是 与 轴之间的夹角
kF
(3n
2
)
1 3
8
固体物理
固体物理学
(5) 在室温以及低温时电子的平均自由程
电导率
q2 m*
n (EF0 )
弛豫时间
( E F0
)
m*
nq 2
平均自由程
v (EF0 )
m*v
nq 2
kF
nq2
0 K到室温之间的费密半径变化很小
9
固体物理
固体物理学
或近自由电子近似情况下
固体物理
固体物理学
第六章 习题参考解答
6.1 He3的自旋为1/2，是费米子。液体He3的绝对零度附近的密 度为0.081 g cm-3，计算费米能EF和费米温度TF
6.1 解： 在绝对零度时，等能面近似为球面
He3一个原子含两个质子和一个中子，原子量为3，自由 电子数为2
N原子 N电子 / 2
M V
（1）费米能和费米温度 （2）费米球半径 （3）费米速度 （4）费米球面的横截面积 （5）在室温及低温时电子的平均自由程 Ag的密度=10.5g/cm3 原子量=107.87 电阻率=1.61×10-6 ·cm（295 K）
0.038×10-6 ·cm（20 K）
5
固体物理
固体物理学
解（1） 费密能量和费密温度
EF
2
2
(3n 2 ) 3
2m
2
(3
2m M原子
2
2)3
(1.0551034 )2 2 9.111031
(3
10.5103 106 107.87103 /(6.0221023)
2
3.142）3
8.821019 J 5.50eV
费米温度为
TF
EF kB
6.39 104 K
6
固体物理
固体物理学
N原子 M原子 V
N电子 M 原子 2V
n 2
M 原子
式中n是电子浓度
n 2 / M原子
固体物理
固体物理学
费米能EF为
n 2 / M原子
EF
2
2
(3n 2 ) 3
2m
2 (3 2
2m M原子
2
2)3
(1.0551034 )2 2 9.111031
(3
2 0.081103 106 3103 /(6.0221023)
电子热容为
CV
[ 2
3
N (EF0 )(kBT )]kB
N
(EF0
)
3 2kB2
CV T
3 3.142
2.08103 (1.3811023
)2
3.321042 J 1
3
固体物理
固体物理学
N
(
N(
EF0
E
)
)
4V
(
2m h2
3N / 2EF0
)3/2 E1/2
N(E)
(
EF EF0
)1/
2
)3
/
2
E1/ 2dE
U
3 5
EF0
将电子气看作是理想气体，压强
p
1 nmv 2
2 mv 2 n
2
nU
3
32 3
2 NU 3V
vx2 vy2 vz2 v2 / 3
pV 2 NU 3
12
EF
EF0
1
2
12
kBT EF0
2
EF0
平均自由程
k
0 F
nq2
代入数据得到：
295 K时 F 5.23 10 8 m
20 K时 2.22106 m
10
固体物理
固体物理学
6.4 设N个电子组成简并电子气，体积为V，证明T=0 K时
1) 每个电子的平均能量 2) 自由电子气的压强满足
U
3 5
2
3.142）3
5.951019 J 3.72eV
费米温度TF为
TF
EF kB
4.31104 K
2
固体物理
固体物理学
6.2 在低温下金属钾的电子热容量的实验结果为：
C 2.08T mJ / mol K
求钾的费米温度TF 和费米面上的能态密度N(EF)。 解：摩尔电子热容，考虑材料含一摩尔K原子，电子数N=NA，
（2）费米球半径
kF
2mEF
2 9.111031 8.821019 1.0551034
1.201010 m1
（3）费米速度
VF
kF m
1.055
10 34 1.20 9.1110 31
1010
1.39 106 m / s
固体物理
固体物理学
(4) 费密球面的横截面积
S (kF sin )2 4.52 sin 2m2
EF0
pV 2 NU 3
解：
自由电子的能态密度
N
(E)
4V
(
2m h2
)3/
2
E1/
2
T=0 K，费米分布函数
f
(E)
1 0
(E EF0 ) (E EF0 )
11
固体物理
电子总数
固体物理学
N 0 N (E) f (E)dE
电子平均能量
U
EF0 EN (E)dE 0
EF0 0
4V
(
2m h2
N
(
EF0
)
TF
Байду номын сангаас
EF0 kB
3N 2kB N (EF0 )
3 6.0221023 21.3811023 3.321042
19624K
N
(E)
(
EF EF0
)1/
2
N
(EF0
)
EF
E
0 F
[1
2
12
(
kBT EF0
)2
]
4
固体物理
固体物理学
6.3 若将银看成具有球形费米面的单价金属计算以下各量：