Ω m ( s) K1 = U a ( s) Tm S + 1
由传递函数定义 B 令 U a (t ) = 0
G( s) =
Tm SΩ m ( s ) + Ω m ( s ) = − K 2 M c ( s)
1 d r −1 B( s) b1 = { r −1 [ ( s + p1 ) r ]}s =− p1 (r − 1)! ds A( s)
4
其余各极点的留数确定方法与上同。
2.3 控制系统的复域数学模型 2.3.1 传递函数
是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的 概念。 微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给 定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出 响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。 用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数 域的数学模型－传递函数。 定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初使条件下， 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
T= 1
式中 ξ－阻尼比 , (0 ≤ ξ < 1) ω n -自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率） 振荡环节的单位阶跃响应曲线 特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其 输出出现振荡。 实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。 15
ωn
6 延迟环节
c (t ) = r (t − τ )
性质1 传递函数是复变量s的有理真分式函数， m≤n，且所 具有复变量函数的所有性质。 性质2 G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的 形式（幅度与大小）无关。
R( s) G( s) C (s )
图2-6
7
性质3 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的 物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。 性质4 如果G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用 下的输出响应。 性质5 如果系统的G(s)未知，可以给系统加上已知的输入，研 究其输出，从而得出传递函数，一旦建立G(s)可以给出 该系统动态特性的完整描述，与其它物理描述不同。 传递函数数学模型 是（表示）输出变量和输入变量 微分方程的运算模型（operational mode） 性质6 传递函数与微分方程之间有关系。
a.F(s)中具有不同的极点时，可展开为
F (s) = an a1 a2 + + ⋅⋅⋅ + s + p1 s + p 2 s + pn
ak = [
B( s) ( s + p k )] s = − pk A( s)
3
b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为
F ( s) = a3 an a1 s + a 2 + + ⋅⋅⋅ + ( s + p1 )( s + p 2 ) s + p3 s + pn
θm
2
θm
U ( s ) = K1Θ( s )
U ( s) G (s) = = K1 Θ( s )
H( s) K1 ( c)
U(s)
12
2.3.5典型环节及其传递函数 任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。 典型环节通常分为以下六种： 1 比例环节
G(s) = K
式中 K-增益 特点：输入输出量成比例，无失 真和时间延迟。 实例：电子放大器，齿轮，电阻 (电位器)，感应式变送器等。
U( s)
输( s )
U( s)
G ( s) =
G ( s) =
U ( s) = Kt Ω( s )
18
电枢控制直流伺服电动机 例2-9中求得电枢控制直流电动机简化后的微分方程为
Tm dω m (t ) + ω m (t ) = K1U a (t ) − K 2 M c (t ) dt
M c (t ) −可视为负载扰动转矩。根据线性系统的叠加原理，分别求
U a (t )
到
ω m (t )
和 M c (t ) 到
ω m (t )
的传递函数。
A 令 M c (t ) ＝0
Tm SΩ m ( s ) + Ω m ( s) = K 1U a ( s)
(Tm S + 1)Ω m ( s) = K 1U a ( s)
B( s) br = [ ( s + p1 ) r ] s = − p1 A( s )
br − j 1 d j B( s) = { j[ ( s + p1 ) r ]}s =− p1 j! ds A( s )
br −1 = {
d B(s) [ ( s + p1 ) r ]}s = − p1 ds A( s )
L[a1 f1 (t ) + a 2 f 2 (t )] = a1 F1 ( s) + a 2 F2 ( s)
L[e − at f (t )] = F ( s + a)
0
0
f (t )e − st dt < ∞
L[ f (t − τ )] = e −τs F ( s )
t → ∞
lim f (t ) = lim sF ( s )
输出信号的拉氏变换 传递函数 = 输入信号的拉氏变换
零初始条件
C (s) = R(s)
5
设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：
dn d n −1 d a 0 n c(t ) + a1 n −1 c(t ) + ⋅ ⋅ ⋅ + a n −1 c(t ) + a n c(t ) dt dt dt dm d m −1 d = b0 m r (t ) + b1 m −1 r (t ) + ⋅ ⋅ ⋅ + bm −1 r (t ) + bm r (t ) dt dt dt
10
2.3.4典型元部件的传递函数 电位器－将线位移或角位移变换为电压量的装置。 单个电位器用作为信号变换装置。
E -电位器电源(v)
θ max－电位器最大工作角(rad)
11
图2-8 电位器
E
U (t )
U(t)
θ
-∏
∏
θ (t )
(b)
(a)
U (t ) = K1θ (t )
E E K1 = 2 =
式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，和 是与系统结构和参数有关的常系数。 设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零， 即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换， 并令R(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代 数方程为：
[a 0 s n + a1 s n −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n −1 s + a n ]C ( s ) = [b0 s m + b1 s m −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + bm −1 s + a m ]R ( s )
−1 −1 0 0 t t
2.3.2 传递函数的极点和零点对输出的影响
M ( s) G( s) = = K* N ( s)
为传递函数的零点 ∏ (S − P ) P ( j = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, n) 为传递函数的极点 极点是微分方程的特征跟，因此，决定了所描述系 统自由运动的模态。
i i =1 n
直流测速发电机 交流测速发电机
U(t)
ω
TG
ω
激磁绕组 ～ TG
～
永磁铁 (a)
输出绕组、相互垂直 U(t)
dθ (t ) U (t ) = K t ω (t ) = K t dt
图2-10 测速发电机
（b)
ω (t ) = 转子角速度（rad/s）
Kt −
Ω(s)
H (s)
Kt SK t 图2-11
4 积分环节
1 G (s) = TS
特点： 输出量与输入量的积分成正比 例，当输入消失，输出具有记忆功能。 实例： 电动机角速度与角度间的传递 函数，模拟计算机中的积分器等。
5 振荡环节
ωn 2 1 G(s) = 2 = 2 2 2 T S + 2ξTS + 1 S + 2ξω n S + ω n
∏ (S − Z )
j j =1
m
Zi
j
(i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, m)
9
-1 . 3 3 -2 z2 -1
- 0 .5 z1
图2-7 传递函数的零极点图
零点距极点的距离越远，该极点所产生的模 态所占比重越大 零点距极点的距离越近，该极点所产生的模 态所占比重越小 如果零极点重合－该极点所产生的模态为零， 因为分子分母相互抵消。
K1θ 2 K1θ1 图2-9 电位器
U(t)
K1是单个电位器的传递函数，θ (t ) = θ1 (t ) − θ 2 (t ) ∆ 是两个电位器电刷角位移之差，称误差角。
U ( s) = K1 ∆θ ( s )
电位器的负载效应，一般要求
Rl ≥ 10 R p
17
测速发电机－测量角速度并将它转换成电压量的装置
s → 0
2
数学工具－拉普拉斯变换与反变换续
初值定理 微分定理 积分定理 ⑶ 拉氏反变换 F(s)化成下列因式分解形式：
F (s) =
t → 0
lim f (t ) = lim sF ( s )
s → ∞
df (t ) L[ ] = sF ( s ) − f (0) dt
F ( s ) f −1 (0) L[ ∫ f (t )dt ] = − s s
G(s) = e
−τs
式中 τ －延迟时间 特点： 输出量能准确复现输入量，但须延迟一 固定的时间间隔。 实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学 模型就包含有延迟环节。