由插值条件
Pn ( xi ) yi
i 0, 1, , n
得到如下线性代数方程组：
1

a0
1

a0

x0a1 x1a1


x0nan x1nan

y0 y1

1 a0 xna1 xnnan yn
7
存在唯一性定理证明(续)
此方程组的系数行列式为
且 ( x0 ) ( x1 ) 0 存在 (x0, x1)使得 。
( ) 0
推广：若 ( x0 ) ( x1 ) ( x2 ) 0 0 ( x0 , x1 ), 1 ( x1, x2 )
使得 (0 ) (1 ) 0
函数值：
x x0 x1
xn1 xn
y y0 y1
yn1 yn
• 插值问题：根据这些已知数据来构造函数
y f (x) 的一种简单的近似表达式,以便于计算 点 x xi ,i 0,1,L , n 的函数值 f (x) ，或计算函数 的一阶、二阶导数值。
3
多项式插值定义
在众多函数中,多项式最简单、最易计算，已知函数 y f (x)在n 1
0
0L
0
l1 ( x)
0
1

0
L
0
L
L
L
L
LL
ln (x)
0
0
0
L
1
24
N次插值多项式4
求n次多项式 lk ( x) ， k = 0, 1,…, n
1, lk ( xi ) 0,
则
ki ki
n
Pn ( xi ) yk lk ( xi ) yi k 1
i = 0, 1, 2,…, n
19
二次Lagrange插值多项式1
线性插值只利用两对值 及 求得的 近似值，误差较大。
p2(x)是x的二次函数，称为二次插值多项式。 通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。
20
二次Lagrange插值多项式2
设被插函数在插值节点 x0, x1, x2 处的函数值为
y0 , y1, y2 以过节点 (xi , yi ) (i 0,1, 2) 的二次函数
L2 (x) 为插值函数。 用基函数的方法获得 L2 (x) L2 (x) y0l0 (x) y1l1(x) y2l2 (x)
其中
l0
(x)

(x ( x0

x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
l1 ( x)

(x ( x1

x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )


4

1 2

x


6

2 2
64 46
30
例题分析2
误差为
R1(x)
f ( ) (x )(x ) sin
2!
64 2
(x )(x )
64
在所求点的函数值为
sin
5
18

5
L1( 18 )

0.77614
误差为
R1
(
5
18
)

f ( ) (5
又由 lk ( xk ) 1 ，得：

1
( xk x0 )( xk x1 ) ( xk xk1 )( xk xk1 ) ( xk xn )
26
N次插值多项式6
lk
(
x)

(
( xk
x
x0 )( x x1 ) x0 )( xk x1 )
( x xk1 )( x ( xk xk1 )( xk
第二讲 Lagrange插值
1
主要知识点
• 插值的基本概念，插值多项式的存在唯一性； • Lagrange插值(含线性插值、抛物插值、n次
Lagrange插值公式）； • 插值余项； • 插值方法：（1）解方程组、（2）基函数法。
2
插值问题描述
• 设已知某个函数关系 y f (x) 在某些离散点上的
1 x0 x02
1 D
x1
x12


x0n
x1n
( xi x j )
0 jin
1 xn xn2 xnn
范得蒙行列式 ！
当 xi x j i 1,2, n; j 1,2, n 时，
D 0， 因此，Pn(x)由a0, a1,…, an唯一确定。
8
插值方法
(0 , 1 ) 使得 ( ) 0
28
N次插值多项式8
注：
通常不能确定 x , 而是估计 f (n1)( x) Mn1 , x(a,b)
将
M n1 (n 1)!
n i0
|
x

xi
|
作为误差估计上限。
当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时，f (n1)( x) 0 ,
已知n+1个节点处的函数值
xi
x0
x1
xn
yi
y0
y1
LL
yn
求一个n次插值函数 Ln (x) 满足
Ln (x) yi (i 1, 2,L , n)
23
N次插值多项式3
构造各个插值节点上的基函数 li (x) (i 0,1,L , n) 满足如下条件
xi
x0
x1
x2
L
xn
l0 (x)
1
即 pn ( x) 满足插值条件
根据 lk ( x) 的表达式，xk 以外所有的结点都是lk ( x) 的根，
25
N次插值多项式5
因此令
lk (x) (x x0 )(x x1)L (x xk1)(x xk1)L (x xn )
n
(x xj) j0 jk
9
拉格朗日插值公式
拉格朗日（Lagrange）插值公式的基本思想是，
把 pn(x) 的 构 造 问 题 转 化 为 n+1 个 插 值 基 函 数
li(x)(i=0,1,…,n)的构造。
10
线性插值函数
f(x) (x1，y1) P1(x)
(x0 ，y0)
x0
可见 是过
和
x1
两点的直线。
11
抛物插值函数
p2(x) f(x)
f(x)
x0
x1
x2
因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。
12
N次插值函数
设连续函数 y f (x) 在[a, b]上对给定n + 1个不同结点：
分别取函数值
其中
试构造一个次数不超过n的插值多项式
Pn ( x) a0 a1 x an x n
使之满足条件
l2
(x)

(x ( x2

x0 x0
)(x x1) )(x2 x1)
21
N次插值函数1
• 我们看到，两个插值点可求出一次插值多项
式
，而三个插值点可求出二次插值多项
式 。当插值点增加到n+1个时，我们可以利
用Lagrange插值方法写出n次插值多项式 ，
如下所示：
22
N次插值多项式问题2
14
一次Lagrange插值多项式(2)
一次插值多项式
15
一次Lagrange插值多项式(3)
由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为
它也可变形为
显然有：
16
一次Lagrange插值多项式(4)
记
l0 (x)

x x1 x0 x1
l1 ( x)

x x0 x1 x0
可以看出
L1 ( x)
Pn ( xi ) yi i = 0, 1, 2,…, n
要求：无重合节点，即 i j xi x j
13
一次Lagrange插值多项式(1)
已知函数 y f (x)在点 x0, x1上的值为 y0, y1 ，要 求多项式y p1(x)，使 p1(x0 ) y0，p1(x1) y1。其几何意 义，就是通过两点 A(x0, y0), B(x1, y1) 的一条直线， 如图所示。
个互不相同的点处的函数值 y f (x ),i 0,1, ,，n 为求
i
i
y f (x的) 近似式，自然应当选 n 次多项式
Pn (x) a0 a1x a2x2 L an xn
使 P (x) 满足条件 n
Pn(xi ) yi , i 0, 1,L ,n
f (x)称为被插函数, pn ( x)称插值多项式,条件(3 3)称插值条件, x0,x1,L , xn称插值节点 o这种求函数近似式的方法称为插值法 o 几何上,其实质是用通过n 1个点( x1, y1)(i 0,1,L , n)的多项式曲 线y pn (x),当作曲线y f ( x)的近似曲线.如图所示 o

x x1 x0 x1
y0

x x0 x1 x0
y1
的线性组合得到，其系数分别为 y0，y1
称 l0 (x),l1(x)为节点 x0 , x1的线性插值基函数
17
一次Lagrange插值多项式(5)
线性插值基函数 l0 (x),l1(x) 满足下述条件
xi
x0
x1
l0 (x)
1
0
l1 ( x)
6

)(x