实验三十五 用动态法测定金属的杨氏模量
杨氏模量是描述固体材料弹性形变的一个重要物理量。
用静态拉伸法可以测出杨氏模量，但此方法的缺点是负荷大，加载速度慢，存在弛豫过程，不能真实地反映材料内部结构的变化；在拉伸过程中，样品的横向和纵向都有形变，而此法忽略横向形变；另外，也不能用于测量脆性材料。
动态悬挂法可以克服这些缺点，是一种非常实用的测量方法。
【实验目的】
1. 学会用动态悬挂法测量金属材料的杨氏模量。
2. 培养学生综合应用物理仪器的能力。
【实验仪器】
DCY-3型动态杨氏模量测定仪，信号发生器，示波器，游标卡尺，千分尺，物理天平等。
【实验原理】
若将一均匀棒悬挂起来，如图5-35-2所示，并使之发生横向振动，其振动方程为
02
244=∂∂⋅+∂∂t y
EJ S x y ρ 式中, y 为振动位移, x 为纵向变量, t 为时间, ρ为棒的密度, S 为棒的截面面积, E 为棒的 杨氏弹性模量, J 称为惯性矩。
振动方程为偏微分方程。
用分离变量法 求解方程(求解过程见附录)，得:
圆形棒
图5-35-2
（5-35-1）
图5-35-1 DCY-3型动态杨氏模量测定仪 信号发生器 支撑支架
2
436067.1f d
m l E =
式中，l 为棒长，d 为棒的截面直径，m 为棒的质量，f 为棒的固有频率。
矩形棒
2
339464.0f bh
m l E =
式中，b ，h 分别为棒的宽和厚。
在国际单位制中，杨氏模量的单位为牛顿/米2（N ·m -2）。
实验原理图如5-35-3所示。
由信号发生器输出的正弦信号，加到激发换能器Ⅰ上，通过激发换能器Ⅰ把信号转变成机械振动，再由悬丝把机械振动传给待测试样，使试样受迫做横向振动，试样另一端的悬丝将振动传给接受换能器Ⅱ，这时机械振动又转变成电信号。
该信号送到示波器中显示。
当信号发生器的频率不等于待测试样的固有频率时，试样不发生共振，示波器上没有电信号，或波形幅度很小。
当信号发生器的频率等于试样的固有频率时，试样发生共振，这时示波器上电信号波形幅度最大，此时信号发生器输出的信号频率，就是试样在该温度下的共振频率，代入公式（5-35-2），即可求出该温度下圆形棒试样的杨氏模量。
【实验内容】
一. 在室温下测量不锈钢棒和铜棒的杨氏模量
1. 用游标卡尺、物理天平分别测出不锈钢棒和铜棒的长度l 、质量m ，单次测量。
2. 用千分尺测出两种金属棒的直径d ，在不同位置测六次，多次测量，取平均值。
3. 在室温下不锈钢和铜的杨氏模量分别约为2×1011N/m 2和1.03×1011 N/m 2，先根据公式（5-35-2）估算出两种金属棒的共振频率，以便寻找共振点。
4. 将信号发生器的输出端与支撑支架上的接受端对应连接，并将支撑支架的输出端与示波器的X 和Y 轴输入端对应连接。
5. 将不锈钢棒和铜棒分别用悬丝悬挂于支撑支架上，把两个换能器的连接线与支撑支架上的接口对应连接。
6. 调节信号发生器的频率，当待测棒发生共振时，测出其固有频率f 。
7. 再利用公式（5-35-2）分别计算出不锈钢棒和铜棒的杨氏模量E 。
二. 在加热炉上测量不锈钢棒的杨氏模量
1. 将不锈钢棒用高温悬丝悬挂在加热炉中，并将热电偶测温点放入。
注意不要碰及不
（5-35-2）
（5-35-3）
图5-35-3实验原理图
试样棒
锈钢棒。
2. 用保温毡将加热炉两边开口以及顶部开口封死，只留二个小孔让悬丝通过。
3. 把两个换能器的连接线与支撑支架上的接口对应连接。
4. 先将温控器设定在100o C ，后至于测温处。
5. 将加热炉电源线接至温控器后面的插口内，升温至100o C 。
6. 测量不锈钢棒的固有频率并计算其杨氏模量。
7. 改变炉温，在200o C 、300o C 、400o C 和500o C 下分别测量固有频率并计算杨氏模量。
8. 测量完毕后，将加热炉的电源拔下。
（不锈钢棒的参数：L = 0.18m ，d = 0.006m ，m = 0.0430kg 。
）
【数据处理】
1.将测量值填入自拟表格中。
2.计算E 并与公认值比较，求出百分误差。
【注意事项】
1. 悬挂试样时，悬丝应悬挂试样的两端。
2. 在加热炉上测量时，换能器二个小钩应在炉体开口正上方，用φ0.05-0.15mm 高温悬丝将试样绑好绑紧，调整二悬丝在通过试样直径的铅垂面上。
将试样调整到水平位置，测量时二悬丝不能与任何物体接触。
3. 使用加热炉时，炉壳表面温度较高，务必注意避免烫伤。
4. 当调节信号发生器的频率时，在示波器上会观察到波形多次突然增大的现象，但这些频率并不是共振频率，只有在估算出的共振频率附近测出的共振点，才是试样的固有频率。
【预习思考题】
1. 试样棒的固有频率f 如何测量？在示波器上如何观察到共振现象？
2. 要在示波器上观察正弦波形，示波器应如何调整？
【思考题】
1. 动态法与静态法测杨氏模量有何不同？
2. 测量中如何确定试样的固有频率？
【附录】 棒的横振动方程的解
根据棒的横振动方程
02
244=∂∂⋅+∂∂t y
EJ S x y ρ （附5-35-1） 用分离变量法解方程，令
()()()t T x X t x Y =,
代入方程（附5-35-1）得
2
244d d 1d d 1t T
T EJ S x X X ρ-=
等式两边分别是x 和t 的函数，设等式等于常数K 4，得
d d 0d d 4
2
244
4=+=-S EJ
K t T X K x
X
ρ 这两个线性常微分方程的通解分别为
()()()
ϕω+=+++=t A t T Kx B Kx B Kx B Kx B x X cos sin cos sh ch 4321
振动方程的通解为
()()()ϕω+⋅+++=t A Kx B Kx B Kx B Kx B t x Y cos sin cos sh ch ,4321
式中
2
1
4
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=S EJ K ρω （附5-35-2） 称为频率公式。
频率公式对任意形状的截面，不同边界条件的试样都成立。
我们只要用特定的边界条件定出常数K ，代入特定截面的惯性矩J ，就可以得到具体条件下的计算公式了。
如果悬丝挂在试样的节点附近，则边界条件为： 自由端的作用力
033=∂∂-=∂∂=x
y EJ X M F
弯矩 02
2=∂∂=x y
EJ M 即
l
x 2
2
2
2
l
x 330
33========dx X d dx X d dx X d dx X d x x
将通解代入边界条件，得到
1ch cos =⋅Kl Kl
用数值解法求得本征值K 和棒长l 应满足
Kl = 0、4.730、7.853、10.996、14.137、…
由于其中一个根“0”对应于静态情况，故将第二根Kl = 4.730作为第一个根，记作Kl ，通常将Kl 对应的频率称为基频，在上述nKl 值中，第1、3、5、…个数值对应着“对称形振动”，第2、4、6、…个数值对应着“反对称形振动”，最低级次的对称形和反对称形振动的波形如附图所示。
可见，试样在作基频振动时，存在着两个节点，位置距两个端面分别为0.224l 和0.776l 。
将第一本征值l
K 730
.4=
代入（附5-35-2）式，得到自由振动的固有频率，即基频
()2
1
44
730.4⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=S l EJ ρω
解出杨氏模量
2
32
2
43
108870.110
9978.1f J
m
l J S
l E --⨯=⨯=ωρ
对圆棒
⎰⎪⎭
⎫
⎝⎛==2
2
4d d S y J
式中d 为圆棒直径，得到
2
436067.1f d
m l E =
对矩形棒
12
3bh J =
式中b 为棒宽，h 为棒厚，得到
2
339464.0f bh
m l E =
附图。