324
-1.212938934846244 10
{精确解为： x ＝1.594562}
972 -1.784501062446783 10
Clear[f,CC] f[x_]:=x^3+10x-20; Plot[f[x],{x,1,2}]
计算结果： 1.63265306122449
x[n_]:=20/((x[n-1])^2+10);
{精确解为： x ＝1.594562}
1.594731546347759 1.594493422715452
压缩映象原理1 设( x)在[a, b]满足以下条件：
3
1。 对任意x [a, b]有a ( x) b.
迭 代
2. 存在常数0 L 1，使对，x, y [a, b]都有
法
(x) ( y) L x y
重点
实多项式方程
f ( x) a0 x n a1 x n1 an1 x an (a0 0),
的求根问题.
（其中系数ai (i 0,1,, n)为实数）
若 方程f ( x*) 0, 则x*称为函数f ( x)的零点
1
若方程 f (x) (x x* )m g(x),
其 中m为 正 整 数 ， 且g( x* ) 0.
据此建立迭代公式
xk1 3 xk型例题
例2
求方程 f ( x) x 3 10x 20 0
在x0 1.5附近的根x * , 要求精确到六位小数。
设方程分别改写成下列形式
(1) x x 3 11x 20
20 (2) x
x 2 10
据此建立迭代公式
(1) xn1 xn3 11xn 20
称x*为函数的一个不动点
相 关
求f ( x)的零点等价于求不动点
概
念 按下列公式反复迭代
xk1 ( xk )
( x)称为迭代函数
(k 0,1)
因为：f ( x) x ( x)
2
所以： f ( x) 0 的解 x ( x) 的解
迭 代
又
x
(
x)
的
解
y y
(
x
x)
的解（两条线的交点）
x*
lim
k
x
k
1
lim
k
(
xk
)
(lim k
xk
)
( x* )
故k充分大时，xk可作为方程根的近似值
按上述方法构造迭代格式来求解方程的方法称为简单迭代法或逐
次迭代法。
不动点迭代法： 将方程 f ( x) 0 改写为: x ( x).
1 若要求x*满足f ( x* ) 0,则x* ( x* );反之亦然，
法 的
2. 存在常数0 L 1，使对，x, y [a, b]都有
收 敛
'(x) L
条 件
则x ( x)在[a, b]上存在唯一的根x * .
且对任意的x0 [a, b], xn1 ( xn ) x*,并有
xn x*
Ln
1 L
x1 x0
回顾例题
例2
求方程 f ( x) x 3 10x 20 0
n次方程在复数域有且只有n个根
不动点迭代法
构造不动点方程，以求得近似根。
1 即由方程f(x)=0变换为其等价形式x=(x), 然后建立迭代格式，
相
xk1 ( xk )
关 概 念
当给定初值x0 后, 由迭代格式可求得数列{xk}。此数列可能收敛， 也可能不收敛。如果{xk}收敛于x*，则它就是方程的根。因为：
第 七
非线插性方值程（法组）数值解法
章
主讲教师：刘春凤
1 方程求根与二分法 2 迭代法及其收敛性 3 牛顿法及改进的牛顿法 4 弦截法
5 非线性方程组的牛顿法
问题的提法和相关概念 简单迭代法及其程序设计 迭代法探究及收敛原理
问题的提出
实多项式方程
讨论单变量非线性方程 f ( x) 0 的求根问题.
1.579085827030582
程
x[0]=1.5;
1.600830888972853
序
N[Table[x[n],{n,1,8}],20];
1.592019583443828
设
MatrixForm[%] N[Solve[f[x]==0,x],20][[1]]
1.595592799843456
计
1.59414421311147
的
收 敛
则x ( x)在[a, b]上存在唯一的根x * .
条 件
且对任意的x0 [a, b], xn1 ( xn ) x*,并有
xn x*
Ln
1 L
x1 x0
压缩映象原理应用
3
原理的重要应用
设( x)在[a, b]满足以下条件：
迭
代
1。 对任意x [a, b]有a ( x) b.
相
则 : (1) 当m 1时 ， 则 称x*为 单 根 ，
关 概
(2) 当m 1称x*为m重 根 ， 或x*为f ( x)的m重 零 点.
念
若x*是f ( x)的m重 零 点,且g( x)充 分 光 滑 ， 则
f ( x* ) f ( x* ) f (m1) ( x* ) 0, f (m) ( x* ) 0.
(n 0,1,2,).
(2)
xn1
20 xn2 10
结果有：
Clear[f,CC] f[x_]:=x^3+10x-20;
结果是：
-0.125
Plot[f[x],{x,1,2}]
-21.376953125
程
x[n_]:=(x[n-1])^3+11x[n-1]-20;
-10023.86093188077
法
y
的
y x
y y (x)
几
何
y x
意
y (x)
义
x
x
迭代法的几何意义
y
y=x
y
y=x
y=(x)
y=(x)
0
x1
x3 x5ξ x4 x2 x0
x
0
x3 x1 ξ x0 x2
x4
x
典型例题
例 1 求方程 f ( x) x 3 x 1 0 在x0 1.5附近的根x* .
设方程改写成下列形式 x 3 x1
序
x[0]=1.5;
N[Table[x[n],{n,1,8}],20]; 设
MatrixForm[%]
12 -1.007175483753888 10
36 -1.021681283411174 10
计
N[Solve[f[x]==0,x],20][[1]]
108 -1.066464276280024 10
在x0 1.5附近的根x * , 要求精确到六位小数。
设方程分别改写成下列形式
(1) x x 3 11x 20 1 ( x)
(2)
x
x
20 2 10
2
(
x)
(1) 1 '( x) 3x 2 11 1 所以迭代法发散