设…，aq2-，aq1-，a，aq，aq2，…；⑵对连续偶数个项同号．．的等比数列，若已知其积为S，则通常设…，aq3-，aq1-，aq，aq3，…．5．一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0，因此，在研究等比数列时，要注意a n ≠0，因为当an= 0时，虽有a2n= a1-n· a1+n成立，但{an}不是等比数列，即“b2= a · c”是a、b、c成等比数列的必要非充分条件；对比等差数列{an}，“2b = a + c”是a、b、c成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清．6．由等比数列定义知，等比数列各项均不为0，因此，判断一数列是否成等比数列，首先要注意特殊情况“0”．等比数列的前n项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分q = 1和q≠1进行分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错．数列基础知识定时练习题（满分为100分+附加题20分，共120分；定时练习时间120分钟）一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列四个数中，哪一个是数列{)1(+n n }中的一项 （ ）（A ）380 （B ）39 （C ）35 （D ）23 2．在等差数列}{n a 中，公差1=d ，8174=+a a ，则20642a a a a ++++Λ的值为（ ） （A ）40 （B ）45 （C ）50 （D ）553．一套共7册的书计划每2年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979，则出齐这套书的年份是（ ） （A ）1997 （B ）1999 （C ）2001 （D ）20034．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（ ）（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）6 5．已知1是2a 与2b 的等比中项，又是a 1与b 1的等差中项，则22ba ba ++的值是（ ） （A ）1或21 （B ）1或21- （C ）1或31 （D ）1或31- 6．首项为－24的等差数列，从第10项开始为正，则公差d 的取值范围是（ ）（A ）38>d （B ）3<d （C ）38≤3<d （D ）d <38≤3 7．如果-1，a,b,c ,-9成等比数列，那么（ ）（A ）b =3,ac =9(B)b =-3,ac =9 (C)b =3,ac =-9 (D)b =-3,ac =-98．在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于（ ） A.40 B.42 C.43 D.459．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）A.5B.4C. 3D. 210．若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a =（ ）A ．4B ．2C ．－2D ．－411．在等比数列｛a n ｝中，a 1＝1，a 10＝3，则a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 = （ ） A. 81 B. 27527 C.3 D. 24312． 在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（ ）(A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n -【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。