平行四边形培优讲义新打印版-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1平边四边形知识点一．知识框架二．知识概念平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。
平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。
平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
矩形是特殊的平行四边形。
矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线）或底×高正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，有四条对称轴）正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形；对角线相等的菱形；梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。
等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。
等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
梯形常用辅助线：平行四边形的判定及性质巩固练习题1、如图，已知在四边形ABCD中，AD=BC，∠D=∠DCE．求证：四边形ABCD•是平行四边形．2、如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗说明理由.3、有一个四边形的四边长分别是a，b，c，d，且有a2+b2+c2+d2=2（ac+bd）.求证：此四边形是平行四边形．4、□ABCD中,AC、BD交于点O，AE=CF，求证：BE=DF5、(变式练习2)□ABCD中,AC、BD交于点O，AE=CF，BM=DN求证：四边形MFNE是平行四边形6、 (变式练习3)如图，平行四边形ABCD中，E、F是AC上两点，且AE=CF，又点M、N分别在AB、CD上，且MF∥EN，MN交AC 于O。
求证：EF与MN互相平分。
FEODACBNMFEOA7、(变式练习4)如图所示，□ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过点O交AD于E，交BC于F，G是OA的中点，H是OC的中点，四边形EGFH是平行四边形，说明理由.8、(变式练习)□ABCD中，DE平分∠ADC交BC的延长线于E，BF平分∠ABC交AB的延长线于F，求证：四边形 DEBF是平行四边形9、(变式练习1)如图所示，平行四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗为什么10、(变式练习2)如图，E、F分别为口ABCD的边AD、BC的中点。
求证：（1）BE=DF；（2）O为GH的中点。
FECDBAB CFDG HEO11、□ABCD 中，E 在AB 上，F 在CD 上，且AE=CF,M 为DE 中点，N 为FB 中点,求证：FM=NE ME=NF12、已知如图：在ABCD 中，延长AB 到E ，延长CD 到F ，使BE =DF ， 则线段AC 与EF 是否互相平分说明理由.13、.如图所示，已知点D 是△ABC 的边AB 上的中点，点E 是AC 上的一点，DF ∥BE,EF ∥AB,证明：AE 、DF 互相平分14、如图，已知AD 是△ABC 的边BC 上的中线，△BME 是△AMD 绕点M 按顺时针方向旋转180°得到的，连结AE ，求证：DE=AC ．15、如图，在□ABCD 中，∠DAB=60°，点E 、F 分别在CD 、AB 的延长线上，且AE=AD ，CF=CB ．求证：四边形AFCE 是平行四边形．N ME F CD B A FD B C A EAD FC BE16、如图所示，某城市部分街道示意图，AF ∥BC ，EC ⊥BC ，BA ∥DE ，BD ∥AE ，EF=FC ，甲、乙两人同时从B 站乘车到F 站，甲乘1路车，路线是B →A →E →F ，乙乘2路，路线是B →D →C →F ，假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F 站，请说明理由.17、在平行四边形ABCD 中，BN ＝DM ，BE ＝DF ，求证：四边形MENF 是平行四边形.18、如图，在ABCD 中，AB=2AD ，延长AD 到F,使DF=AD,再延长DA 到E,使AE=AD,求证:BF ⊥CE.19、如图19－1－30，分别以△ABC 的三边为边长，在BC 的同侧作等边三角形ABD ，等边三角形BCE ，等边三角形ACF ，连接DE ，EF 。
求证：四边形ADEF 是平行四边形。
20、如图3，在ABC △中，D 是BC 边的中点，F E ，分别是AD 及其延长线上的点，CF BE ∥，连结BF CE ，，试判断四边形BECF 是何种特殊四边形，并说明理由。
21、如图2，平行四边形ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点，且AE＝CF，BG＝DH，试说明：EF与GH相互平分．矩形拓展题1、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD2、如图①，矩形ABCD，AB=12cm，AD=16cm，现将其按下列步骤折叠：（1）将△BAD对折，使AB落在AD上，得到折痕AF，如图②（2）将△AFB沿BF折叠，AF与DC交点G，如图③则所得梯形BDGF的周长等于（）+22 +22 +42 +42①②③3、如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是( )A．2m+3B．2m+6 C．m+3 D．m+6ABOC第1题(第3题)m+3m34、如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N．则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）( )A．a B．a54 C．a22 D．a235、如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，︒>∠60BEG，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与BEG∠相等的角的个数为( )B. 3C.26、矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B’处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为________．7．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD>CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD 边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为．8、如右上图，将矩形ABCD纸片沿EF折叠，使D点与BC边的中点D’重合，若BC=8，CD=6，则CF=________。
9、如图2，在矩形ABCD中，AD =4，DC =3，将△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF（点A、B、E在同一直线上），连结CF，则CF = .B CD A DEF①②AB CEGMN③A B C F E 'A 第11题图 （'B ）D 10、如图矩形纸片ABCD ，AB ＝5cm ，BC ＝10cm ，CD 上有一点E ，ED ＝2cm ，AD 上有一点P ，PD ＝3cm ，过P 作PF ⊥AD 交BC 于F ，将纸片折叠，使P 点与E 点重合，折痕与PF 交于Q 点，则PQ 的长是________cm. 11、把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB = 3 cm ，BC = 5 cm ，则重叠部分△DEF 的面积是 cm 2．12、如图所示，已知平行四边形ABCD ，AC 、BD 相交于点O ，P 是平行四边形ABCD 外一点，且∠APC ＝∠BPD ＝90°．求证：平行四边形ABCD 是矩形．13、如图自矩形ABCD 的顶点C 作CE ⊥BD,E 为垂足,延长CE 至F,使CF=BD,连接AF,求∠BAF 的大小菱形的性质及判定巩固练习题1、下列四边形中不一定为菱形的是（ ）A ．对角线相等的平行四边形B ．每条对角线平分一组对角的四边形C ．对角线互相垂直的平行四边形D ．用两个全等的等边三角形拼成的四边形 2 下列命题中错误．．的是 （ ） Ａ．平行四边形的对边相等 Ｂ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 Ｃ．矩形的对角线相等 Ｄ．对角线相等的四边形是矩形 3 如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ） ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD = A ．①③B ．②③C ．③④D ．①②③4 菱形的周长为32cm ，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（ ） A ．8cm 和3．4cm 和3．8cm 和3．4cm 和3AB CD5 如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（）A．32 B．33 C．34 D．36 如右图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E，则下列式子不成立．．．的是（）A. DEDA= B. CEBD= C. 90=∠EAC° D.EABC∠=∠27 如右图，在菱形ABCD中，对角线AC BD，相交于点O E，为AB的中点，且OE a=，则菱形ABCD的周长为（）A．16a B．12a C．8a D．4a8、如图，菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，4cmAB=．那么，菱形ABCD的面积是，对角线BD的长是．9、已知菱形ABCD的面积是212cm，对角线4AC=cm，则菱形的边长是cm10、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连接CE，则CE的长________.11、如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2008厘米后停下，则这只蚂蚁停在点．12、如图，菱形ABCD中，O是对角线AC BD，的交点，5cmAB=，4cmAO=，则BD= cm．13、如图所示，已知□ABCD，AC，BD相交于点O，•添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）13题图 14题图12题图14、如图所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可）FADEBCAB CDEOD CBOAADEBFA DOEB C15、菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD：•∠ABC=•1：•2，•则BD=•__ ___，•菱形的面积是____ __．16、在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_____，AC=_____．17、如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。