定积分及其空间几何应用
§1.定积分的概念
一、曲边梯形的面积
由曲线、直线及围成的图形，称为曲边梯形。

分割、取近似、求和、取极限。

二、定积分的定义
，
其中叫做被积函数, 叫做被积表达式, 叫做积分变量, 叫做积分区间,叫做积分下、上限。

叫做积分和。

1.极限与分法和取法无关
2.。

3.。

4.。

三、定积分的几何意义
表示区间上轴上下方的曲边梯形面积之差.(上的曲边
梯形面积的代数和)
四、定积分存在定理
Th1设,则在上可积。

Th2设在上有界,且只有有限个间断点，则在上可积。

Th3(*)设在上单调有界,则在上可积。

§2.定积分的性质
P1：。

P2：, (为常数)。

P3(有限可加性)：。

P4：。

P5: 设则。

推论1设, 则,。

推论2。

推论3设,但不恒为0, 则
，。

P6(估值不等式):设M及m分别是函数在区间上的最大值及最小值,则。

P7(定积分中值定理)：设,则。

称为在区间上的平均值。

§3.微积分基本公式
一、引例
猜测
二、积分上限函数
设，则，于是在上可积.令，称为变上限积分
.变下限积分
变限积分
三、积分上限函数的导数
()(定积分中值定理)
.
Th1 设,则在上可导，且
.
推论
四、原函数存在定理
Th2 闭区间上的连续函数一定存在原函数.。