第一部分 专题三 第二讲 三角恒等变换与解三角形A 组1．若2sin(θ＋π3)＝3sin(π－θ)，则tan θ等于( B )A ．－33B ．32C ．233D ．2 3[解析] 由已知得sin θ＋3cos θ＝3sin θ，即2sin θ＝3cos θ，所以tan θ＝32，故选B ．2．(文)如果sin α＝45，那么sin(α＋π4)－22cos α等于( A )A ．225B ．－225C ．425D ．－425[解析] sin(α＋π4)－22cos α＝sin αcos π4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225.(理)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan2α＝( C ) A ．43 B ．34 C ．－34D ．－43[解析] 本题考查三角函数同角间的基本关系． 将sin α＋2cos α＝102两边平方可得， sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52，∴4sin αcos α＋3cos 2α＝32，∴4sin αcos α＋3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝32. 将左边分子分母同除以cos 2α得，3＋4tan α1＋tan 2α＝32，解得tan α＝3或tan α＝－13， ∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 3．若三角形ABC 中，sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2C ，则此三角形的形状是( B ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形[解析] ∵sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2C ，sin(A ＋B )＝sin C ≠0，∴sin(A －B )＝sin(A ＋B )，∴cos A sin B ＝0，∵sin B ≠0，∴cos A ＝0，∴A 为直角．4．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( B )A ．5B ． 5C ．2D ．1[解析] 本题考查余弦定理及三角形的面积公式． ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝12·2·1·sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4. 当B ＝π4时，经计算△ABC 为等腰直角三角形，不符合题意，舍去． ∴B ＝3π4，根据余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，解得b ＝5，故选B ．5．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32，且b <c ，则b ＝( B )A ． 3B ．2C ．2 2D ．3[解析] 由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以22＝b 2＋(23)2－2×b ×23×32， 即b 2－6b ＋8＝0，解得：b ＝2或b ＝4. 因为b <c ，所以b ＝2.6．已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为( A )A ．6365 B ．3365 C ．1365D ．6365或3365[解析] 依题意得sin β＝45，cos β＝35，注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sin ＝6365.7．(2018·淮北二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝3b 2＋3c 2－23bc sin A ，则C 等于π6.[解析] 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以b 2＋c 2－2bc cos A ＝3b 2＋3c 2－23bc sin A ，3sin A －cos A ＝b 2＋c 2bc ，2sin(A －π6)＝b 2＋c 2bc ≥2，因此b ＝c ，A －π6＝π2⇒A ＝2π3，所以C ＝π－2π32＝π6.8．(2018·长沙三模)在锐角△ABC 中，D 为BC 的中点，满足∠BAD ＋∠C ＝90°，则角B ，C 的大小关系为B ＝C .(填“B <C ”“B ＝C ”或“B >C ”)[解析] 设∠BAD ＝α，∠CAD ＝β，因为∠BAD ＋∠C ＝90°，所以α＝90°－C ，β＝90°－B ， 因为D 为BC 的中点， 所以S △ABD ＝S △ACD ，所以12c ·AD sin α＝12b ·AD sin β，所以c sin α＝b sin β，所以c cos C ＝b cos B ， 由正弦定理得，sin C cos C ＝sin B cos B ， 即sin2C ＝sin2B ，所以2B ＝2C 或2B ＋2C ＝π， 因为△ABC 为锐角三角形，所以B ＝C ．9．为了竖起一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB ＝60°，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳定广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为[解析] 由题意设BC ＝x (x >1)米，AC ＝t (t >0)米，依题设AB ＝AC －0.5＝(t －0.5)米，在△ABC 中，由余弦定理得：AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos60°，即(t －0.5)2＝t 2＋x 2－tx ，化简并整理得：t ＝x 2－0.25x －1(x >1)，即t ＝x －1＋0.75x －1＋2，因为x >1，故t ＝x －1＋0.75x －1＋2≥2＋3，当且仅当x ＝1＋32时取等号，此时取最小值2＋ 3. 10．(2018·全国卷Ⅰ，17)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC ．[解析] (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin A ＝ABsin ∠ADB .由题设知，5sin45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25. 由题意知，∠ADB ＜90°， 所以cos ∠ADB ＝1－225＝235. (2)由题意及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25. 所以BC ＝5.11．(文)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac＝5(a 2－b 2－c 2)．(1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值．[解析] (1)由a sin A ＝4b sin B 及a sin A ＝bsin B ，得a ＝2b .由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理， 得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55ac ac ＝－55.(2)由(1)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B 中，得sin B ＝a sin A 4b ＝55. 由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255.于是sin2B ＝2sin B cos B ＝45，cos2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A )＝sin2B cos A －cos2B sin A ＝45×(－55)－35×255＝－255. (理)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35. (1)求b 和sin A 的值； (2)求sin(2A ＋π4)的值．[解析] (1)在△ABC 中，因为a >b ， 所以由sin B ＝35，得cos B ＝45.由已知及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13， 所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin A ＝a sin B b ＝31313.所以b 的值为13，sin A 的值为31313. (2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313， 所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513.所以sin(2A ＋π4)＝sin2A cos π4＋cos2A sin π4＝7226.B 组1．(2018·福州三模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，点M 为△ABC 的重心．若aMA →＋bMB →＋33cMC →＝0，则C ＝( D ) A ．π4B ．π2C ．5π6D ．2π3[解析] ∵M 为△ABC 的重心，则MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴MA →＝－MB →－MC →，∵aMA →＋bMB →＋33c ·MC →＝0，∴a ·(－MB →－MC →)＋bMB →＋33c ·MC →＝0.即(b －a )·MB →＋(33c －a )·MC →＝0，∵MB →与MC →不共线， ∴b －a ＝0，32c －a ＝0. 得ab33c ＝111，令a ＝1，b ＝1，c ＝3，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1＋1－32×1×1＝－12，∴C ＝2π3，故选D ．2．(2018·唐山市一模)若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝( A )A ．－79B ．79C ．－29D ．29[解析] ∵cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝－(1－29)＝－79. 3．(2018·威海二模)已知等腰△ABC 满足AB ＝AC ，3BC ＝2AB ，点D 为BC 边上的一点且AD ＝BD ，则sin ∠ADB 的值为( C )A ．36B ．23 C ．223D ．63[解析] 如图，设AB ＝AC ＝a ，AD ＝BD ＝b ，由3BC ＝2AB ， 得BC ＝233a ，在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22·AB ·BC＝a 2＋23a 32－a22×a ×233a＝33. ∵AB ＝AC ， ∴∠ABC 是锐角，则sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝63， 在△ABD 中，由余弦定理得AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·cos ∠ABD ， ∴b 2＝a 2＋b 2－2·a ·b ·33， 解得a ＝233b ，由正弦定理得，AD sin ∠ABD ＝ABsin ∠ADB，∴b63＝asin ∠ADB ， 解得sin ∠ADB ＝223.4．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( B )A ．5B ． 5C ．2D ．1[解析] ∵S ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22， ∴B ＝π4或3π4.当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2＋2＝5，∴AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2＝1，∴AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意．故AC ＝ 5. 5．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( C )A ．3α－β＝π2B ．3α＋β＝π2C ．2α－β＝π2D ．2α＋β＝π2[解析] 因为tan α＝sin αcos α＝1＋sin βcos β，去分母得sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， 所以sin αcos β－cos αsin β＝cos α， 即sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2，所以α－β＝π2－α故2α－β＝π2.6．已知α－β＝π3，tan α－tan β＝3，则cos(α＋β)的值为33－12.[解析] 因为tan α－tan β＝sin αcos α－sin βcos β＝sin α－βcos αcos β＝3，且α－β＝π3，所以cos αcos β＝36，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝12，所以sin αsin β＝12－36，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝33－12. 7．已知点O 是△ABC 的内心，∠BAC ＝30°，BC ＝1，则△BOC 面积的最大值为6＋3－2－24.[解析] 根据角平分线的性质可知，∠BOC ＝105°， 所以在△BOC 中，根据余弦定理有cos105°＝OB 2＋OC 2－12OB ·OC ＝2－64，等价于2－62·OB ·OC ＝OB 2＋OC 2－1， 即2－62·OB ·OC ≥2OB ·OC －1， 所以OB ·OC ≤24－2＋6，而S △BOC ＝12·OB ·OC ·sin105°≤12·sin105°·24－2＋6＝6＋3－2－24.8．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ，12与n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角． (1)求角A 的大小；(2)若BC ＝2，求△ABC 的面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状．[解析] (1)因为m ∥n ，所以sin A ·(sin A ＋3cos A )－32＝0.所以1－cos2A 2＋32sin2A －32＝0，即32sin2A －12cos2A ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1.因为A ∈(0，π)，所以2A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，11π6.故2A －π6＝π2，A ＝π3.(2)设角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则由余弦定理，得4＝b 2＋c 2－bc . 而b 2＋c 2≥2bc ，∴bc ＋4≥2bc ，∴bc ≤4(当且仅当b ＝c 时等号成立)， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34×4＝3，当△ABC 的面积取最大值时，b ＝c . 又A ＝π3，故此时△ABC 为等边三角形．9．(2018·天津卷，15)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． [解析] (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，所以sin B ＝32cos B ＋12sin B ，可得tan B ＝ 3. 又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37.-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------金戈铁制卷 因为a <c ，故cos A ＝27. 因此sin2A ＝2sin A cos A ＝437，cos2A ＝2cos 2A －1＝17. 所以，sin(2A －B )＝sin2A cos B －cos2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.。