锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。

A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A 对边邻边 C A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：222cba=+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。

(注意：尽量避免使用中间数据和除法)9、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

仰角铅垂线水平线视线视线俯角(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。

用字母i表示，即hil=。

坡度一般写成1:m的形式，如1:5i=等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tanhilα==。

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。

:i h l=hlα要点一：锐角三角函数的基本概念 一、选择题1.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan α的值是（ ）A ．35B ．43 C ．34 D ．45 【解析】选C. tan α43==角的邻边角的对边αα. 2.（2008·威海中考）在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝13，则sin B ＝（ ）A ．10 B ．23C ．34D ．310【解析】选D. 31tan ==AB BC A ,设BC=k,则AC=3k,由勾股定理得,10)3(2222k k k BC AC AB =+=+=310sin AC B AB == 3.（2009·齐齐哈尔中考）如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．43【解析】选A.连接CD,由O ⊙的半径为32.得AD=3. sin B =.32sin ==AD AC D 4.（2009·湖州中考）如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ）A．3sin2A=B．1tan2A= C．3cos2B=D．tan3B=【解析】选D在直角三角形ABC中，1BC=，2AB=，所以AC＝3；所以1sin2A＝，3cos2A＝，3tan3A=；3sin2B＝，1cos2B＝，tan3B=；5.（2008·温州中考）如图，在Rt ABC△中，CD是斜边AB上的中线，已知2CD=，3AC=，则sin B的值是（）A．23B．32C．34D．43【解析】选C.由CD是Rt ABC△斜边AB上的中线，得AB=2CD=4.∴sin B43==ABAC6.（2007·泰安中考）如图，在ABC△中，90ACB∠=o，CD AB⊥于D，若3AC= 32AB=tan BCD∠的值为（）（A2（B2（C6（D3答案：B二、填空题ACBD7.（2009·梧州中考）在△ABC 中，∠C ＝90°， BC ＝6 cm ，53sin =A ，则AB 的长是 cm ．【解析】,536sin ===AB AB BC A 解得AB=10cm 答案：108.（2009·孝感中考）如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ．【解析】因为P （3，4），所以OP ＝5，所以4sin 5α=； 答案：45； 9.（2009·庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5A =，则这个菱形的面积= cm 2．【解析】.5310sin ===DE ADDE A 解得DE=6cm.∴10660=⨯=⨯=LING S AB DE cm 2.答案：60 三、解答题10.(2009·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE =1213．（1）求半径OD ；AOBEC D（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？【解析】（1）∵OE⊥CD于点E，CD=24（m），∴ED =12CD=12（m）．在Rt△DOE中，∵sin∠DOE =EDOD =12 13，∴OD =13（m）．（2）OE5（m）∴将水排干需：5÷0.5=10（小时）．11.（2009·綦江中考）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE BC=，DF AE⊥，垂足为F，连接DE．（1）求证：ABE△DFA≌△；（2）如果10AD AB=，=6，求sin EDF∠的值．【解析】（1）在矩形ABCD中，90BC AD AD BC B=∠=，∥，°DAF AEB∴∠=∠DF AE AE BC⊥=Q，90AFD B∴∠=∠°=AE AD=ABE DFA∴△≌△．（2）由（1）知ABE DFA△≌△6AB DF∴==在直角ADF△中，8AF==2EF AE AF AD AF∴=-=-=在直角DFE △中，222262210DE DF EF =+=+= 210sin 10210EF EDF DE ∴∠===． 12.（2008·宁夏中考）如图，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =54，AB =15，求△ABC 的周长和tan A 的值．【解析】在Rt △ABC 中, ∠C =90°, AB =15A sin =AB BC =54, ∴ 12=BC 912152222=-=-=BC AB AC∴周长为36,BC 124tan A .AC 93=== 13.（2008·肇庆中考）在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值.【解析】在Rt △ABC 中，c =5，a =3． ∴ 22a c b -=2235-=4=∴ 53sin ==c a A 43tan ==b a A ．14.（2007·芜湖中考）如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan cos B DAC =∠，(1) 求证：AC=BD ； (2)若12sin 13C =，BC =12，求AD 的长．【解析】(1)∵AD是BC上的高，∴AD⊥BC．∴∠ADB=90°，∠ADC=90°．在Rt△ABD和Rt△ADC中，∵tan B=ADBD，cos DAC∠=ADAC又已知tan cosB DAC=∠∴ADBD=ADAC．∴AC=BD．(2)在Rt△ADC中，12sin13C=，故可设AD=12k，AC=13k．22DC AC AD5kAD ADBD13ktan B cos DACBC13k5k122k,AD8.3∴=-====∠∴=+=∴==要点二、特殊角的三角函数值一、选择题1.（2009·钦州中考）sin30°的值为（）A．3B．2C．12D．3答案：C2.（2009·长春中考）．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC∠==°，，则点B的坐标为（）A．2， B．2)， C．211)，D．(121)，答案：C3.(2009·定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（）A．8米B．83 C．833米 D．433米答案：C4.（2008·宿迁中考）已知α为锐角，且23)10sin(=︒-α，则α等于（ ） Ａ．︒50 Ｂ．︒60 Ｃ．︒70 Ｄ．︒80 答案：Ｃ5.（2008·毕节中考） A （cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A 1的坐标是（ ）A ．132⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，B ．33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，C ．132⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， D ．132⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 答案：A6.（2007·襄樊中考）计算：2cos 45tan 60cos30+o o o g等于（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）3 答案：C二、填空7. （2009·荆门中考）104cos30sin 60(2)(20092008)-︒︒+---=______．【解析】104cos30sin 60(2)(20092008)-︒︒+---3314()1213()1232=⋅⋅+--=+--= 答案：238.（2009·百色中考）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B 与钢缆固定点C 的距离为4米，钢缆与地面的夹角为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点A 到地面的距离AB 是 米．（结果保留根号）．答案：439.（2008·江西中考）计算：（1）1sin 60cos302-=o o g ． 【解析】1sin 60cos302-=o o g .412143212323=-=-⨯ 答案：1410.（2007·济宁中考）计算sin 60tan 45cos30︒-︒︒的值是 。

答案：0 三、解答题11.（2009·黄石中考）计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45° 【解析】3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45° 1111330=+--=12.（2009·崇左中考）计算：0200912sin 603tan 30(1)3⎛⎫-++- ⎪⎝⎭°°．【解析】原式=33231123⨯-⨯+-=0． 13.（2008·义乌中考）计算：33sin 602cos 458-+o o【解析】33sin 602cos458-+=o o 3232222⨯-⨯+ =2.5 要点三、解直角三角形在实际问题中的运用 一、选择题1.（2009·白银中考）某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ）A．8米 B ．83米 C．833米 D．433米【解析】选C. 梯子的长至少为33860sin4=（米）.2.（2009·衢州中考）为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米)，则该坡道倾斜角α的正切值是（）A．14B．4 C．117D．417答案：A3.（2009·益阳中考）如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A. αcos5 B.αcos5C. αsin5 D.αsin5答案：B4.（2009·兰州中考）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（）A．5m B．6m C．7m D．8m5AB【解析】选A 由坡度为0.75知，相邻两树间的水平距离为4m ，相邻两树间的垂直距离为h ，则0.754h=，则h ＝3m ，所以坡面距离为5m ； 5.(2009·潍坊中考)如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=°，在C 点测得60BCD ∠=°，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离为（ ）米．A ．25B ．253C ．10033D ．25253+【解析】选B 过点B 作BE ⊥AD 于点E ，在直角三角形BAE 中，0tan 30,BE AE=则0,tan 30BE AE =在直角三角形BCE 中，0tan 60,BE CE =则0tan 60BE CE =。