（二）、数学概念的同化 ）、数学概念的同化
概念同化： 概念同化：在教学中，利用学生已有的知识经验， 以定义的方式直接提出概念，并揭露其本质属 性，由学生主动地与原认知结构中的有关概念 相联系去学习和掌握概念的方式。 概念同化的心理过程 概念同化的心理过程： 心理过程： 1、辨认：新观念中哪些是已有概念？新旧概念间的联系？ 2、同化：将新概念纳入原认知结构。 3、强化
（四）、数学概念学习的认知障碍 ）、数学概念学习的认知障碍
一般，概念学习的主要问题： 1、迁移：设法把特定情境中形成的概念运用于新 的环境； 2、给概念下定义：在不涉及任何具体情境的抽象 水平上加以系统的阐述； 3、在最终掌握概念并在抽象水平上系统阐述以后， 把概念运用于新的具体的情境
1、认知冲突
典型· 典型·Lakatos
数学概念并非一开始就是精确的，有一个抽象 数学概念并非一开始就是精确的，有一个抽象 化和精致化的过程： 化和精致化的过程： 产生一个模糊的想法； 尝试对这个想法用语言进行描述； 通过形式的定义得到初步的概念； 尝试由定义给出具体的例子、推出某些性质、 验证相关定理、寻找等价或者相似的对象; 验证相关定理、寻找等价或者相似的对象; 对原先的定义进行修正以排除不合理的推论； 调整、变更或者拓展对概念的理解，以便适应 新的可能性
2、数学抽象的特点
在数学的抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其 它一切； 数学的抽象是一级一级逐步提高的，所达到的抽象程度 大大超出其他学科中的一般抽象； 数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系的 圈子之中。 如果自然科学家为了证明自己的论断常常求助于实验，那 么数学家证明定理只需用推理和计算，……这样看来， 么数学家证明定理只需用推理和计算，……这样看来， 不仅数学的概念是抽象的、思辨的，而且数学的方法也 是抽象的、思辨的。
徐利治
1、弱抽象(特殊→一般)：从原型中选取某一特征 弱抽象(特殊→一般) （侧面）加以抽象，从而获得比原结构更广的结 构，使原结构成为后者的特例． 如：欧氏空间→内积空间→距离空间→ 如：欧氏空间→内积空间→距离空间→拓扑空间 2、强抽象(一般→特殊)：通过引入新的特征来强 强抽象(一般→特殊) 化原结构，使获得的新的概念或理论是原型的特 例． 如：函数→连续函数→可微函数→ 如：函数→连续函数→可微函数→解析函数 3、广义抽象：在定义概念B 时用到了概念A，或证 广义抽象：在定义概念 明命题B 时用到了命题A，则称B 是A 的广义抽 象，即B 比A 抽象．
1）从直接的实际经验或日常生活经验和观察得来； 2）由通常的用语或隐喻的使用得来； 3）由正式或非正式的教学而来； 4）同伴的影响而来； 5）来自教科书的内容或教师的教学过程； 6）由字义的联想、混淆、冲突或缺乏知识。
数学概念理解研究的一般假设
数学教学的根本目的是学生的理解； 数学教学的根本目的是学生的理解； 数学概念有自身的特点； 数学概念有自身的特点； 学生对数学概念的理解存在于他自己的头脑中； 学生对数学概念的理解存在于他自己的头脑中； 可以通过一些外部的行为特征去诊断学生头脑中 的理解； 的理解； • 学生对数学概念的内部理解无论在质量上还是在 数量上都超过其外部的行为特征； 数量上都超过其外部的行为特征； • 学生的理解是按水平发展的，不同学生的理解有 学生的理解是按水平发展的， 不同的水平； 不同的水平； • 适当的教学可以改进学生的理解水平。 适当的教学可以改进学生的理解水平。 • • • •
对数学概念系统的研究主要如下： 对数学概念系统的研究主要如下：
1、核心概念的析取 如：函数概念 2、对概念系统的结构性分析，其中包括概念系统 、对概念系统的结构性分析，其中包括概念系统 的成分及其组织方式。 如：喻平CPFS结构 如：喻平CPFS结构 喻平CPFS 3、讨论概念系统的功能 、讨论概念系统的功能
一、数学概念的基本特征
数学概念发展的抽象性 （一）数学概念发展的抽象性
1、数学抽象的基本方式 ）、从概念发展的逻辑过程看 从概念发展的逻辑过程看： （1）、从概念发展的逻辑过程看： 等势抽象（涉及四种本质的数学活动） 等势抽象（涉及四种本质的数学活动） 构造集合：目标→性质→属性→元素→外延 目标→性质→属性→元素→ 建立等价关系 确定等价类：根据已知的等价关系判断元素之间的等价性，
数学概念的理解
一、数学概念的基本特征 二、数学概念的学习 三、概念理解的评价 四、促进数学概念理解的教学途径
当我理解了 我就感到愉快； 我就感到愉快； 我就自信； 我就自信； 我可以忘掉所有细节，而在需要的时候重新构造； 我可以忘掉所有细节，而在需要的时候重新构造； 我觉得它已经属于我； 我觉得它已经属于我； 我可以把它解释给别人听。 我可以把它解释给别人听。 (Duffin & Simpson, 1994)
（亚历山大洛夫· 数学——它的内容、方法与意义》 （亚历山大洛夫·《数学——它的内容、方法与意义》）
3、数学抽象的水平分析
1）、依据思维主体与客体之间的关系。即同一个 概念在不同人眼里的抽象水平是不同的，这与他 以前的学习经历和知识基础有关。(Wilensky) 以前的学习经历和知识基础有关。(Wilensky) 2）、依据对‘过程—对象’两重性的反思水平。 ）、依据对‘过程—对象’ 皮亚杰、Dubinsky，等 皮亚杰、Dubinsky，等 3）、依据数学抽象的复杂度。（一个集合要复杂 于它所包含的任何一个元素）
概念同化方式学习概念
1、揭示概念的关键属性，给出定义、名称与符号； 2、对概念进行特殊的分类，讨论这个概念所包含的各种 特例，突出概念的本质特征 3、使新概念与已有认知结构中的有关概念建立联系，把 新概念纳入到已有概念体系中，同化新概念； 4、使用例证让学生辨认，使新概念与已有认知结构中的 概念分化 5、把新概念纳入到相应的概念体系中，使有关概念融会 贯通，组成一个整体。
(认知失调、认知缺陷、概念冲突、内在冲突、失衡、矛盾、心理 冲突、社会-认知冲突······) 冲突、社会-认知冲突······)
不平衡— 不平衡—平衡
2、错误概念
(前概念、另类概念、原始信念、另类框架、 另类信念、概念混淆、迷思概念······) 另类信念、概念混淆、迷思概念······)
错误概念形成的原因
曹才翰、蔡金法： 曹才翰、蔡金法：
1、辨别各种刺激模式 2、分化出其属性 3、概括共同属性，并提出假设 4、在特定的情境中检验假设，确认关键属性 5、概括、形成概念 6、把新概念的共同关键属性推广到同类事物 7、用习惯的形式符号表示新概念
采用概念形成方式来学习概念
教学原则： 教学原则： 1、超过个人已有概念层次的高阶概念不能用定义 方式来沟通，只能搜集有关的例子供其经验， 再靠他自己抽象以形成概念； 2、在教学中，由于与所学概念相关的例子中常常 又会含有其他概念，因此在提供例子时必须确 定学生已经形成这些预先概念。
Skemp：初级概念（直接由感知得到） Skemp：初级概念（直接由感知得到） 二级概念（初级概念再抽象） 二级概念（初级概念再抽象） Tall：三个数学世界（具体化、过程性概念、形式） Tall：三个数学世界（具体化、过程性概念、形式） 克劳斯梅尔等： 克劳斯梅尔等： 阶段1 具体期：学生能理解一个先前经验过的例子； 阶段1·具体期：学生能理解一个先前经验过的例子； 阶段2 确认期：可以了解一个之前遭遇的例子， 阶段2·确认期：可以了解一个之前遭遇的例子，即使这个
二、数学概念的学习
理论基础：图示理论→ 理论基础：图示理论→认知结构 皮亚杰：图示 斯根普：心理意象 其中三个重要概念：组织、适应、平衡 主要功能——统合已知的知识，同时获得新知识及 主要功能——统合已知的知识，同时获得新知识及 产生真正理解的心理工具。
（一）、数学概念的形成 ）、数学概念的形成
概念理解的层次性 （三）、概念理解的层次性 ）、概念理解的
概念抽象的逐步性以及概念表征的多元性，一定程 度都反映了数学概念理解的层次性。 学习阶层：学习活动有其合理的次序存在，较简单 学习阶层：学习活动有其合理的次序存在，较简单 的学习为较复杂的学习预备条件。 →→信息加工理论、布鲁姆分类、范希尔理论等等 →→信息加工理论、布鲁姆分类、范希尔理论等等
类化集合元素，并从每一个等价类中选定一个代表元素组成一个 新的集合。
符号化：将构造出的新集合用符号表示。
理想化 在现实原型的基础上，抽象出本质的属性或判断潜 在的可行性，然后摒弃所有其他的属性，从而使 原型蜕化为数学模型的过程。 ）、从心理过程看 过程看： （2）、从心理过程看： 一般化抽象：减少概念的限制，使其适用于更规 一般化抽象：减少概念的限制，使其适用于更规 范的情境； 分离式抽象：通过将概念与背景相分离而达到抽 分离式抽象：通过将概念与背景相分离而达到抽 象的目的。
典型例子：杜宾斯基APOS理论 APOS理论 典型例子：杜宾斯基APOS
（四）、概念联结的系统性 概念联结的系统性
数学概念具有广泛的联系性。 包括：概念与背景的联系、概念之间的联系； 既有纵向的联系，也有横向的联系。 因此，数学概念都被嵌入到组织良好的概念体 系中。这样，个别概念的意义总有部分是来自 与其他概念的相互关系，或出自系统的整体特 征（Lesh）。 征（Lesh）。
数学概念理解的主要目标
1. 确认学生在各种数学概念和程序上的初始概念 的形成过程； 的形成过程； 2. 促使某一概念从一种理解水平向另一水平转化 或产生转化的因素和过程； 或产生转化的因素和过程； 3. 研究学生头脑中这些概念联结而成的概念结构 和正规数学概念结构之间的异同； 和正规数学概念结构之间的异同； 4. 描述这些概念化过程怎样逐步演变直至成熟； 描述这些概念化过程怎样逐步演变直至成熟； 5. 辨别影响发展过程的种种因素。 辨别影响发展过程的种种因素。
!教学注意! 教学注意!
1、注意及时应用实例； 2、概念分类； 3、引入概念的同时，应该要求学生掌握一定的智 力动作； 4、注意为学生及时提供应用概念进行推理、论证 的机会，在应用中强化概念； 5、一定要将所学概念纳入到已有认知结构中，形 成概念系统