【十大常考压轴题特训】特训08——折叠问题题量﹕25题；分值﹕共计100分；推荐时间﹕60分钟问题1．(2019 甘肃省兰州市)如图，ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则(OM = )ABC DEFMOA ．12BC ．1-D 1【分析】根据正方形的性质得到AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝2，∠DCB ＝∠COD ＝∠BOC ＝90°，OD ＝OC ，求得BD ＝2AB ＝2，得到OD ＝BO ＝OC ＝1，根据折叠的性质得到DE ＝DC ＝2，DF ⊥ CE ，求得OE ＝ 2 －1，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解析】四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝2，∠DCB ＝∠COD ＝∠BOC ＝90°，OD ＝OC ， ∴BD ＝2AB ＝2， ∴OD ＝BO ＝OC ＝1，∵将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处， ∴DE ＝DC ＝2，DF ⊥ CE ，∴OE ＝ 2 －1，∠EDF ＋∠FED ＝∠ECO ＋∠OEC ＝90°， ∴∠ODM ＝∠ECO ，在△OEC 与△OMD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOC ＝∠DOC ＝90 °OD ＝OC ∠OCE ＝∠ODM ，∴△OEC ≌ △OMD ， ∴OM ＝OE ＝ 2 －1，故选：D ．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．问题2．(2019 广西桂林市)将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，BE ，EG ，FG 为折痕，若顶点A ，C ，D 都落在点O 处，且点B ，O ，G 在同一条直线上，同时点E ，O ，F 在另一条直线上，则ADAB的值为( ) ABCDEFG OA ．65BC ．32D【分析】由折叠可得，E ，G 分别为AD ，CD 的中点，设CD ＝2a ，AD ＝2b ，根据Rt △BCG 中，CG 2＋BC 2＝BG 2，可得即a 2＋(2b )2＝(3a )2，进而得出ADAB 的值． 【解析】由折叠可得，AE ＝OE ＝DE ，CE ＝OG ＝DG ， ∴，G 分别为AD ，CD 的中点，设CD ＝2a ，AD ＝2b ，则AB ＝2a ＝OB ，DG ＝OG ＝CG ＝a ，BG ＝3a ，BC ＝AD ＝2b ， ∵∠C ＝90°，∴Rt △BCG 中，CG 2＋BC 2＝BG 2， 即a 2＋(2b )2＝(3a )2， ∴b 2＝2a 2， 即b ＝2a ， ∴ba ＝2， ∴ADAB 的值为 2 ， 故选：B ．【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．问题3．(2019 贵州省铜仁地区)如图，正方形ABCD 中，6AB =，E 为AB 的中点，将ADE ∆沿DE 翻折得到FDE ∆，延长EF 交BC 于G ，FH BC ⊥，垂足为H ，连接BF 、DG ．以下结论：①//BF ED ；②DFG DCG ∆≅∆；③FHB EAD ∆∆∽；④4tan 3GEB ∠=；⑤ 2.6BFG S ∆=；其中正确的个数是( ) ABCDEFG HA ．2B ．3C ．4D ．5【分析】根据正方形的性质以及折叠的性质依次对各个选项进行判断即可． 【解析】∵正方形ABCD 中，AB ＝6，E 为AB 的中点∴AD ＝DC ＝BC ＝AB ＝6，AE ＝BE ＝3，∠A ＝∠C ＝∠ABC ＝90° ∵△ADE 沿DE 翻折得到△FDE∴∠AED ＝∠FED ，AD ＝FD ＝6，AE ＝EF ＝3，∠A ＝∠DFE ＝90° ∴BE ＝EF ＝3，∠DFG ＝∠C ＝90° ∴∠EBF ＝∠EFB∵∠AED ＋∠FED ＝∠EBF ＋∠EFB ∴∠DEF ＝∠EFB ∴BF //ED 故结论①正确；∵AD ＝DF ＝DC ＝6，∠DFG ＝∠C ＝90°，DG ＝DG ∴△ DFG ≌ △DCG∴结论②正确；FH ⊥ BC ，∠ABC ＝90° ∴AB //FH ，∠FHB ＝∠A ＝90° ∵∠EBF ＝∠BFH ＝∠AED ∴△FHB ∽ △EAD∴结论③正确；∵△ DFG ≌ △DCG ∴FG ＝CG设FG ＝CG ＝x ，则BG ＝6－x ，EG ＝3＋x在Rt △BEG 中，由勾股定理得：32＋(6－x )2＝(3＋x )2 解得：x ＝2 ∴BG ＝4∴tan ∠GEB ＝BG BE ＝43 故结论④正确；∵△FHB ∽ △EAD ，且AE AD ＝12 ∴BH ＝2FH设FH ＝a ，则HG ＝4－2a在Rt △FHG 中，由勾股定理得：a 2＋(4－2a )2＝22 解得：a ＝2（舍去）或a ＝65 ∴S △BFG ＝12×4×65＝2.4 故结论⑤错误； 故选：C ．【点评】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理、三角函数，综合性较强．问题4．(2019 湖北省荆州市)如图，点C 为扇形OAB 的半径OB 上一点，将△OAC 沿AC 折叠，点O 恰好落在⌒AB 上的点D 处，且⌒BD ：⌒AD ＝1：3（⌒BD 表示⌒BD 的长），若将此扇形OAB 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（）A ．1：3B ．1：πC ．1：4D ．2：9【分析】连接OD，能得∠AOB的度数，再利用弧长公式和圆的周长公式可求解．【解析】连接OD交OC于M．由折叠的知识可得：OM＝12OA，∠OMA＝90°，∴∠OAM＝30°，∴∠AOM＝60°，∵且⌒BD：⌒AD＝1：3，∴∠AOB＝80°设圆锥的底面半径为r，母线长为l，80πl180＝2πr，∴r：i＝2：9．故选：D．【点评】本题运用了弧长公式和轴对称的性质，关键是运用了转化的数学思想．问题5．(2019山东省泰安市)如图，将⊙O沿弦AB折叠，⌒AB恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则⌒AB的长为（）A．12πB．πC．2πD．3π【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC＝12OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．【解析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC＝12OA，∴∠OAC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，∴⌒AB的长＝120π×3180＝2π，故选：C．【点评】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．问题6．(2019重庆市)如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC′与AB 交于点E，连结AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（）A．332B．3217C．7 D．13【分析】分析连接CC′，交BD于点M，过点D作DH⊥BC′于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC′，BD垂直平分CC′，证△ADC′为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C′M＝ 3 DM＝3，BM＝2，在Rt△BMC′中，利用勾股定理求出BC′的长，在△BDC′中利用面积法求出DH的长．【解析】如图，连接CC′，交BD于点M，过点D作DH⊥BC′于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC′，BD垂直平分CC′，∴DC＝DC′＝2，BC＝BC′，CM＝C′M，∴AD＝AC′＝DC′＝2，∴△ADC′为等边三角形，∴∠ADC′＝∠AC′D＝∠C′AC＝60°，∵DC＝DC′，∴∠DCC ′＝∠DC ′C ＝12×60°＝30°， 在Rt △C ′DM 中，∠DC ′C ＝30°，DC ′＝2， ∴DM ＝1，C ′M ＝3DM ＝3， ∴BM ＝BD ﹣DM ＝3﹣1＝2， 在Rt △BMC ′中，BC ′＝BM 2＋C 'M 2＝22＋(3)2＝7， ∵S △BDC ′＝12BC ′•DH ＝12BD •CM ， ∴7DH ＝3×3， ∴DH ＝3217， 故选：B ．【点评】点评本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．问题7．(2019 辽宁省大连市)如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，若4AB =，8BC =．则D F '的长为( )A ．5B ．4C ．3D ．2【分析】连接AC 交EF 于点O ，由矩形的性质得出AD ＝BC ＝8，∠B ＝90°，由勾股定理得出AC ＝AB 2＋BC 2＝45，由折叠的性质得出EF ⊥ AC ，AO ＝CO ＝12 AC ＝25，证出Rt △FOA ∽ Rt △ADC ，则AO AF ＝ADAC ，求出AF ＝5，即可得出结果． 【解析】连接AC 交EF 于点O ，如图所示： ∵四边形ABCD 是矩形，∴ AD ＝BC ＝8，∠B ＝∠ D ＝90°， AC ＝AB 2＋BC 2＝45，∵折叠矩形使C 与A 重合时，EF ⊥ AC ，AO ＝CO ＝12 AC ＝25， ∴ ∠ AOF ＝∠ D ＝90°，∠ OAF ＝∠ DAC ， ∴则Rt △FOA ∽ Rt △ADC ， ∴AO AF ＝ ADAC ，即：25AF ＝845， 解得：AF ＝5，∴D ′F ＝DF ＝AD －AF ＝8－5＝3， 故选：C ．【点评】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质，证明三角形相似是解题的关键．问题8．(2019 四川省攀枝花市)如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，4BE =，8EC =，将正方形边AB 沿AE 折叠到AF ，延长EF 交DC 于G ，连接AC ，现在有如下4个结论： ①45EAC ∠=︒；②FG FC =；③//FC AG ；④14GFC S ∆=． 其中正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①正确．证明∠GAF＝∠GAD，∠EAB＝∠EAF即可．②错误．可以证明DG＝GC＝FG，显然△GFC不是等边三角形，可得结论．③正确．证明CF⊥DF，AG⊥DF即可．④错误．证明FG﹕EG＝3﹕5，求出△ECG的面积即可．【解析】如图，连接DF．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝∠ECG＝90°，由翻折可知：AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝90°，BE＝EF＝2,∠BAE＝∠EAF，∵∠AFG＝∠ADG＝90°，AD＝AG,AD＝AF，∴Rt△AGD≌Rt△AGF，∴DG＝FG,∠GAF＝∠GAD,，设GD＝GF＝x，∴∠EAG＝∠EAF＋∠GAF＝12(∠BAF＋∠DAF)＝45 °，故①正确，在Rt△ECG中，∵EG2＝EC2＋CG2，∴(2＋x)2＝82＋(12－x)2，∴x＝6，∵CD＝BC＝BE＋EC＝12，∴DG＝CG＝6，∴FG＝GC，易知△GFC不是等边三角形，显然FG≠FC，故②错误，∵GF＝GD＝GC，∴∠DFC＝90°，∴CF⊥DF，∵AD＝AF,GD＝GF，∴AG⊥DF，∴CG//AG，故③正确，∵S△ECG＝12×6×8＝24，FG:FE＝6:4＝3:2，∴FG:EG＝3:5，∴S△GFC＝35×24＝725，故④错误，故选：B．【点评】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．问题9．(2019甘肃省天水市)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为．【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，再根据折叠的性质得AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt △ABF中，利用勾股定理计算出BF＝4，则CF＝BC﹣BF＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF 中根据勾股定理得到x2＋12＝（3﹣x）2，解方程即可得到x，进一步得到EF的长，再根据正弦函数的定义即可求解．【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，∵BF＝AF2－AB2＝4，∴CF ＝BC ﹣BF ＝5﹣4＝1， 设CE ＝x ，则DE ＝EF ＝3﹣x 在Rt △ECF 中，∵CE 2＋FC 2＝EF 2， ∴x 2＋12＝（3﹣x ）2，解得x ＝43，∴EF ＝3﹣x ＝53， ∴sin ∠EFC ＝CE EF ＝45． 故答案为：45．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．问题10．(2019 广东省深圳市)如图，在正方形ABCD 中，1BE =，将BC 沿CE 翻折，使B 点对应点刚好落在对角线AC 上，将AD 沿AF 翻折，使D 点对应点刚好落在对角线AC 上，求EF = ．ABCDEFXY【分析】作FM ⊥ AB 于点M ．根据折叠的性质与等腰直角三角形的性质得出EX ＝EB ＝AX ＝1，∠EXC ＝∠B ＝90°，AM ＝DF ＝YF ＝1，由勾股定理得到AE ＝AX 2＋EX 2＝2．那么正方形的边长AB ＝FM ＝2＋1，EM ＝2－1，然后利用勾股定理即可求出EF ． 【解析】如图，作FM ⊥ AB 于点M ． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴ ∠BAC ＝∠CAD ＝45 °．∵将BC 沿CE 翻折，B 点对应点刚好落在对角线AC 上的点X ， ∴ EX ＝EB ＝AX ＝1，∠EXC ＝∠B ＝90°， ∴ AE ＝AX 2＋EX 2＝2．∵将AD沿AF翻折，使D点对应点刚好落在对角线AC上的点Y，∴ AM＝DF＝YF＝1，∴正方形的边长AB＝FM＝2＋1，EM＝2－1，∴ EF＝EM2＋FM2＝(2－1)2＋(2＋1)2＝6．故答案为6．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了正方形的性质以及勾股定理．求出EM与EM是解题的关键．问题11．(2019贵州省遵义市)如图，平行四边形纸片ABCD的边AB，BC的长分别是10cm和7.5cm，将其四个角向内对折后，点B与点C重合于点C'，点A与点D重合于点A'．四条折痕围成一个“信封四边形”EHFG，其顶点分别在平行四边形ABCD的四条边上，则EF=cm．【分析】先根据有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形EHFG是矩形，再证明△FCH≌△EAG，可得CF ＝AE＝FC'，可知EF＝AB，即可得结论．【解析】如图中，由翻折可知：∠CHF＝∠FHC’，∠BHE＝∠EHC'，∴ ∠FHE＝∠FHC’＋∠EHC’＝12(∠CHC’＋∠BHC’)＝90°，同法可证：∠HFG＝∠GEH＝90°，∴四边形EHFG是矩形．∴FH＝EG，FH//EG，∴∠HFC’＝∠FEG，∵∠CFH＝∠HFC’，∠AEG＝∠GEA’，∴∠CFH＝∠AEG，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠A，BC＝AD，由翻折得：CH＝C'H＝BH＝12BC，AG＝A'G＝DG＝12AD，∴CH＝AG，∴△HCF≌ △GAE，∴CF＝AE，∴EF＝FC'＋EC'＝AE＋BE＝AB＝10cm，故答案为：10．【点评】本题考查了平行四边形的性质，翻折变换，矩形的判定和性质，三角形全等的性质和判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．问题12．(2019吉林省长春市)如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6．先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为．【分析】根据折叠的性质得到∠DAF＝∠BAF＝45°，根据矩形的性质得到FC＝ED＝2，根据勾股定理求出GF，根据周长公式计算即可．【解析】由折叠的性质可知，∠DAF＝∠BAF＝45°，∴AE＝AD＝6，∴EB＝AB﹣AE＝2，由题意得，四边形EFCB为矩形，∴FC＝ED＝2，∵AB∥FC，∴∠GFC ＝∠A ＝45°， ∴GC ＝FC ＝2，由勾股定理得，GF ＝FC 2＋GC 2＝22， 则△GCF 的周长＝GC ＋FC ＋GF ＝4＋22， 故答案为：4＋22．【点评】本题考查的是翻折变换的性质、矩形的性质一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．问题13．(2019 江苏省淮安市)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，H 是AB 的中点，将△CBH 沿CH 折叠，点B 落在矩形内点P 处，连接AP ，则tan ∠HAP ＝ ．【分析】连接PB ，交CH 于E ，依据轴对称的性质以及三角形内角和定理，即可得到CH 垂直平分BP ，∠APB ＝90°，即可得到AP ∥HE ，进而得出∠BAP ＝∠BHE ，依据Rt △BCH 中，tan ∠BHC ＝BC BH ＝43，即可得出tan ∠HAP ＝43．【解析】如图，连接PB ，交CH 于E ， 由折叠可得，CH 垂直平分BP ，BH ＝PH ， 又∵H 为AB 的中点， ∴AH ＝BH ， ∴AH ＝PH ＝BH ，∴∠HAP ＝∠HP A ，∠HBP ＝∠HPB ，又∵∠HAP ＋∠HP A ＋∠HBP ＋∠HPB ＝180°， ∴∠APB ＝90°， ∴∠APB ＝∠HEB ＝90°， ∴AP ∥HE ， ∴∠BAP ＝∠BHE ，又∵Rt△BCH中，tan∠BHC＝BCBH＝43，∴tan∠HAP＝4 3，故答案为：4 3．【点评】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．问题14．(2019山东省青岛市)如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为cm．【分析】设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（25﹣4）2＋x2，在Rt △FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2＋22，从而得到关于x方程，求解x，最后用4﹣x即可．【解析】设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x．在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE＝25．根据折叠的性质可知AG＝AB＝4，所以GE＝25﹣4．在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（25﹣4）2＋x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2＋22，所以（25﹣4）2＋x2＝（4﹣x）2＋22，解得x＝25﹣2．则FC＝4﹣x＝6﹣25．故答案为6﹣25．【点评】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理．折叠问题主要是抓住折叠的不变量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键．问题15．(2019 山东省泰安市)如图，矩形ABCD 中，AB ＝36，BC ＝12，E 为AD 中点，F 为AB 上一点，将△AEF 沿EF 折叠后，点A 恰好落到CF 上的点G 处，则折痕EF 的长是 ．【分析】连接EC ，利用矩形的性质，求出EG ，DE 的长度，证明EC 平分∠DCF ，再证∠FEC ＝90°，最后证△FEC ∽△EDC ，利用相似的性质即可求出EF 的长度． 【解析】如图，连接EC ， ∵四边形ABCD 为矩形，∴∠A ＝∠D ＝90°，BC ＝AD ＝12，DC ＝AB ＝3 6 ， ∵E 为AD 中点， ∴AE ＝DE ＝12AD ＝6 由翻折知，△AEF ≌△GEF ，∴AE ＝GE ＝6，∠AEF ＝∠GEF ，∠EGF ＝∠EAF ＝90°＝∠D ， ∴GE ＝DE ， ∴EC 平分∠DCG ， ∴∠DCE ＝∠GCE ，∵∠GEC ＝90°﹣∠GCE ，∠DEC ＝90°﹣∠DCE ， ∴∠GEC ＝∠DEC ，∴∠FEC ＝∠FEG ＋∠GEC ＝12×180°＝90°， ∴∠FEC ＝∠D ＝90°， 又∵∠DCE ＝∠GCE ， ∴△FEC ∽△EDC ， ∴FE DE ＝EC DC ，∵EC＝DE2＋DC2＝62＋(36)2＝310，∴FE6＝31036，∴FE＝215，故答案为：215．【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的辅助线，连接CE，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果．问题16．(2019山东省潍坊市)如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A′，折痕为DE．若将∠B沿EA′向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B′，则AB＝．【分析】利用矩形的性质，证明∠ADE＝∠A′DE＝∠A′DC＝30°，∠C＝∠A′B′D＝90°，推出△DB′A′≌△DCA′，CD＝B′D，设AB＝DC＝x，在Rt△ADE中，通过勾股定理可求出AB的长度．【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝∠C＝∠B＝90°，AB＝DC，由翻折知，△AED≌△A′ED，△A′BE≌△A′B′E，∠A′B′E＝∠B＝∠A′B′D＝90°，∴∠AED＝∠A′ED，∠A′EB＝∠A′EB′，BE＝B′E，∴∠AED＝∠A′ED＝∠A′EB＝13×180°＝60°，∴∠ADE＝90°﹣∠AED＝30°，∠A′DE＝90°﹣∠A′EB＝30°，∴∠ADE＝∠A′DE＝∠A′DC＝30°，又∵∠C＝∠A′B′D＝90°，DA′＝DA′，∴△DB′A′≌△DCA′（AAS），∴DC＝DB′，在Rt△AED中，∠ADE＝30°，AD＝2，∴AE＝23＝233，设AB＝DC＝x，则BE＝B′E＝x﹣23 3∵AE2＋AD2＝DE2，∴（233）2＋22＝（x＋x﹣233）2，解得，x1＝－33（负值舍去），x2＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质等，解题关键是通过轴对称的性质证明∠AED＝∠A′ED＝∠A′EB＝60°．问题17．(2019上海市)如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点．将ABE∆沿直线BE翻折，点A落在点F处，联结DF，那么EDF∠的正切值是．【分析】由折叠可得AE＝FE，∠AEB＝∠FEB，由折叠的性质以及三角形外角性质，即可得到∠AEB＝∠EDF，进而得到tan∠EDF＝tan∠AEB＝ABAE＝2．【解析】如图所示，由折叠可得AE＝FE，∠AEB＝∠FEB＝12∠AEF，∵正方形ABCD中，E是AD的中点，∴AE＝DE＝12AD＝12AB，∴DE＝FE，∴∠EDF＝∠EFD，又∵∠AEF是△DEF的外角，∴∠AEF＝∠EDF＋∠EFD，∴∠EDF＝12∠AEF，∴∠AEB＝∠EDF，∴tan∠EDF＝tan∠AEB＝ABAE＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．问题18．(2019天津市)如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G 点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE＝5，则GE的长为．【分析】由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，先证△ABF≌△DAE，推出AF的长，再利用勾股定理求出BF的长，最后在Rt△ADF中利用面积法可求出AH的长，可进一步求出AG的长，GE的长．【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°，由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，∴BF⊥AE，AH＝GH，∴∠F AH＋∠AFH＝90°，又∵∠F AH＋∠BAH＝90°，∴∠AFH＝∠BAH，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AF＝DE＝5，在Rt△ADF中，BF＝AB2＋AF2＝122＋52＝13，S△ABF＝12AB•AF＝12BF•AH，∴12×5＝13AH，∴AH＝60 13，∴AG＝2AH＝120 13，∵AE＝BF＝13，∴GE＝AE﹣AG＝13﹣12013＝4913，故答案为：49 13．【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质．问题19．(2019浙江省杭州市)如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C 落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于．【分析】设AB＝CD＝x，由翻折可知：P A′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，因为△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，推出A′E＝4D′H，设D′H＝a，则A′E＝4a，由△A′EP∽△D′PH，推出D'HP A'＝PD'EA'，推出ax＝x4a，可得x＝2a，再利用三角形的面积公式求出a即可解决问题．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x，由翻折可知：P A′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，∴A′E＝4D′H，设D′H＝a，则A′E＝4a，∵△A′EP∽△D′PH，∴D'HP A'＝PD'EA'，∴ax＝x4a，∴x2＝4a2，∴x＝2a或﹣2a（舍弃），∴P A′＝PD′＝2a，∵12•a•2a＝1，∴a＝1，∴x＝2，∴AB＝CD＝2，PE＝22＋42＝25，PH＝12＋22＝5，∴AD＝4＋25＋5＋1＝5＋35，∴矩形ABCD的面积＝2（5＋35）．故答案为2（5＋35）【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．问题20．(2019 河南省)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a ，点E 在边BC 上，且BE ＝35α．连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，若点B 的对应点B ′落在矩形ABCD 的边上，则a 的值为 ．【分析】分两种情况：①点B ′落在AD 边上，根据矩形与折叠的性质易得AB ＝BE ，即可求出a 的值；②点B ′落在CD 边上，证明△ADB ′∽△B ′CE ，根据相似三角形对应边成比例即可求出a 的值． 【解析】分两种情况：①当点B ′落在AD 边上时，如图1． ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠BAD ＝∠B ＝90°，∵将△ABE 沿AE 折叠，点B 的对应点B ′落在AD 边上， ∴∠BAE ＝∠B ′AE ＝12∠BAD ＝45°， ∴AB ＝BE ， ∴35a ＝1， ∴a ＝53；②当点B ′落在CD 边上时，如图2． ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AD ＝BC ＝a ． ∵将△ABE 沿AE 折叠，点B 的对应点B ′落在CD 边上， ∴∠B ＝∠AB ′E ＝90°，AB ＝AB ′＝1，EB ＝EB ′＝35a ， ∴DB ′＝B 'A 2－AD 2＝1－a 2，EC ＝BC ﹣BE ＝a ﹣35a ＝25a ．在△ADB ′与△B ′CE 中，⎩⎨⎧∠B 'AD ＝∠EB 'C ＝90°－∠AB 'I ∠D ＝∠C ，∴△ADB′∽△B′CE，∴DB'CE＝AB'B'E，即1－a225a＝135a，解得a1＝53，a2＝0（舍去）．综上，所求a的值为53或53．故答案为53或53．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．进行分类讨论与数形结合是解题的关键．问题21．(2019江苏省常州市)如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E．（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是；（2）EB与ED相等吗？证明你的结论．【分析】（1）根据AD＝C′B，ED＝EB，即可得到AE＝C′E，再根据三角形内角和定理，即可得到∠EAC′＝∠EC′A＝∠EBD＝∠EDB，进而得出AC′∥BD；（2）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠EDB＝∠EBD，进而得出BE＝DE．【解析】（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是AC′∥BD，故答案为：AC′∥BD；（2）EB与ED相等．由折叠可得，∠CBD＝∠C′BD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝DE．【点评】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．问题22．(2019江苏省徐州市)如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．求证：（1）∠ECB＝∠FCG；（2）△EBC≌△FG C．【分析】（1）依据平行四边形的性质，即可得到∠A＝∠BCD，由折叠可得，∠A＝∠ECG，即可得到∠ECB＝∠FCG；（2）依据平行四边形的性质，即可得出∠D＝∠B，AD＝BC，由折叠可得，∠D＝∠G，AD＝CG，即可得到∠B ＝∠G，BC＝CG，进而得出∠EBC≌△FG C．【解析】（1）∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠BCD，由折叠可得，∠A＝∠ECG，∴∠BCD＝∠ECG，∴∠BCD－∠ECF＝∠ECG－∠ECF，∴∠ECB＝∠FCG；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B，AD＝BC，由折叠可得，∠D＝∠G，AD＝CG，∴ ∠ B＝∠ G，BC＝CG，又∵∠ECB＝∠FCG，∴ △EBC≌ △FG C．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．问题23．(2019山东省滨州市)如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG ∥CD交BE于点G，连接CG．（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．【分析】（1）根据题意和翻着的性质，可以得到△BCE≌△BFE，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立；（2）根据题意和勾股定理，可以求得AF的长，进而求得EF和DF的值，从而可以得到四边形CEFG的面积．【解析】（1）证明：由题意可得，△BCE≌△BFE，∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE，∵FG∥CE，∴∠FGE＝∠CEB，∴∠FGE＝∠FEG，∴FG＝FE，∴FG＝EC，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE＝FE，∴四边形CEFG是菱形；（2）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，∴AF＝8，∴DF＝2，设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x，∵FDE＝90°，∴22＋（6﹣x）2＝x2，解得，x＝10 3，∴CE＝10 3，∴四边形CEFG的面积是：CE•DF＝103×2＝203．【点评】本题考查翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．问题24．(2019山东省烟台市)如图，在矩形ABCD中，CD＝2，AD＝4，点P在BC上，将△ABP沿AP折叠，点B恰好落在对角线AC 上的E点．O为AC上一点，⊙O经过点A，P．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）在边CB上截取CF＝CE，点F是线段BC的黄金分割点吗？请说明理由．B【分析】（1）切线的判定重点是证明垂直；（2）判定黄金分割点其实就是证明CF2＝BF•BC成立．【解析】（1）证明：如图，连接OP，则OA＝OP，∴∠OAP＝∠OP A．B由折叠知∠BAP＝∠OAP，∴∠OP A＝∠BAP．∴AB∥OP．又∵AB⊥BC，∴OP⊥B C．∴BC是⊙O的切线．（2）点F是线段BC的黄金分割点，理由如下：在矩形ABCD中，∵AB＝CD＝2，BC＝AD＝4，∴AC＝AB2＋BC2＝22＋42＝25．又∵AE＝AB＝2，∴CE＝CF＝25－2．∴BF＝BC－CF＝6－25．∵CF2＝（25－2）2＝24－85，BF•BC＝4（6－25）＝24－85，∴CF2＝BF•B C．∴点F是线段BC的黄金分割点．【点评】本题重点考查了矩形、圆的切线的判定定理、轴对称的性质、黄金分割点的概念，很巧妙地将图形的折叠问题融入其中，是一道非常好的题目．问题25．(2019山东省临沂市)如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点，（与D、C不重合），连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于G，连接AG，作GH⊥AG，与AE的延长线交于点H，连接CH．显然AE 是∠DAF的平分线，EA是∠DEF的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180°的角平分线），并说明理由．【分析】过点H作HN⊥BM于N，利用正方形的性质及轴对称的性质，证明△ABG≌△AFG，可推出AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线；证明△ABG≌△GNH，推出HN＝CN，得到∠DCH＝∠NCH，推出CH 是∠DCN的平分线；再证∠HGN＝∠EGH，可知GH是∠EGM的平分线．【解析】过点H作HN⊥BM于N，则∠HNC＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝BC，∠D＝∠DAB＝∠B＝∠DCB＝∠DCM＝90°，①∵将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，∴△ADE≌△AFE，∴∠D＝∠AFE＝∠AFG＝90°，AD＝AF，∠DAE＝∠F AE，∴AF＝AB，又∵AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴∠BAG＝∠F AG，∠AGB＝∠AGF，∴AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线；②由①知，∠DAE＝∠F AE，∠BAG＝∠F AG，又∵∠BAD＝90°，∴∠GAF＋∠EAF＝12×90°＝45°，即∠GAH＝45°，∵GH⊥AG，∴∠GHA＝90°﹣∠GAH＝45°，∴△AGH为等腰直角三角形，∴AG＝GH，∵∠AGB＋∠BAG＝90°，∠AGB＋∠HGN＝90°，∴∠BAG＝∠NGH，又∵∠B＝∠HNG＝90°，AG＝GH，∴△ABG≌△GNH（AAS），∴BG＝NH，AB＝GN，∴BC＝GN，∵BC﹣CG＝GN﹣CG，∴BG＝CN，∴CN＝HN，∵∠DCM＝90°，∴∠NCH＝∠NHC＝12×90°＝45°，∴∠DCH＝∠DCM﹣∠NCH＝45°，∴∠DCH＝∠NCH，∴CH是∠DCN的平分线；③∵∠AGB＋∠HGN＝90°，∠AGF＋∠EGH＝90°，由①知，∠AGB＝∠AGF，∴∠HGN＝∠EGH，∴GH是∠EGM的平分线；综上所述，AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线，CH是∠DCN的平分线，GH是∠EGM的平分线．【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质等，解题关键是能够灵活运用轴对称的性质及全等的判定方法．。