3.3幂函数基础填空题一．填空题（共30小题）1．（2016•衡水模拟）函数y=x a为偶函数且为减函数在（0，+∞）上，则a的范围为．2．（2016•武汉校级模拟）若幂函数的图象不过原点，则实数m的值为．3．（2016春•沭阳县期中）设幂函数f（x）=x a（a为实数）的图象经过点（4，8），则f（x）=．4．（2016春•淮阴区期中）幂函数f（x）=在（0，+∞）上单调递增，则m=．5．（2015•株洲一模）如图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数，的图象上，且矩形的边分别平行两坐标轴，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是．6．（2015•涪城区校级模拟）幂函数y=（m2﹣3m+3）x m过点（2，4），则m=．7．（2015•揭阳二模）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则的值为．8．（2015•张家港市校级模拟）设，若幂函数y=xα为偶函数且在（0，+∞）上单调递减，则α=．9．（2015秋•天水校级期末）已知函数f（x）=log a x（a，0且a≠1）满足f（9）=2，则a=．10．（2015秋•承德期末）若函数f（x）=（m﹣1）xα是幂函数，则函数g（x）=log a（x﹣m）（其中a＞0，a≠1）的图象过定点A的坐标为．11．（2015秋•福建期末）幂函数在区间（0，+∞）上是增函数，则m=．12．（2015秋•庄河市期末）幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则m的值为．13．（2015秋•北京校级期末）当x∈（0，+∞）时，幂函数y=（m2﹣m﹣1）•x﹣5m﹣3为减函数，则实数m的值为．的解集是．15．（2014秋•薛城区校级期中）幂函数y=（m2﹣m﹣1），当x∈（0，+∞）时为减函数，则实数m的值为．16．（2015秋•余姚市校级期中）已知幂函数f（x）过点，则满足f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围是．17．（2015秋•齐齐哈尔校级期中）若幂函数f（x）=（m2﹣m﹣5）x m﹣1在区间（0，+∞）上是增函数，则实数m的值为．18．（2015秋•宜昌校级期中）已知函数是幂函数，且f（x）在（0，+∞）上为减函数，，则实数a的取值范围为．19．（2015秋•宿迁校级期中）若幂函数f（x）=x m﹣1在（0，+∞）上是减函数，则实数m 的取值范围是．20．（2015秋•吉安校级期中）设a∈，则使函数y=x a的定义域为R且为奇函数的a的集合为．21．（2015秋•枣阳市校级期中）给出下列说法：①幂函数的图象一定不过第四象限；②奇函数图象一定过坐标原点；③y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞）；④定义在R上的函数f（x）对任意两个不等实数a、b，总有成立，则f（x）在R上是增函数；⑤的单调减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）．正确的有．22．（2015春•杭州校级期中）已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点，则k+α=；函数的定义域为．23．（2015秋•合肥校级期中）已知幂函数f（x）=（a2﹣9a+19）x2a﹣9的图象恒不过原点，则实数a=．24．（2015秋•衡阳县校级月考）若幂函数g（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为．25．（2015秋•青海校级月考）函数的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上，则f（x）=．26．（2015秋•南京校级月考）当时，幂函数y=xα的图象关于原点对称的有个．27．（2015秋•邵阳校级月考）已知幂函数f（x）=k•x a的图象过点，则k+a=．28．（2015春•保定校级月考）已知函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，且x∈（0，+∞）时，f（x）是增函数，则m的值是．29．（2015秋•亭湖区校级月考）已知幂函数y=x3m﹣7（m∈N）的图象关于y轴对称，且与x 轴，y轴均无交点，则m=．30．（2015秋•抚州校级月考）已知函数是幂函数，则m=．3.3幂函数基础填空题参考答案与试题解析一．填空题（共30小题）1．（2016•衡水模拟）函数y=x a为偶函数且为减函数在（0，+∞）上，则a的范围为a＜0且a为偶数．【分析】根据减函数以及偶函数的性质结合幂函数的定义求出a的范围即可．【解答】解：∵函数为减函数，∴a＜0，∵函数为偶函数，∴a为偶数，故答案为：a＜0且a为偶数．【点评】本题考查偶函数的定义，幂函数定义，是一道基础题．2．（2016•武汉校级模拟）若幂函数的图象不过原点，则实数m的值为m=1或m=2．【分析】由幂函数的图象不过原点，知，由此能求出实数m的值．【解答】解：∵幂函数的图象不过原点，∴，解得m=1或m=2．故答案为：m=1或m=2．【点评】本题考查幂函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．3．（2016春•沭阳县期中）设幂函数f（x）=x a（a为实数）的图象经过点（4，8），则f（x）=．【分析】根据幂函数f（x）的图象经过点（4，8），列出方程，求出a的值．【解答】解：∵幂函数f（x）=x a的图象经过点（4，8），∴4a=8；解得a=．故答案为：．【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．4．（2016春•淮阴区期中）幂函数f（x）=在（0，+∞）上单调递增，则m=0．【分析】根据幂函数的定义求出m的值，结合幂函数的单调性进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是幂函数，∴（m﹣1）2=1，得m=0，或m=2，∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴m2﹣4m+2＞0，则当m=0时，2＞0成立，当m=2时，4﹣8+2=﹣2＞0，不成立，故答案为：0．【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，根据幂函数的定义求出m的值是解决本题的关键．5．（2015•株洲一模）如图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数，的图象上，且矩形的边分别平行两坐标轴，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是（，）．【分析】先求出A、B、C的坐标，设出点D的坐标，再根据矩形ABCD得出=，利用向量坐标运算求出点D的坐标．【解答】解：由题意可得，A、B、C点坐标分别为（，2），（4，2），（4，），设D（m，n），再由矩形的性质可得=，故（m﹣，n﹣2）=（0，﹣2），∴m﹣=0，n﹣2=﹣．解得m=，n=，故点D的坐标为（，），故答案为：（，）．【点评】本题主要考查幂、指、对函数的图象与性质以及基本运算能力，向量相等的条件，属于基础题．6．（2015•涪城区校级模拟）幂函数y=（m2﹣3m+3）x m过点（2，4），则m=2．【分析】由题意得，由此能求出m=2．【解答】解：∵幂函数y=（m2﹣3m+3）x m过点（2，4），∴，解得m=2．故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数的性质的合理运用．7．（2015•揭阳二模）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则的值为1．【分析】利用待定系数法求出f（x）的表达式即可．【解答】解：设f（x）=xα，则f（3）=3α=，解得α=﹣1，则f（x）=x﹣1，f（2）=，则log f（2）=log=1，故答案为：1；【点评】本题主要考查函数值的计算以及幂函数解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．8．（2015•张家港市校级模拟）设，若幂函数y=xα为偶函数且在（0，+∞）上单调递减，则α=﹣2．【分析】由幂函数y=xα为（0，+∞）上递减，推知α＜0，又通过函数为偶函数，推知α为偶数，进而推知α只能是﹣2．【解答】解：∵y=xα在（O，+∞）上是单调递减∴α＜0，又∵，∴，又函数y=xα为偶函数，知α为偶数，∴α=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了幂函数单调性和奇偶性．要理解好幂函数单调性和奇偶性的定义并能灵活利用．9．（2015秋•天水校级期末）已知函数f（x）=log a x（a，0且a≠1）满足f（9）=2，则a=3．【分析】根据f（9）=2建立等式，利用对数与指数的互化建立等式，解之即可求出所求．【解答】解：由f（9）=2得f（9）=log a9=2即a2=9，而a＞0所以a=3．故答案为：3【点评】本题主要考查了对数函数与指数函数的互化，同时考查了运算求解的能力，属于容易题．10．（2015秋•承德期末）若函数f（x）=（m﹣1）xα是幂函数，则函数g（x）=log a（x﹣m）（其中a＞0，a≠1）的图象过定点A的坐标为（3，0）．【分析】根据幂函数的定义求出m的值，结合对数函数的性质求出A的坐标即可．【解答】解：若函数f（x）=（m﹣1）xα是幂函数，则m=2，则函数g（x）=log a（x﹣m）=（其中a＞0，a≠1），令x﹣2=1，解得；x=3，g（x）=0，其图象过定点A的坐标为（3，0），故答案为：（3，0）．【点评】本题考查了幂函数的定义，考查对数函数的性质，是一道基础题．11．（2015秋•福建期末）幂函数在区间（0，+∞）上是增函数，则m=2．【分析】根据幂函数的定义求出m的值，判断即可．【解答】解：若幂函数在区间（0，+∞）上是增函数，则由m2﹣3m+3=1解得：m=2或m=1，m=2时，f（x）=x，是增函数，m=1时，f（x）=1，是常函数，故答案为：2．【点评】本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性问题，是一道基础题．12．（2015秋•庄河市期末）幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则m的值为1．【分析】根据幂函数的定义、图象与性质，列出方程组，即可求出m的值．【解答】解：幂函数的图象与坐标轴没有公共点，∴，解得，即m=1．故答案为：1．【点评】本题考查了幂函数的定义、图象与性质的应用问题，是基础题目．13．（2015秋•北京校级期末）当x∈（0，+∞）时，幂函数y=（m2﹣m﹣1）•x﹣5m﹣3为减函数，则实数m的值为2．【分析】根据幂函数的定义得m2﹣m﹣1=1解出m，又因为函数为减函数舍去一个m即可得到．【解答】解：利用幂函数的定义得m2﹣m﹣1=1，解得m=2，m=﹣1；则幂函数解析式为y=x﹣13为减函数和y=x2为增函数，所以m=2故答案为2【点评】考查学生利用幂函数的性质的能力．的解集是[﹣4，4]．【分析】先确定幂函数的解析式，再解不等式，可得结论．【解答】解：设幂函数为f（x）=xα，则，∴α=，∴不等式f（|x|）≤2等价于，∴|x|≤4∴﹣4≤x≤4∴不等式f（|x|）≤2的解集是[﹣4，4]故答案为[﹣4，4]．【点评】本题考查幂函数解析式的求法，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于基础题．15．（2014秋•薛城区校级期中）幂函数y=（m2﹣m﹣1），当x∈（0，+∞）时为减函数，则实数m的值为2．【分析】利用幂函数的定义及其性质可得：m2﹣m﹣1=1，m2﹣2m﹣3＜0，解出即可．【解答】解：∵幂函数y=（m2﹣m﹣1），当x∈（0，+∞）时为减函数，∴m2﹣m﹣1=1，m2﹣2m﹣3＜0，解得m=2．故答案为：2．【点评】本题考查了幂函数的定义及其性质，属于基础题．16．（2015秋•余姚市校级期中）已知幂函数f（x）过点，则满足f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围是[1，）．【分析】根据幂函数y的图象求出的解析式，再利用幂函数的性质把不等式f（2﹣a）＞f （a﹣1）化为等价的不等式组，求出解集即可．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，α∈R；其图象过点，∴2α=，解得α=，∴f（x）==；∴不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）可化为＞，即，解得1≤a＜，∴实数a的取值范围是[1，）．故答案为：．【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．17．（2015秋•齐齐哈尔校级期中）若幂函数f（x）=（m2﹣m﹣5）x m﹣1在区间（0，+∞）上是增函数，则实数m的值为3．【分析】因为只有y=xα型的函数才是幂函数，以及函数在x∈（0，+∞）上为增函数，列出不等式组求解即可．【解答】解：要使函数f（x）=（m2﹣m﹣5）x m﹣1是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，则，解得：m=3．故答案为：3．【点评】本题考查了幂函数的概念及其单调性，解答的关键是掌握幂函数定义及性质，幂函数在幂指数大于0时，在（0，+∞）上为增函数．18．（2015秋•宜昌校级期中）已知函数是幂函数，且f（x）在（0，+∞）上为减函数，，则实数a的取值范围为[﹣1，）．【分析】运用幂函数的定义，可得m2﹣m﹣1=1，解得m，再由幂函数的单调性即可得到m，再根据幂函数的性质得到关于a的不等式组解得即可．【解答】解：由幂函数定义可知：m2﹣m﹣1=1，解得m=2或m=﹣1，又函数在x∈（0，+∞）上为减函数，当m=2时，m2﹣2m﹣3=4﹣4﹣3＜0，符合题意，当m=﹣1时，m2﹣2m﹣3=1+2﹣3=0，不符合题意则m=2，∵，∴＜，∴，解得﹣1≤a＜，故实数a的取值范围为[﹣1，），故答案为：[﹣1，），【点评】本题考查幂函数的定义和性质，考查函数的单调性的判断，也考查了不等式的解法与应用问题，属于基础题．19．（2015秋•宿迁校级期中）若幂函数f（x）=x m﹣1在（0，+∞）上是减函数，则实数m 的取值范围是（﹣∞，1）．【分析】利用幂函数的单调性即可得出．【解答】解：∵幂函数f（x）=x m﹣1在（0，+∞）上是减函数，∴m﹣1＜0，解得m＜1．故答案为：（﹣∞，1）．【点评】本题考查了幂函数的单调性，属于基础题．20．（2015秋•吉安校级期中）设a∈，则使函数y=x a的定义域为R且为奇函数的a的集合为{1，3}．【分析】分别验证a=1，﹣1，，3知当a=1或a=3时，函数y=x a的定义域是R且为奇函数．【解答】解：当a=﹣1时，当a=﹣1时，y=x﹣1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数，不合题意；当a=1时，函数y=x的定义域是R且为奇函数；当a=时，函数y=的定义域是（0，+∞），不合题意；当a=3时，函数y=x的定义域是R且为奇函数．故使函数y=x a的定义域为R且为奇函数的a的集合为{1，3}．故答案为：{1，3}．【点评】本题考查幂函数的性质和应用，解题时要熟练掌握幂函数的概念和性质，属于基础题．21．（2015秋•枣阳市校级期中）给出下列说法：①幂函数的图象一定不过第四象限；②奇函数图象一定过坐标原点；③y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞）；④定义在R上的函数f（x）对任意两个不等实数a、b，总有成立，则f（x）在R上是增函数；⑤的单调减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）．正确的有①④．【分析】根据幂函数的图象的性质，可判断①正确，根据奇函数的定义，可判断②的正误；根据对折变换的图象变化及二次函数的单调性，可判断③的真假；根据单调性的定义，可判断④是正确的；根据单调区间的定义，可以判断⑤的对错．【解答】解：由幂函数的图象的性质，易得幂函数的图象一定不过第四象限，故①正确；若奇函数在x=0时有意义，则图象一定过坐标原点，但奇函数在x=0时无意义时，则图象不过坐标原点，故②错误；y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间有两个：[﹣1，0]和[1，+∞）故③错误；若，则f（x）在R上是增函数，故④正确；的单调减区间有两个：（﹣∞，0）和（0，+∞），但函数在区间（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不具备单调性，故⑤错误；故答案为：①④【点评】本题考查的知识点是幂函数的图象的性质，奇函数的定义，单调性的定义，单调区间的定义，熟练掌握函数的图象和性质，理解函数性质的定义是解答本题的关键．22．（2015春•杭州校级期中）已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点，则k+α=3；函数的定义域为[﹣3，1]．【分析】利用幂函数的定义求出k，利用函数的图象经过的点求出α，即可得到结果，再根据二次根式，得到3﹣2x﹣x2≥0，解得即可．【解答】解：因为幂函数f（x）=k•xα（k，α∈R）由幂函数的定义可知k=1，幂函数f（x）=k•xα（k，α∈R）的图象过点，∴=（）α，解得α=2，∴k+α=3，∴f（x）=x2，∵，∴3﹣2x﹣x2≥0，解得﹣3≤x≤1，所以函数的定义域为为[﹣3，1]．故答案为：3；[﹣3，1]．【点评】本题考查了幂函数的图象和性质，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．23．（2015秋•合肥校级期中）已知幂函数f（x）=（a2﹣9a+19）x2a﹣9的图象恒不过原点，则实数a=3．【分析】利用幂函数的定义，求出a的值，利用幂函数的性质判断结果即可．【解答】解：函数f（x）=（a2﹣9a+19）x2a﹣9是幂函数，可得a2﹣9a+19=1，解得a=3或a=6．当a=3时，2a﹣9＜0，幂函数f（x）=（a2﹣9a+19）x2a﹣9的图象恒不过原点，成立．当a=6时，2a﹣9＞0，幂函数f（x）=（a2﹣9a+19）x2a﹣9的图象恒过原点，不成立．故答案为：3．【点评】本题考查幂函数的图象与性质的应用，考查计算能力．24．（2015秋•衡阳县校级月考）若幂函数g（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为2．【分析】因为只有y=xα型的函数才是幂函数，所以只有m2﹣m﹣1=1函数f（x）=（m2﹣m ﹣1）x m才是幂函数，又函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m在x∈（0，+∞）上为增函数，所以幂指数应大于0【解答】解：要使函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，则解得：m=2．故答案为：2．【点评】本题考查了幂函数的概念及其单调性，解答的关键是掌握幂函数定义及性质，幂函数在幂指数大于0时，在（0，+∞）上为增函数25．（2015秋•青海校级月考）函数的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上，则f（x）=．【分析】由题意求出点P的坐标，代入f（x）求函数解析式【解答】解：根据题意：令2x﹣3=1，∴x=2，此时y=，∴P（2，）∵P在幂函数f（x）的图象上，设f（x）=xα∴=2α，∴α=﹣，∴f（x）=，故答案为：【点评】本题考查了对数函数与指数函数的性质应用，属于基础题．26．（2015秋•南京校级月考）当时，幂函数y=xα的图象关于原点对称的有3个．【分析】根据α的取值，逐个验证幂函数y=xα的图象是否关于原点对称即可．【解答】解：α=﹣1时，幂函数y=x﹣1的图象关于原点对称，α=1时，幂函数y=x的图象关于原点对称，α=3时，幂函数y=x3的图象关于原点对称；α=时，幂函数y=x（x≥0）的图象不关于原点对称，α=2时，幂函数y=x2的图象关于y轴对称，不关于原点对称；综上，幂函数y=xα的图象关于原点对称的有3个．故答案为：3．【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．27．（2015秋•邵阳校级月考）已知幂函数f（x）=k•x a的图象过点，则k+a=．【分析】根据幂函数的定义，以及函数值，即可求出．【解答】解：幂函数f（x）=k•x a的图象过点，∴k=1，=3a，∴a=﹣，∴k+a=，故答案为：．【点评】本题考查求幂函数的解析式、对幂函数求值，属基本运算的考查．28．（2015春•保定校级月考）已知函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，且x∈（0，+∞）时，f（x）是增函数，则m的值是2．【分析】根据幂函数的定义求出m，利用幂函数的性质即可确定m的值．【解答】解：∵f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，∴m2﹣m﹣1=1，即m2﹣m﹣2=0，解得m=﹣1或m=2．∵当m=﹣1时，幂函数f（x）=x﹣3，在x∈（0，+∞）上单调递减，不满足条件；当m=2时，幂函数f（x）=x3，在x∈（0，+∞）上单调递减增，满足条件；m=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，要求熟练掌握幂函数的定义和性质．29．（2015秋•亭湖区校级月考）已知幂函数y=x3m﹣7（m∈N）的图象关于y轴对称，且与x 轴，y轴均无交点，则m=1．【分析】利用幂函数的性质可得3m﹣7＜0，且3m﹣7为偶数，解出即可．【解答】解：由题意可得：3m﹣7＜0，且3m﹣7为偶数．解得m＜，∴m=1．故答案为：1．【点评】本题考查了幂函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．30．（2015秋•抚州校级月考）已知函数是幂函数，则m=4．【分析】利用幂函数的定义即可得出．【解答】解：∵函数是幂函数，∴m2﹣m﹣11=1，≠0，m+3≠0，解得m=4．故答案为：4．【点评】本题考查了幂函数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．。