A
F E
P
B
D
C
如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB， 延长BP交AC于E，交CF于F.求证：BP2＝PE·PF.
证明：连接PC
A
∵AB＝AC，AD是中线
∴AD垂直平分BC
F ∴BP＝CP
E
∴∠1＝∠2
P
3
4
∵AB＝AC
1
2
B
D
C
∴∠1+∠3＝∠2＋∠4
∴∠3＝∠4
典例精解
类型三：找中间比利用等积式代换
如图，在△ABC中，已知∠BAC＝90 °，AD⊥BC于D，E为直角边AC的 中点，过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF.
A
1
E
B
32DCF Nhomakorabea如图，在△ABC中，已知∠A＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中 点，过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF.
比例式、等积式的证明是初中几何非常常见的题型，同时也是令许多学生 头疼的一种题型，特别是在一些图形复杂、线段较多的题目中，往往令人眼花 瞭乱无从下手.
等积式的证明有没有技巧呢？其实只要我们冷静分析，我们将会发现许多 等积式的证明也是有规律可循的。
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A
1
E
B
3
2D
C
F
证明：∵∠A＝90°，AD⊥BC ∴∠1＝∠C＝90°－∠ABC 而∠BDA＝∠ADC ＝90° ∴△ABD∽△CAD
∴ AB BD AC AD
∵AD⊥BC，E为直角边AC中点 ∴DE＝EC ∴∠3＝∠C 又∵∠3＝∠2，∠1＝∠C ∴∠1＝∠2 而∠F是△FBD与△FDA的公共角 ∴△FBD∽△FDA
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方法总结
证明线段比例式或等积式时，通常先找所涉及的线段位于哪两个三角形中 ，再证明所属的两个三角形相似。
典例精解
类型二：利用等线段代换 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB， 延长BP交AC于E，交CF于F.求证：BP2＝PE·PF.
∴∠4＝∠F 而 ∠ CPE 是 △ CPE 和
△FPC的公共角 ∴△CPE∽△FPC ∴PE∶PC＝PC∶PF ∴PC2＝PE·PF ∴BP2＝PE·PF
∵CF∥AB
∴∠3＝∠F
方法总结
运用类型一的方法证明线段的比例式或等积式时，如果相关的线段不在 某两个三角形中，则需要将其中的某条线段用与之相等的另一条线段替换， 再按类型一 的方法证明.
∴ DF BD AF AD
∴ AB DF AC AF
∴AB·AF＝AC·DF.
方法总结
证明线段比例式或等积式时，如果按类型一、类型二的方法仍无法证 明，可以尝试将等积式化为比例式，结合图形找到能够与比例式中的两个 比分别相等的中间比，从而证明所求证的结果成立.