D
D
rdrd为极坐标系中的面积元素
把二重积分中的变量从直角坐标转换为极坐标， 则有
x r cos y r sin dxdy rdrd
由极点与积分区域的位置，可分为三种情况讨论.
(1)极点在积分区域之外，积分区域为
1( ) r 2 ( ),
2( )
次序.
1
4x2
2
4x2
(1) dx f (x, y)dy dx f (x, y)dy
0
1 x 2
1
0
2x
(2) dx f (x, y)dy 11 x
解 : (1)D1 {(x, y) | 0 x 1, 1 x2 y 4 x2} D2 {(x, y) | 1 x 2，0 y 4 x2} 由此可得区域D的图形, 如下图
1 (x0 )
一般地,a x b，x为[a,b]上的任一点，过x且平行
于yOz面的平面，截曲顶柱体所得的截面的面积为
2 (x)
A(x) f (x,y)dy
1 (x)
曲顶柱体的体积用定积分中，已知截面积的函数求
体积的计算方法
b
b 2 (x)
V A(x)dx [ f (x,y)dy]dx
a
a 1(x)
b 2 (x)
f (x, y)d [ f (x, y)dy]dx (1)
D
a 1(x)
上式的右端的积分也叫做先对y、后对x的二次
积分.也常记作
b 2 (x)
f (x, y)d dx f (x, y)dy
(1' )
D
a 1(x)
积分区域D为 1( y) x 2 ( y),
0x
1y
dy f (x, y)dx
00
(2) f (x, y)d
D
1 2xx2
dx f (x, y)dy
0
0
2 2x
dx f (x, y)dy
10
1 2 y
dy f (x, y)dx
0 1 1 y 2
例2 画出下列累次积分的积分区域，并交换累次积分的
22
xyd [ xydx]dy
D
1y

2
[
1
y

x2 2
]2y
dy

2
(2 y
1

y3 )dy 2

[y2

y4 8
]12
11 8
例4 计算二重积分 ex ydxdy,其中区域D是由x 0、
D
x 1、y 0 和y 1围成的矩型.
解 : ex ydydx
划分积分区域如图
1 4x2
2 4x2
dx f (x, y)dy dx f (x, y)dy
0 1 x 2
10
1 4 y2
2 4 y2
dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx
0 1 y 2
1
0
(2)由原累次积分可知积分区域为: D {(x, y) |1 x 2, 1 y x} x
D
1 y 2

2
[
-1
yx 2 2
]
y y

2
2
dy

1 2
2
[
-1
y(
y

2)2

y5 ]dy
55 8
xyd xyd xyd
D
D1
D2
1x
4x
[ xydy]dx [ xydy]dx
0 x
1 x2
显然这样计算比较麻烦.
例8 求两个底圆半径相等的直角圆柱面所围成的立体 的体积. 解 : 设圆柱的底半径为R，两个圆柱面的方程为
[ 3x2 y2dy]dx
00

1
[
x
2
y
3]10x源自2dx0
1
x2 (1
0
x2 )3dx

16 315
如果先对x积分, 后对y积分, 则有
1 1 y
3x2 y2d [ 3x2 y2dx]dy
D
00
积分运算比较困难.
例6 计算二重积分 (2x y)dxdy,其中D是由直线y 1、
D
0
(3)极点在积分区域内, 积分区域为D
0 r ( ), 0 2π
2π ( )
f (r cos ,r sin )rdrd [ f (r cos ,r sin )rdr]d
D
00
由二重积分性质(3)区域D的面积为:
2 ( )
n
lim
0

i1
f
(i
,i
)
i
n_
__ _ _

lim
0 i1
f
(ri
cosi
, ri
sin
i
)
ri
ri

i
即： f (x, y)d f (r cos ,r sin )rdrd
D
D
或： f (x,y)dxdy f (r cos ,r sin )rdrd
1

xy) |31( yy3)
2
dy
3
解法(2)先对y积分,
后对x积分,
(2x y)dxdy
D
0 2x3
2 3x
dx (2x y)dy dx (2x y)dy
1 1
01

0
(2xy
1

y2 2
)
|12
x

3
dx

2
(2xy
0

y2 2
n

D
f
(x,
y)d
lim 0 i 1
f
(i ,i ) i
i

1 2
(ri

ri )2
i

1 2
ri2
i

1 2
(2ri

ri )ri
i

_
ri ri
i
极坐标与直角坐标之间的关系
__
__
i ri cos i , i ri sin i
c
c 1(y)
d 2 (y)
f (x,y)d [ f (x, y)dx]dy (2)
D
c 1(y)
上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，
这个积分也常记作
d 2 (y)
f (x,y)d dy f (x, y)dx 2'
D
c 1(y)
二重积分化为二次积分时,确定积分限是解题关
键.
公式(1)中积分域为X 型域，特点是穿过D内部且平 行于y轴的直线与D的边界相交不多于两点.
公式(2)中积分域为Y 型域，特点是穿过D内部且 平行于x轴的直线与D的边界相交不多于两点.
若积分区域既非X 型域，也非Y 型域，可用平行 于x轴(或平行于y轴)的直线将区域D分成几个小区域，使 每个小区域都是X 型域或Y 型域，区域D上的二重积 分就是这些小区域上的二重积分的和.
例3 计算 xyd ,其中D是由直线y 1、x 2及y x
D
所围成的闭区域.
解 : 解法(1) 积分区域如图
2x
xyd [ xydy]dx
D
11

2
[x
1

y2 2
]1x dx

2

1
(
x3 2

x)dx 2
[x4 8

x2 4
]12
11 8
解法(2)积分区域如图
积分区域D如下图.
若将其交换积分次序,先对x积分后对y积分,则其 积分区域如下图
交换积分次序为
2x
dx f (x, y)dy
11
2
12
22
dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx
11
1 y2
2y
计算二重积分时，可以先对x积分后对y积分，也 可以先对y积分后对x积分，先对哪个变量积分，要视 积分域D及被积函数f(x,y)的不同情况而定.
f (r cos ,r sin )rdrd [ f (r cos ,r sin )rdr]d
D
1 ( )
(2)极点在积分区域边界, 积分区域D为
0 r ( ),
( )
f (r cos ,r sin )rdrd [ f (r cos ,r sin )rdr]d
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分
一、利用直角坐标计算二重积分
二重积分的计算 f (x, y)d f (x, y) 0
D
积分区域D 1(x) y 2 (x),
a xb
二重积分的几何意义
f (x, y)d 的值等于以D为底，曲面z f (x, y)为顶
x2 y2 R2, x2 z2 R2 它们在第一象限的图形如下
立体在第一卦限部分可看作一个曲顶柱体.它的底为 D {(x, y) | 0 y R2 x2 ,0 x R},
它的顶是柱面z R2 x2 ,于是
V1 R2 x2d
D R R2 x2
D
为x2 y2 2 y 0及x y所围在第一象限部分.